2019-2020学年安徽省铜陵市高二上学期期末数学试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年安徽省铜陵市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．下列直线中，与直线平行的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线的斜率为2，找出斜率为2的直线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 因为直线的斜率为2，‎ 又直线的斜率也为2，‎ 所以两直线平行.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查两直线平行斜率相等，考查对概念的理解，属于基础题.‎ ‎2．某支田径队有男运动员56人，女运动员42人.现要抽取28名运动员了解情况，考虑到男女比例，在男运动员中随机抽取16人，女运动员中抽取12人.这种抽取样本的方法叫做（ ）‎ A．随机数表抽样 B．分层抽样 C．系统抽样 D．简单随机抽样 ‎【答案】B ‎【解析】利用分层抽样的概念，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 总体是由不同性别的男、女组成，根据抽样比抽得样本，属于分层抽样.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查统中分层抽样的概念，考查对概念的理解，属于基础题.‎ ‎3．下边框图中，若输入，的值分别为225和175，则输出的结果是（ ）‎ A．25 B．50 C．225 D．275‎ ‎【答案】A ‎【解析】输入，的值分别为225和175，一步一步执行程序框图，当时，输出.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 此时，输出.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图中的直到型循环，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意是先执行出值，再得到值.‎ ‎4．直线在轴上的截距是（ ）‎ A． B．‎ C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出直线与轴交点的横坐标即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，代入可得：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查直线在坐标轴上截距的概念，考查基本运算求解能力.‎ ‎5．空间直角坐标系中，已知点，点与点关于平面对称，则点的坐标是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用空间中点关于平面对称点为，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 空间中点关于平面对称点为，‎ ‎∵，∴.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查空间中点关于面对称点的求解，考查对概念的理解，属于基础题.‎ ‎6．已知，是某次试验中的两个随机事件，则，互为对立事件是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】两个事件为对立事件可以推出互斥，但互斥不一定对立.‎ ‎【详解】‎ 若，对立，则两个事件必有一个发生，且另一个不发生，所以；‎ 但推不出两个事件，对立；如掷一颗骰子，事件为出1点，2点，3点；事件为出现3点，4点，5点，此时，但两个事件不对立.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查对立事件与概率的关系，考查对概念的理解与应用，属于基础题.‎ ‎7．若，，为空间中的三个平面，则下列命题中是真命题的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】对A，可能平行；对B，可能相交；对C，可能相交；利用排除法可得答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示的长方体中：‎ 对A，取为平面，为平面，为平面，显然，故A错误；‎ 对B，取为平面，为平面，为平面，显然相交，故B错误；‎ 对C，取为平面，为平面，为平面，显然相交，故C错误；‎ 利用排除法，可得D正确；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查空间中面面位置关系，考查空间想象能力，求解时注意借助正方体解决问题.‎ ‎8．袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球.现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是（ ）‎ A．“恰有1个红球”和“恰有2个白球”‎ B．“至少有1个红球”和“至少有1个白球”‎ C．“至多有1个红球”和“至多有1个白球”‎ D．“至少有1个红球”和“至多有1个白球”‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用互斥事件的定义，即两个事件不同时发生，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 对A，“恰有1个红球”和“恰有2个白球”可能有1红2白同时发生，故A错误；‎ 对B，可能有1红2白同时发生，故B错误；‎ 对C，“至多有1个红球”可以是0个红球3个白球，或1个红球2个白球；“至多有1个白球”可以是3个红球0个白球，或2个红球1个白球：显然两个事件不会同时发生，所以两个事件为互斥事件，故C正确；‎ 对D，可能有2红1白发生，故D错误；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件的定义，考查逻辑推理能力，求解时注意对至多、至少的理解.‎ ‎9．若是空间中的一条直线，则在平面内一定存在直线与直线（ ）‎ A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 ‎【答案】C ‎【解析】对直线与平面分三种情况讨论：一是在面内，二是与面平行，三是与面相交，均可得到存在直线与垂直.‎ ‎【详解】‎ 如图所示的正方体中：取平面为平面，‎ ‎（1）取直线为，显然存在直线；‎ ‎（2）取直线为，显然存在直线；‎ ‎（3）取直线为，显然存在直线；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查空间中线面、线线位置关系，考查空间想象能力，求解时注意借助正方体模型.‎ ‎10．平面直角坐标系中，设，，点在单位圆上，则使得为直角三角形的点的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】先判断以为直径的圆与单位圆相交，再讨论的直角顶点位置，从而可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 以为直径的圆的方程为，‎ 因为，所以两圆相交，设交点为，‎ 所以当点运动到时，显然能使为直角三角形，此时为直角顶点；‎ 又过点与直线垂直的直线显然与单位圆相离，‎ 而过点与直线垂直的直线：，‎ 圆心到直线的距离，‎ 直线与单位圆相交，设交点为；‎ 故满足题意的点有四个.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对直角顶点的讨论.‎ ‎11．正四面体中，，分别为，中点，则异面直线与成的角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出正四面体，取的中点，连结，可得为异面直线所成的角，在中求得的度数，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，在正四面体中，取的中点，连结，则，‎ ‎∴为异面直线所成的角，‎ 设，则在中，，，‎ ‎∵，∴为等腰直角三角形，‎ ‎∴.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意“一作、二证、三求”三个步骤的应用.‎ ‎12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，动点满足，则斜率的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 设点，∵，∴，‎ 整理得：，则点是以为圆心，为半径的圆，‎ 则，‎ 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，‎ 所以，解得：，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查圆的轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点到直线距离公式的应用.‎ 二、填空题 ‎13．八进制数化为十进制数，其结果是______.‎ ‎【答案】83‎ ‎【解析】直接利用八进制与十进制的转换求解.‎ ‎【详解】‎ 根据八进制与十进制的转换有：，‎ 所以对应的十进制为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查八进制与十进制的转换，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14．已知命题：，都有，则命题的否定是______.‎ ‎【答案】，使得 ‎【解析】直接利用全称命题的否定的定义求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵命题：，都有，‎ ‎∴：，使得.‎ 故答案为：，使得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解与应用，属于基础题.‎ ‎15．已知为一个正四棱锥，且它的底面边长与高的长度都等于4，则这个四棱锥外接球的表面积是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设为正方形的中心，为外接球的球心，连结，设球的半径为，利用勾股定理得到关于的方程，求得再利用球的面积公式，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，设为正方形的中心，为外接球的球心，连结，‎ 设球的半径为，则，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正四棱锥与球的切接问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心的确定.‎ ‎16．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8个小时，假定它们在一昼夜的时间段内随机地到达，则两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用几何概型的面积型概率计算，作出边长为24的正方形面积，求出部分的面积，即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 设甲乙两艘轮船到达的时间分为，则，‎ 记事件为两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待，则，‎ 即 ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对概率模型的抽象成面积型.‎ 三、解答题 ‎17．直角梯形如图放置，已知，，，.现将梯形绕直线旋转一周形成几何体.‎ ‎（1）画出这个几何体的正视图（不写作法）；‎ ‎（2）求这个几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）作图见解析（2）‎ ‎【解析】（1）利用图形旋转而成的几何体为圆锥和圆柱的组合体，进而作出正视图；‎ ‎（2）利用圆锥和圆柱的体积公式，将数据直接代入即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）该几何体由一个圆锥和圆柱组合而成，则 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何体正视图的作法、圆锥、圆柱的体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意正视图中的数据求解.‎ ‎18．已知三个顶点的坐标分别为，，，线段的垂直平分线为.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）点在直线上运动，当最小时，求此时点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）求出直线的斜率，再求直线的中点，从而利用点斜式方程求得答案；‎ ‎（2）由（1）得点关于直线的对称点为点，所以直线与直线的交点即为最小的点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的斜率为，所以直线的斜率为，‎ 直线的中点为，所以直线的方程为，即.‎ ‎（2）由（1）得点关于直线的对称点为点，所以直线与直线的交点即为最小的点.‎ 由，得直线的方程为，即，‎ 联立方程，解得，‎ 所以点的坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的求解、直线的交点，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19．某学校为了解高二学生学习效果，从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了25名学生的数学成绩（单位：分），发现这25名学生成绩均在90～150分之间，于是按，，…，分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）估计这25名学生数学成绩的平均数；‎ ‎（3）为进一步了解数学优等生的情况，该学校准备从分数在内的同学中随机选出2名同学作为代表进行座谈，求这两名同学分数在不同组的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）利用小矩形的面积和为1，求得值；‎ ‎（2）每个小矩形的中点与面积相乘，再相加，求得平均数；‎ ‎（3）利用古典概型，求出试验的所有等可能结果，再计算事件所含的基本事件，最后代入公式计算概率值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），∴.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）由直方图得，有3人，有2人，‎ 的学生为，，，的学生为，，‎ 所有情况：，，，，，，，，，共10种情况；‎ 符合题意的：，，，，，共6种情况.‎ 所以概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图估计平均数、及古典概型的概率求解，考查概率与统计思想，考查数据处理能力.‎ ‎20．如图，边长为4的正方形中，点，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）利用折叠前后角的不变性可得，，进而证明线面垂直；‎ ‎（2）取线段的中点，连接、，由，，得到，，从而得到为二面角的平面角，再求角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为正方形，所以，，‎ 折叠后即有，，又，平面，‎ 所以平面得证.‎ ‎（2）取线段的中点，连接、.‎ 因为，，所以有，，‎ 所以即为二面角的平面角，‎ 又由（1）得，，，‎ 所以.‎ 所以二面角的余弦值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中的折叠问题、线面垂直的证明、二面角的求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.‎ ‎21．是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与浓度的数据如下表：‎ 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量（万辆）‎ ‎50‎ ‎51‎ ‎54‎ ‎57‎ ‎58‎ 的浓度（微克/立方米）‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎42‎ ‎44‎ ‎45‎ ‎（1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；‎ ‎（2）用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度是多少？‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】（1）（2）（3）75.12微克/立方米 ‎【解析】（1）求出从而得到样本点的中心；‎ ‎（2）利用参考公式求出，，从而得到，再将样本中心坐标代入求得，从而得到回归方程；‎ ‎（3）将代入回方程，求出的值，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 所以样本中心坐标为.‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 线性回归方程为.‎ ‎（3）（微克/立方米）‎ 此时的浓度是75.12微克/立方米.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程的最小二乘法求解及回归方程的应用，考查数据处理能力，求解时注意运算的准确性.‎ ‎22．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；‎ ‎（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）或（3）证明见解析，定点 ‎【解析】（1）圆以为圆心，为半径，直接写出圆的标准方程；‎ ‎（2）对直线的斜率进行讨论，再利用弦长公式和点到直线距离公式，可求得直线的斜率，再由点斜式方程求得答案；‎ ‎（3）设直线：，，，利用 得到的关系，从而证得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆以为圆心，为半径，‎ 所以圆的标准方程为.‎ ‎（2）①不存在时，直线的方程为：；‎ ‎②存在时，设直线的方程为：，‎ 联立方程，‎ 所以直线的方程为：，‎ 综上所述，直线的方程为或.‎ ‎（3）设直线：，，，‎ ‎①‎ 联立方程，‎ 所以，代入①‎ 得，‎ 化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程、弦长公式、点到直线距离、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对斜率存在和存在的讨论.‎