- 389.00 KB
- 2021-06-17 发布
江苏省邗江中学2017—2018学年度第二学期
高二数学期中试卷（文科）
命题人： 王荣鑫
说明：本试卷分为填空题和解答题两部分，全卷满分160分，考试时间120分钟
一、填空题(本题包括14小题，每小题5分，共70分.)
1．函数的定义域是 ▲ ．
2．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”，其反设为 ▲ ．
3．质点的运动方程是S=（S的单位为m，t的单位为s），则质点在t=3s时的瞬时速度为▲ m/s．
4．如果p：x＞2，q：x2＞4，那么p是q的 ▲ ．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）
5．若复数z满足|z|=1（i为虚数单位），则|z﹣2i|的最小值是 ▲ ．
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的 x∈R都有f(x+4)= f(x)+ f(2)，
f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为 ▲ ．
7．已知函数，若f（x0）=﹣2，则x0= ▲ ．
8．若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为 ▲ ．
9．若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式
的解集为 ▲ ．
10．如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n（n≥2）行的第2个数为 ▲ ．
11．函数f（x）=x|x|，若存在x∈[0，+∞）使得不等式f（x﹣2k）＜k成立，则实数k的取值范围为 ▲ ．
12．若不等式（﹣1）n•a＜3对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
13．若曲线上存在某点处的切线斜率不大于，则正实数a
的最小值为 ▲ ．
14．已知函数，，，若关于的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是 ▲ ．
二、解答题（15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程.）
15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣1≤x≤m+1，x∈R，m∈R}
（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；
（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
16．已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）设复数，求|z1|；
（2）设复数，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
17．设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．
（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；
（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．
18．已知函数 f（x）=x2﹣|x|+1．
（1）求不等式 f（x）≥2x 的解集；
（2）若关于 x 的不等式f（x） 在[0，+∞）上恒成立，求 a 的取值范围．
19．日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD区域用于儿童乐园出租，弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．
（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD的面积S弓=f（θ）；
（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
20．已知函数．
（1）若曲线在处的切线过点．
① 求实数的值；
② 设函数，当时，试比较与的大小；
（2）若函数有两个极值点，（），求证：．
江苏省邗江中学2017—2018学年度第二学期
高二数学期中试卷（文科）
参考答案与评分标准
一．填空题
1．（0，1] 2．“a，b不全为0”． 3．﹣． 4．充分不必要条件．
5．1． 6． 4． 7．． 8．2． 9．． 10．n2+2
11．（，+∞）． 12．[﹣3，）． 13．．14．．
二．解答题
15．解：（1）∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤3}，
………2分
B={x|m﹣1≤x≤m+1，x∈R，m∈R}，A∩B=[1， 3]，
∴m﹣1=1，解得m=2，此时B={x|1≤x≤3}，成立，
故m=1． ………6分
（2）∵∁RB={x|x＜m﹣1或x＞m+1}，A⊆∁RB， ………8分
∴m﹣1＞3或m+1＜﹣1，
解得m＞4或m＜﹣2． ………14分
16．解：∵z=1+mi，∴．
∴．
又∵为纯虚数，
∴，解得m=﹣3．
∴z=1﹣3i． ………4分
（Ⅰ）， ………6分
∴；
（Ⅱ）∵z=1﹣3i，
∴． ………8分
又∵复数z2所对应的点在第1象限，
∴，． ………12分
∴． ………14分
17．解：（1）p真，则或得；
………2分
q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，
………4分
∴p∧q真，．
………7分
（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，
若p假q假，则，⇒a≤﹣2， ………10分
若p真q真，则，⇒ ………13分
综上a≤﹣2或． ………15分
18．解：（1）x≥0时，f（x）=x2﹣x+1≥2x，
解得：0≤x≤或x≥， ………2分
x＜0时，f（x）=x2+x+1≥2x，解得：x＜0， ………4分
综上，x∈（﹣∞，]∪[，+∞）； ………6分
（2）f（x）≥|+a|，x∈[0，+∞），
故x2﹣x+1≥|+a|， ………8分
故 ………12分
解得：﹣≤a≤． ………15分
19．解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，
S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）………4分
（ 如角的范围不交代，扣2分）
（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；
则y1=R2sinθ•95，y2=R2（θ﹣sinθ）•5，y3=R2（π﹣θ）•55，
∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π）， ………8分
设g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．
∴g′（θ）=100cosθ+50 ………10分
∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；
g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；
当θ=时，g（θ）取到最大值，此时总利润最大，
此时总利润最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．………15分
（求最值时，如不交代单调性或者列表，扣2分）
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）
………16分
20．【解】（1）①因为，所以，
由曲线在处的切点为，
所以在处的切线方程为．
因为切线过点，所以． …… 4分
②，
由． …… 6分
设（），所以，
所以在为减函数．
因为，所以当时，有，则；当时，有，则；
当时，有，则． …… 10分
（2）由题意，有两个不等实根，（）．
设，则（），
当时，，所以在上是增函数，不符合题意；
当时，由，得，
列表如下：
0
↗
极大值
↘
由题意，
，解得，所以，
因为，所以． …… 13分
因为，所以，
所以（）．
令（），
因为，所以在上为减函数，
所以，即，
所以，命题得证． …… 16分