2018届二轮复习不等式的解法课件（全国通用） 18页

第 二 节　 不等式的解法 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 一元二次不等式的解法 . 2. 其它不等式的解法 . 3. 不等式的综合应用 . 1. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 . 2. 通过函数图象了解一元二次不等式与对应的二次函数、一元二次方程的联系 . 3. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 . 4. 会用比较法、综合法、分析法等证明不等式 . 　　以小题的形式考查一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不等式，或考查一元二次方程中未知参数的取值范围 . 在解答题中能运用不等式的性质、定理解决与不等式有关的问题 . 　　一元二次不等式、分式不等式及绝对值不等式的解法是高考热点 . 另外，对不等式的综合应用的考查，主要与导数结合命制综合性试题，涉及含参不等式问题和不等式的证明问题等 . 知识点一 一元二次不等式的解法 1. 一元二次不等式的解法 (1) 将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a >0) 或 ax 2 ＋ bx ＋ c <0( a >0). (2) 计算相应的判别式 . (3) 当 Δ ≥ 0 时，求出相应的一元二次方程的根 . (4) 利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集 . 2. 三个 “ 二次 ” 间的关系 判别式 Δ ＝ b 2 － 4 ac Δ >0 Δ ＝ 0 Δ <0 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0) 的图象 R ∅ 知识点二 其它类型不等式的解法 【 名师助学 】 1 . 本部分知识可以归纳为： (1) 两点注意： ① 解含参数的一元二次不等式 ， 若二次项系数为常数 ， 可先考虑因式分解 ， 再对根的大小进行分类讨论；若不易因式分解 ， 则可对判别式进行分类讨论 ， 分类要不重不漏； ② 二次项系数中含有参数时 ， 则应先考虑二次项系数是否为零 ， 然后再讨论二次项系数不为零时的情形 ， 以便确定解集的形式 . (2) 三种情形：一元二次不等式的解集情况分为： ① 判别式 Δ >0 ； ② Δ ＝ 0 ； ③ Δ <0 三种解集情形 . 2 . 对于不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 ， 求解时不要忘记讨论 a ＝ 0 时的情形 . 3 . 当 Δ <0 时 ， ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠ 0) 的解集为 R 还是 ∅ ， 要注意区别 . 4 . 含参数的不等式要注意选好分类标准 ， 避免盲目讨论 . 方法 1 不等式的解法 解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行： (1) 二次项若含有参数应讨论是等于 0 、小于 0 、还是大于 0. 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 . (2) 判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系 . (3) 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式 . 【 例 1】 (2014· 河南洛阳一中月考 ) 解关于 x 的不等式 ax 2 － ( a ＋ 1) x ＋ 1<0( a ∈ R). [ 点评 ] 　 解决本题的关键是对参数 a 进行分情况进行讨论 ， 做到不重不漏 . 方法 2 一元二次不等式的恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的解题方法 (1) 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方；恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方 . 若限制在某个区间上恒成立，则先求出这个区间上的最值，再转化为关于最值的不等式问题 . (2) 解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数 . 一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数 . 利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等 . 【 例 2】 设函数 f ( x ) ＝ mx 2 － mx － 1. (1) 若对于一切实数 x ， f ( x )<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2) 若对于 x ∈ [1 ， 3] ， f ( x )< － m ＋ 5 恒成立，求 m 的取值范围 . [ 解题指导 ] (1) 对于 x ∈ R ， f ( x )<0 恒成立，可转化为函数 f ( x ) 的图象总是在 x 轴下方，可讨论 m 的取值，利用判别式求解 . (2) 含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单 . [ 点评 ] 　 (1) 与一元二次不等式有关的恒成立问题 ， 可通过二次函数求最值 ， 也可通过分离参数 ， 再求最值 . (2) 对于二次不等式恒成立问题 ， 恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方 ， 恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方 . (3) 本题易错点：忽略对 m ＝ 0 的讨论 ， 这是由思维定势所造成的 .