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- 2021-06-17 发布
2017-2018学年广东仲元中学高二下学期期中考试
理科数学试卷
命题人：冯文英 审题人：霍子伟
第一部分 选择题(共 60 分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.抛物线的焦点坐标是 （ ）
A. B. C. D.
3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )
A. B. C. D.
4．已知命题，．则命题的否定为
A． B．
C． D．
5．已知向量，，若与的夹角为，则
A． B． C． D．
6.若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7.世界数学名题“问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的，则输出（ ）
A． 3 B．5 C. 6 D．7
8.设复数，且为纯虚数，则 （ ）
A．-1 B． 1 C． 2 D．-2
9.设不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，对于中的任意一点和中的任意一点，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C.向左平移个单位 D．向左平移个单位
11.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
12.若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为 ．
14.已知点在同一个球的球面上，，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为 ．
15.正项数列的前项和为，且（），设，则数列的前2016项的和为 ．
16.已知是椭圆：的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）已知数列是等差数列，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）在锐角△ABC中，角的对边分别为，边上的中线，且满足.
（1）求的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
19. （本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）设.
（1）求的单调区间；
（2）求在的最大值与最小值.
21. （本小题满分12分）如下图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积恒为定值.
22. （本小题满分12分）设函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）如果不等式对于一切的恒成立，求的取值范围；
（3）证明：不等式对于一切的恒成立．
参考答案
一、选择题： BABCD ACDCD AB
二、填空题 13. 14. 15. 16. 4[]
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
解：(1)由题意得，所以，
时，，公差，所以; 时，，公差，所以.
(2)若数列为递增数列，则，所以，，，
所以 ，
，
所以
， 所以.
18．（本小题满分12分）解：（1）在中，由余弦定理得：， ①
在中，由余弦定理得：， ②
因为，所以，
①+②得：， 即，
代入已知条件，得，
即， ，又，所以.
（2）在中由正弦定理得，又，
所以， ，
∴，
∵为锐角三角形，，∴
∴，∴．
∴周长的取值范围为．
19. （本小题满分12分）
（1）证明：由题可得，则， 又，且，
所以平面.
因为平面，所以平面平面；
（2）解：过点作交于点，连结，则平面，，
又，所以平面，
易证，则，得，
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，则.
故，
设是平面的法向量，则，
令，得，
设是平面的法向量，则，
令，则，
因为，所以二面角的余弦值为.
20. （本小题满分12分）
解：（1）f ′（x）= -（x＋2）（3x-2），
令f ′（x）＞0得 -2＜x＜，令f ′（x）＜0得x＜-2或x＞，
（-∞，-2）
-2
（-2，）
（，+∞）
—
0
+
0
—
极小值
极大值
∴的单调增区间为（-2，），单调减区间为（-∞，-2）和（，＋∞）；
（2）由单调性可知，当x= -2时，f （x）有极小值f （-2 ）=0，当x=时，f （x）有极大值f （）=；
又f （-5）=63，f （）=，∴x= -2时，f （x）取最小值0，x= -5时，f （x）取最大值63.
21. （本小题满分12分）
解：（1）由题意得，.
因为点在区域内，所以与同号，得，
即点的轨迹的方程为.
（2）设直线与轴相交于点，当直线的斜率不存在时，，，得.
当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则，
把直线的方程与联立得，
由直线与轨迹有且只有一个公共点，知，
得，得或.
设，，由得，同理，得.
所以.
综上，的面积恒为定值2.
22. （本小题满分12分）
解：（1）当时，，则，故，所以曲线在点处的切线方程为：；
（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立.
设，得，
当时，，所以 在上单调递减，
所以 时，.
因为 恒成立，所以的取值范围是；
（3）当时，，等价于.
设，，得.[]
由（2）可知，时，恒成立.
所以时，，有，所以.
所以在上单调递增，当时，.
因此当时，恒成立