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- 2021-06-17 发布
2016-2017学年吉林省长春十一中高二（上）期初数学试卷（文科）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．椭圆的短轴长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．y=2x B． C．y=4x D．
3．抛物线y=6x2的焦点坐标为（ ）
A．（0，） B．（，0） C．（0，） D．（，0）
4．下列命题：①如果x=y，则sinx=siny；②如果a＞b，则a2＞b2；③A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．椭圆4x2+y2=1的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．过（2，2）点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A．x2 B． C． D．
7．“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
8．椭圆的焦距为6，则m的值为（ ）
A．m=1 B．m=19 C．m=1 或 m=19 D．m=4或m=16
9．将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形”的面积是（ ）
A．﹣1 B．2﹣2 C．1 D．2
10．双曲线的一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（（ ）
A． B． C．或 D．或
11．已知抛物线C：x2=12y的焦点为F，准线为l，P∈l，Q是线段PF与C的一个交点，若|PF|=3|FQ|．则|FQ|=（ ）
A． B． C．4 D．5
12．直线y=x﹣1与圆及抛物线依次交于A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|=（ ）
A．6 B．8 C．7 D．9
二、填空题（每题5分共20分）
13．离心率为的椭圆C：（a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为8则椭圆C的方程为 ．
14．抛物线C：y2=16x，C与直线l：y=x﹣4交于A，B两点，则AB中点到y轴距离为 ．
15．已知椭圆+=1（a＞b＞0），过P（﹣a，0）作圆x2+y2=b2的切线，切点为A，B，若∠APB=120°，则椭圆的离心率为 ．
16．双曲线C与椭圆C1： +=1有相等焦距，与双曲线C2：﹣
=1有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为 ．
三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
17．抛物线C：x2=2py（p＞0）的通径为4，正三角形一个顶点是原点O，另外两点A，B也在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求正三角形OAB边长．
18．椭圆（a＞b＞0），左右焦点分别为F1，F2，C的离心率e=，且过P（）点
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q点在椭圆C上，且=30°，求△QF1F2的面积．
19．已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2是椭圆的左，右焦点，直线PF2的斜率为．
（1）求P点的坐标；
（2）求△PF1F2的面积．
20．曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x﹣4），l与C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求x1x2；
（2）若|AB|=4，求直线l的方程．
21．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
2016-2017学年吉林省长春十一中高二（上）期初数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．椭圆的短轴长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4，则短轴长2b=8．
【解答】解：由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4，
则短轴长2b=8，
故选D．
2．双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A．y=2x B． C．y=4x D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±2x．
故选：A．
3．抛物线y=6x2的焦点坐标为（ ）
A．（0，） B．（，0） C．（0，） D．（，0）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】将抛物线y=6x2转化成标准方程为：x2=y，则焦点在y轴的正半轴上，由抛物线的性质可知：2p=，则=，即可求得抛物线的焦点坐标．
【解答】解：由抛物线y=6x2的标准方程为：x2=y，焦点在y轴的正半轴上，
由抛物线的性质可知：2p=，则=，
∴焦点坐标为（0，），
故选：C．
4．下列命题：①如果x=y，则sinx=siny；②如果a＞b，则a2＞b2；③A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据三角函数的定义，可判断①；举出反例，可判断②；根据椭圆的定义，可判断③．
【解答】解：①如果x=y，则sinx=siny为真命题；
②如果a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2为假命题；
③A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆或线段，为假命题．
故选：B．
5．椭圆4x2+y2=1的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2
=1，求出a，b，c，即可求出椭圆的离心率．
【解答】解：椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2=1，
∴a=1，b=，c=，
∴e==．
故选C．
6．过（2，2）点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A．x2 B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】要求的双曲线与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线，可设要求的双曲线的标准方程为：x2﹣=λ．把点（2，2）代入可得λ，即可得出．
【解答】解：∵要求的双曲线与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线，
∴可设要求的双曲线的标准方程为：x2﹣=λ．
把点（2，2）代入可得：λ=4﹣1=3，
∴要求的双曲线的标准方程为：．
故选C．
7．“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】设动点的坐标为（x，y），结合与两坐标轴距离即可求得轨迹方程．
【解答】解：设动点P（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y|，|x|，
∴到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，
故y=|x|是|x|=|y|的必要不充分条件，
故选：B．
8．椭圆的焦距为6，则m的值为（ ）
A．m=1 B．m=19 C．m=1 或 m=19 D．m=4或m=16
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆的焦距为6，即2c=6，则c=3，c2=9，由当焦点在x轴上，则0＜m＜10，则c2=10﹣m，当焦点在y轴上，则m＞10，则c2=m﹣10，即可求得m的值．
【解答】解：由椭圆的焦距为6，即2c=6，则c=3，c2=9
由当焦点在x轴上，则0＜m＜10，
则c2=10﹣m，
则m=1，
当焦点在y轴上，则m＞10，
则c2=m﹣10，
解得：m=19，
故选C．
9．将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2﹣y2
=4的“黄金三角形”的面积是（ ）
A．﹣1 B．2﹣2 C．1 D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：由x2﹣y2=4得﹣=1，
则a2=b2=4，则a=2，b=2，c=2，
则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（2，0），（2，0），（0，2），
故所求“黄金三角形”的面积S=（2﹣2）×2=2﹣2，
故选：B
10．双曲线的一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（（ ）
A． B． C．或 D．或
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，
由一条渐近线斜率为2，可得=2，
即b=2a，c==a，
即有e==．
故选：B．
11．已知抛物线C：x2=12y的焦点为F，准线为l，P∈
l，Q是线段PF与C的一个交点，若|PF|=3|FQ|．则|FQ|=（ ）
A． B． C．4 D．5
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由题意可知：抛物线C：x2=12y的焦点为F（0，3），丨EF丨=6，设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|FQ|=d，由|PF|=3|FQ|，|PF|=3d，|PQ|=2d，根据三角形相似， ==，即可求得|PF|=2丨EF丨=12，则3d=12，解得：d=4，即可求得|FQ|的值．
【解答】解：抛物线C：x2=12y的焦点为F（0，3），丨EF丨=6，
设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|FQ|=d，
∵|PF|=3|FQ|，
∴|PF|=3d，|PQ|=2d，
由sin∠QPD==，
∴∠QPD=30°，
∴sin∠QPD==，
∴|PF|=2丨EF丨=12，
∴3d=12，解得：d=4，
∴|FQ|=d=4，
故选：C．
12．直线y=x﹣1与圆及抛物线依次交于A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|=（ ）
A．6 B．8 C．7 D．9
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】根据抛物线的性质，可得|AD|=x1+x2+2，|BC|为圆直径1，进而得到答案．
【解答】解：圆的圆心和抛物线的焦点（1，0），
直线y=x﹣1经过（1，0），
由得：x2﹣6x+1=0，
故|AD|=x1+x2+2=8，
圆的半径为，故直径|BC|=1，
故|AB|+|CD|=|AD|﹣|BC|=7，
故选：C．
二、填空题（每题5分共20分）
13．离心率为的椭圆C：（a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为8则椭圆C的方程为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：（a＞b＞0），焦点在x轴上，丨PF1丨+丨PF2丨=2a=8，a=4，椭圆的离心率为e==，即c=3，则b2=a2﹣c2=7，即可求得椭圆C的方程．
【解答】解：由题意可知：（a＞b＞0），焦点在x轴上，
P到椭圆的两个焦点距离之和为8，
由椭圆的性质可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=8，
∴a=4，
由椭圆的离心率为e==，即c=3，
则b2=a2﹣c2=7
∴椭圆的标准方程为：；
故答案为：．
14．抛物线C：y2=16x，C与直线l：y=x﹣4交于A，B两点，则AB中点到y轴距离为 12 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】把直线与抛物线的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和x1+x2，即可求出AB中点到y轴距离．
【解答】解：把直线方程与抛物线方程联立得，
消去y得到x2﹣24x+16=0，利用根与系数的关系得到x1+x2=24，
∴AB中点到y轴距离为12，
故答案为：12．
15．已知椭圆+=1（a＞b＞0），过P（﹣a，0）作圆x2+y2=b2的切线，切点为A，B，若∠APB=120°，则椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形，根据∠APB=120°，得∠APO=60°，由此能够得到a、b的关系，进一步得到椭圆C的离心率．
【解答】解：如图，
∵∠APB=120°，∴∠APO=60°，
∴=sin60°=，
∴e=．
故答案为：．
16．双曲线C与椭圆C1： +=1有相等焦距，与双曲线C2：﹣=1有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为 ．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【分析】求出椭圆的焦距，得到双曲线C的焦距，双曲线C2：﹣=1的渐近线，设出方程，求解即可．
【解答】解：双曲线C与椭圆C1： +=1有相等焦距，可得双曲线C的焦距为：10，即c=5；焦点在x轴上，
双曲线C2：﹣=1有相同渐近线，可设双曲线C：﹣=m，m＞0，
半焦距为： =5，解得m=．
则双曲线C的标准方程为：．
故答案为：．
三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
17．抛物线C：x2=2py（p＞0）的通径为4，正三角形一个顶点是原点O，另外两点A，B也在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求正三角形OAB边长．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）抛物线的通径为2p=4，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（2）求出A的坐标，即可得到OA的长．
【解答】解：（1）∵抛物线的通径为2p=4，∴p=2，
∴抛物线C的方程为x2=4y
（2）∵△AOB为正三角形．由抛物线的几何性质知：OA，OB关于y轴对称
∴设直线OA的方程为y=，由得 x2=4，
∴xA=4myA=12，
∴|OA|=8
18．椭圆（a＞b＞0），左右焦点分别为F1，F2，C的离心率e=，且过P（）点
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q点在椭圆C上，且=30°，求△QF1F2的面积．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由题意的离心率得到a，b的关系，化椭圆方程为，把P（）代入求得b2=1，则椭圆方程可求；
（2）在焦点三角形△QF1F2中，由已知结合余弦定理求得：|QF1|=2，代入三角形面积公式可得△QF1F2的面积．
【解答】解：（1）∵椭圆的离心率e=，∴，即a2=4b2，
∴椭圆C的方程可写为，
把P（）代入C中，得，∴b2=1，
∴椭圆C的方程为；
（2）在△QF1F2中，
由余弦定理cos30°==，
解得：|QF1|=2，
且2c=2，
∴
19．已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2是椭圆的左，右焦点，直线PF2的斜率为．
（1）求P点的坐标；
（2）求△PF1F2的面积．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）将椭圆转化成标准方程：由椭圆的焦点在x轴上，a=10，b=8，c==6，P点的坐标为（x0，y0），代入椭圆方程，由直线的斜率公式可知：，即可求得P点坐标；
（2）由△PF1F2的面积S=丨F1F2丨•丨y0丨，将丨F1F2丨=12，代入即可求得△PF1F2的面积．
【解答】解：（1）由椭圆16x2+25y2=1600，转化成标准方程：，则椭圆的焦点在x轴上，
a=10，b=8，c==6，
∴椭圆的焦点坐标为：F1（﹣6，0），F2（6，0），焦距丨F1F2丨=12，
设P点的坐标为（x0，y0），
由P点在椭圆上，且直线PF2的斜率为．
则，
消去y0，得16+25[﹣4（x0﹣6）]2=1600，
整理得：16×76﹣48×12×25x0+25×48×36﹣1600=0，
化简得 19﹣225x0+650=0，
解得：x0=5或x0=，
当x0=时，y0＜0故舍去
把x0=5，代=﹣4入，解得：y0=4，
∴P点的坐标为（5，4），
（2）△PF1F2的面积S=丨F1F2丨•丨y0丨=×12×4=24，
△PF1F2的面积24．
20．曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x﹣4），l与C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求x1x2；
（2）若|AB|=4，求直线l的方程．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（1）联立方程组，利用韦达定理求解即可．
（2）利用（1）结合弦长公式求解即可．
【解答】解：（1）曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x﹣4），消去y可得k2（x﹣4）2﹣12x=0，
即：k2x2﹣（8k2+12）x+16k2=0，l与C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
可得x1x2==16．
（2）由（1）可得：x1+x2=，
|AB|=4=|x1﹣x2|=•；
解得k=±1，
直线l：y=±（x﹣4），即x﹣y﹣4=0或x+y﹣4=0．
21．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即=0，当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，
联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．
【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，
∴，解得a=2，b=1，c=，
∴椭圆C的标准方程为=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），
由OP⊥OQ，即=0，（*）
①当直线AB的斜率不存在时，S=|x1|×|y1﹣y2|=1．
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，
联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=16（4k2+1﹣m2），，
同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，
此时，△=16m2＞0，
AB=|x1﹣x2|=，
h=，∴S=1，
综上，△ABC的面积为1．