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- 2021-06-17 发布
湖南省长沙市一中2017届高三月考（五）
数学（文）第Ⅰ卷（共60分）
一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.因为是虚数单位，复数，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3.某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5.在中，，，是边上的高，则（ ）
A. B. C. D.
6.运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有3次落在直线上，则判断框中可填写的条件是（ ）
A. B. C. D.
7.定义在上的函数满足，，且时，，则（ ）
A. B. C.1 D.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（［注释］三升九：3.9升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ）
A.1.9升 B.2.1升 C.2.2升 D.2.3升
10. 将函数
的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长也原来的2倍，得到函数的图象，设函数，则的导函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
12.定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.过点的直线与圆：交于、两点，当最小时，直线的方程是 .
14.高三（1）班某一学习小组的、、、四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在跑步.
①不在散步，也不在打篮球；
②不在跳舞，也不在跑步；
③“在散步”是“在跳舞”的充分条件；
④不在打篮球，也不在跑步；
⑤不在跳舞，也不在打篮球.
以上命题都是真命题，那么在 .
15.在中，为边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为 .
16.学生体质与学生饮食的科学性密切相关，营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075的碳水化合物，0.06的蛋白质，0.06的脂肪.已知1食物含有0.105碳水化合物，0.07蛋白质，0.14脂肪，花费28元；1食物含有0.105碳水化合物，0.14蛋白质，0.07脂肪，花费21元.为了满足高中学生日常饮食的营养要求，每天合理搭配食物和食物，则最低花费是
元.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）已知数列的前项和，令.
(1)求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，数列的前项和为，求.
18. （本小题满分12分）高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）：
消费金额
（0,200）
[200,400）
[400,600)
[600,800)
[800,1000)
人数
5
10
15
47
女性消费情况：
男性消费情况：
消费金额
（0,200）
[200,400）
[400,600)
[600,800)
[800,1000)
人数
2
3
10
2
（Ⅰ）现从抽取的100名且消费金额在[800,1000](单位：元)的购者中随机选出两名发放购红包，求选出的这两名购者恰好是一男一女的概率；
（Ⅱ）若消费金额不低于600元的购者为“购达人”，低于600元的购者为“非购达人”，根据以上统计数据填写右面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘购达人’与性别有关?”
女性
男性
总计
购达人
非购达人
总计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
附：
（，其中）
19. （本小题满分12分）如图，在梯形中，，，，、分别是、上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面，是的中点.
（1） 当时，求证：；
（2） 当变化时，求三棱锥的体积的最大值.
20. （本小题满分12分）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，的最大值是，的最小值是，且满足.
（1） 求椭圆的离心率；
（2） 设线段的中点为，线段的垂直平分线与轴、轴分别交于，两点，是坐标原点，记的面积为，的面积为，求的取值范围.
21. （本小题满分12分） 已知函数有且只有一个零点，其中.
（1） 求的值；
（2） 设函数，证明：对，，不等式恒成立.
22. （本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
（1） 求曲线的参数方程；
（2） 在直角坐标系中，点是曲线上一动点，求的最大值，并求此时点的直角坐标.
23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选将
设函数.
(1) 求证：；
(2) 若，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 画画 15. 16.16
三、解答题
17.(1)当时，；
当时,.
于是，
则.
18. 按分层抽样女性应抽取80名，男性应抽取20名.
，
抽取的100名且消费金额在[800,1000]（单位：元）的购者中有三位女性设为，，；两位男性设为，.
从5名任意选2名，总的基本事件有，，，，，，，，，共10个.
设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件”.
则事件包含的基本事件有，，，，，共6个.
.
（2） 列联表如下表：
女性
男性
总计
购达人
50
5
55
非购达人
30
15
45
总计
80
20
100
则
且.
所以再犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘购达人’与性别无关”.
19. （1）证：作于，连、.
平面平面，交线为，平面，
平面，又平面，故.
当时，得.
，，.
四边形为正方形，故.
又、平面，且，故平面.
又平面，故.
（2）
（3）
（4）
(2)，平面平面，交线为，平面.
面.又由（1）知平面，故.
四边形是矩形，，故三棱锥的高.
又.
三棱锥的体积
当时，体积的最大值为.
20.(1)令，则，.
由，得，即，即，，即，
所以椭圆的离心率为.
（2）由线段的垂直平分线分别与轴、轴交与点、，知的斜率存在且不为0.
令的方程为.
联立，得.
，，.
由，得，解之得.
由，得.
令，则，于是.
而上递增，.于是.
又，，
的取值范围是.
21（1）因为，所以定义域为，.
令，得.
当时，，则在区间上递增；
当时，，则在区间上递减.
，由题意知，解得.
(2)由，得，不妨令.
欲证，
只需证，
只需证，
即证
即证
设，则只需证，化简得.
设，则，
在上单调递增，
.
即，得证.
22. （1）由，得，
即，即.
即曲线是以点为圆心(2，2)，以为半径的圆，令为圆上任意一点，则圆的参数方程为（为参数）.
(2)因为（为参数），所以.
于是当时，，此时，即.
23. (1)由，得，
即.
（2） 由，得.
①当时，.
②当时，.
综上得，即实数的取值范围是.