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- 2021-06-17 发布
2018届东莞市高三第二次调研考试试题
文科数学
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）若复数满足，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知，则=
（A） （B） （C） （D）
（4）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到直线l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（5）在中，，BC边上的高等于,则
（A） （B） （C） （D）
（6）已知，则的最小值是
（A） （B） （C） （D）
（7）执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为
（A）7
（B）9
（C）10
（D）11
（8）设函数，若曲线在点处的切线方程为 ，则点的坐标为
(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 或
（9）在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角为
（A） （B） （C） （D）
（10）已知函数的图象关于对称，则把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程为
（A） （B） （C） （D）
（11）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为
（A） （B）
（C） （D）
（12）已知，则不等式的解集为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a b，则x= .
（14）在各项都为正数的等比数列中，已知，，则数列的通项公式 ．
（15）已知，，点的坐标为 ，当时，点满足的概率为 .
（16）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的零点，则的取值范围是____________．
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
（17）（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，且（nN）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
(Ⅱ) 求数列的前n项和．
（18）（本小题满分12分）
某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的检测数据，结果统计如下：
API
大于300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为X.在区间对企业没有造成经济损失；在区间对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元.
（1）试写出S（X）的表达式；
（2）估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下列22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.07
2.70
3.84
5.02
6.63
7.87
10.82
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
（19）（本小题满分12分）
如图,矩形中, 分别为边上的点,且
,将△BCE沿折起至△PBE位置(如图所示),连结,其中.
(Ⅰ) 求证: ； (Ⅱ) 求点到的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为, 且过点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 若是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴, 试判断直线
的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的，．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
（22）（本小题满分10分）[选修 4-4]参数方程与极坐标系
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数在以坐标原点为极点,
x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线
(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.
（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ) 若，求实数的取值范围;
(Ⅱ) 若R , 求证：.
2018届东莞市高三第二次调研考试文科数学试题
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
B
D
C
B
D
C
D
D
D
1.【解析】.所以，故选C.
2.【解析】，故选C.
3.【答案】A
4.【答案】B【解析】如图，在椭圆中，，
在中，，且，代入解得
，所以椭圆的离心率为：，故选B.
5.【答案】D【解析】设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D．
6.【解析】如图，作出可行域（阴影部分），画出初始直线，平行移动，可知经过点时，取得最小值3，，故选C.
7.【解析】否；否；
否； 否；
是，输出故选B．
（9）解析：如图，由题意易知，因为，所以为异面直线与所成角，又，中，，，得为等腰直角三角形，故选C.
10.【解析】，可得，所以，横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数的图象，，所以函数的对称轴的方程为.当时，对称轴的方程为.故选：D．
11.【答案】D【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D.
12.【解析】，因为所以是偶函数。
所以所以变形为：
又所以在单调递增，在单调递减。所以等价于故选D
13.【答案】【解析】由题意，
14． 15. 【解析】如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界),∴所求的概率.
16.【解析】函数为偶函数，且左减右增．函数的对称轴为，且向右单调递增．故当时函数先减后增，当时函数单调递增，要有三个不同的零点，则必须满足，解得.
17.(本题满分12分)
（Ⅰ）当时，，即， ………………………………………1分
解得． ………………………………………………………2分当时，， ………………3分
即， …………………………………………………4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列．……………………………………5分
所以（nN）． ………………………………………………6分
(Ⅱ) 因为， ………………………………………………7分
所以 ………………………………………………8分
………………………………………………10分
………………………………………………11分
． ………………………………………………12分
18.(本题满分12分)
……………3分（写对一条给1分）
…………………6分
……………………………9分
……………………11分
………………12分
19.(本题满分12分)
【解析】(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知,,,
在中,,
所以………………………………2分
在图中,易得,……3分
在中,,所以…………………………4分
又,平面,平面,所以平面.…………………5分（注：只要少一个条件，扣1分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高. ……………6分
设点到平面的距离为,由等体积法得,
A
B
C
D
P
E
F
Q
即,…………………8分
又,,…………………10分
所以,…………………11分
即点到平面的距离为.……………12分
（注：指出给1分，若能最终得到结果给4分）
20.(本题满分12分)
(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点,
所以, . ………………………………………………2分
因为,
解得, , ………………………………………………3分
所以椭圆的方程为. ……………………………………………4分
(Ⅱ)因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对
称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为. ………………………………5分
所以直线的方程为,直线的方程为.
设点, ,
由消去,得. ①
因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根, 则,
……………………………………………6分
所以. ……………………………………………7分
同理. ……………………………………………8分
所以. ……………………………………………9分
又. ……………………………………………10分
所以直线的斜率为. …………………………………………11分
所以直线的斜率为定值，该值为. ……………………………………………12分
21.(本题满分12分)
解：（Ⅰ）函数的定义域是
……………………2分
当时，对任意恒成立，
所以，函数在区间单调递增；……………………4分
当时，由得，由得
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。……………………分（Ⅱ）当时，，要证明，
只需证明，设，
则问题转化为证明对任意的，……………………分
令得，容易知道该方程有唯一解，不妨设为，则满足
当变化时，和变化情况如下表
－
递减
递增
……………………分
因为，且，所以，因此不等式得证………………分
22.(本题满分10分)
(Ⅰ) 由 消去得, ………………………………………1分
所以直线的普通方程为. ………………………………………2分
由, ……3分
得. ………………………………………4分
将代入上式,
得曲线的直角坐标方程为, 即. ………5分
(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为, ………………………………6分
则点到直线的距离为…………………………7分
………………………………………8分
当时, , ………………………………………9分
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分
法2: 设与直线平行的直线为, ………………………………………6分
当直线与圆相切时, 得, ………………………………………7分
解得或(舍去),
所以直线的方程为. ………………………………………8分
所以直线与直线的距离为. …………………………………9分
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为………………………………10分
23.(本题满分10分)
(Ⅰ) 因为，所以. ………………………………………1分
① 当时，得，解得，所以; ……………2分
② 当时，得，解得，所以; ……………3分
③ 当时，得，解得，所以; ……………4分
综上所述，实数的取值范围是. ………………………………………5分
(Ⅱ) 因为R ,
所以 ……………………………7分
……………………………………………………………………8分
……………………………………………………………………9分
. ……………………………………………………………………10分