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- 2021-06-17 发布
专题12-1导函数解答题突破第一季
1．已知函数
（Ⅰ）若函数存在最小值，且最小值大于，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析
【解析】
（Ⅰ）f′（x），
①a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）递增，故无最小值；
②a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞a，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
此时f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），
令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），
则g（a）在（0，+∞）递减，又g（1）＝0，
∴0＜a＜1时，g（a）＞0，此时f（x）min＞0，
a≥1时，g（a）≤0，此时f（x）min≤0，
故a的范围是（0，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），则a＞0，
∵f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a，
令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），
则h′（x），
∴x∈（0，a）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，a）递减，
∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，
即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，
∴f（x1）＞f（2a﹣x1），
∵f（x1）＝f（x2），
∴f（x2）＞f（2a﹣x1），
∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，
∵f（x）在（a，+∞）递增，
∴x2＞2a﹣x1，∴a，
∴函数f（x）在区间[，+∞）递增，
∵x1≠x2，∴，
∴函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．
2．已知函数 ()．
（1）若，，求函数的图像在处的切线方程；
（2）若，求函数的单调区间；
（3）若，已知函数在其定义域内有两个不同的零点，，且．不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）.
（3）当时，，，
①当时，则在上恒成立，则单调递减，
函数最多有一个零点，所以不符题意；
②当时，令，解得，列表如下：
+
0
-
↗
极大值
↘
由表可知，，
因为函数有两个零点，所以，解得，
此时，，所以存在，使得，
，
设，令，解得，
列表可知，，所以，
故存在，使得，
设，因为，所以，
因为，解得，且，
因为，所以，即，
整理得，设，
则，，
①当时，在上恒成立，所以单调递增，
所以，即在上单调递增，
所以存在正整数n，且n的最大值为2，满足题意.
10．已知函数
（1）讨论的极值点的个数；
（2）若有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且求的最小值
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）法一：由题意得，
令，即。.
①当，即时，对任意恒成立，即对任意恒成立，此时没有极值点。
②当，即或时。
若，设方程的两个不同实根为，不妨设，
则，
故，
当或时，；
当时，，
故是函数的两个极值点。
若，设方程的两个不同实根为，
则，故。
当时，，故函数没有极值点。
当时，函数没有极值点。
法二：，
。.
故有两个极值点。.
综上所述，当时，没有极值点，
当时，有两个极值点。
（2）由题意知，，
则易知为方程的两个根，且，
所以
记，由且知，
则，
记，
则，
故在上单调递减。
由知，
从而，即，
故，结合，解得，
从而的最小值为，
即的最小值为。