- 675.50 KB
- 2021-06-17 发布
河北武邑中学2019-2020学年上学期高二12月月考卷
数学试题
考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前考，生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2．请将答案正确填写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一.选择题（本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．设复数满足，则复平面内表示的点位于（）
A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．第二象限
2．抛物线的焦点坐标是
A． B． C． D．
3．已知等比数列，，，则
A． B． C． D．
4．在中，角，，的对边长分别为，，，，，，则
A． B． C． D．
5．命题“，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（ ）
A．,或 B．,或
C．,且 D．,且
6．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）
A. B. C. D.
7．已知数列是正项等比数列，若， ，数列的前项和为，则>0时
的最大值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 10 D. 11
8、圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A,B，则线段AB中垂线方程是( )．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
9、椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )．
A. B. C. D.
10、直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）.
A． B.
C. D.
11．在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．双曲线的左焦点为，点A的坐标为（0，1），点P为双曲线右 支上的动点，且△APF1周长的最小值为6，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在区间上随机取一个数则的概率是______.
14．已知为双曲线的一条渐近线,与圆(其中）相交于两点，若，则的离心率为__________．
15．已知,如图，在的二面角的棱上有两点，直线
分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知
，则__________．
16．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是____________．
三、简答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17．（10分）设函数.(1) 求函数的最大值和最小正周期；(2) 设为的三个内角,若,求
18．(12分) 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润又是多少？.
19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：
日期
月日
月日
月日
月日
月日
月日
昼夜温差
就诊人数
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这组（每个有序数对叫作一组）数据中随机选取组作为检验数据，用剩下的组数据求线性回归方程.
（1）求选取的组数据恰好来自相邻两个月的概率；
（2）若选取的是月和月的两组数据，请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否是理想的？
（参考公式：回归直线方程为，其中， ）
20． （12分）如图，在四棱锥中，已知平面，为等边三角形，，，与平面所成角的正切值为.
(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)若是的中点，求二面角的余弦值.
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求f(x)的单调区间；
（2）若对，使成立，求实数的取值范围 (其中是自然对数的底数)．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与椭圆C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标．
答案
1. B 2. B 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C 8. A 9. A 10. B 11. A 12. B
13． 14【答案】 15． 16．
17．(1)最大值为，最小正周期；(2)。【解析】(1)，
函数的最大值为，最小正周期.
(2),.
18．解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300. ………3分
(2)约束条件为
整理得………5分
目标函数为w＝2x＋3y＋300.
作出可行域．如图所示：
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．
由得………9分
最优解为A(50,50)，所以wmax＝550元．
∴每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．………12分
19．（1）设选取的组数据恰好是相邻两个月为事件，因为从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的.
其中选取的组数据恰好是相邻两个月的情况有种.
所以. …………………………………4分
（2）由数据求得.由公式求得，
再由求得：.
所以关于的线性回归方程为. …………………………………9分
（3）当时，；当时，.
所以，该小组所得线性回归方程是理想的. …………………………………12分
20．（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.
(Ⅰ)证明：因为平面，平面，
所以,又,,所以平面，
所以为与平面所成的角．
在中，，所以
所以在中，,.
又，所以在底面中，,
又平面，平面，所以平面．
(Ⅱ)解：取的中点，连接，则,由(Ⅰ)知，
所以，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.
则， ，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由，即，得，
令，则．
设平面的一个法向量为，
由，即，得，
令，则．所以，
由图形可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
21．（解(1),
的定义域为． ,,.
所以的单调递增区间为,单调递减区间为．
(2) ,,令
,由
当时,,在[,1]上单调递减
当时,,在[1,e]上单调递增,
,,,所以g(x)在[,e]上的最大值为
所以,所以实数的取值范围为
22．解：（1）由题意可得：a﹣b＝，＝，a2＝b2+c2．联立解得：a＝2，c＝1，b＝∴椭圆C的标准方程为：+＝1．
（2）设M（t，0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my+t．
联立，化为：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＝48（3m2﹣t2+4）＞0．
∴y1+y2＝﹣，y1y2＝．
|PM|2＝+＝（1+m2），同理可得：|PQ|2＝（1+m2）．
∴＝＝＝•＝．
∵为定值，∴必然有3t2+12＝16﹣4t2，解得t＝．
此时＝为定值，M（，0）．
②当直线l的斜率为0时，设P（2，0），Q（﹣2，0）．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．
此时＝+＝，把t2＝代入可得：
＝为定值．综上①②可得：＝为定值，M（，0）．