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- 2021-06-17 发布
武邑中学2018-2019学年上学期高二期末考试
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2、某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
附：
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
3、已知抛物线的焦点（），则抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
4、命题，；命题，函数
的图象过点，则（ ）
A．假真 B．真假
C．假假 D．真真
5、执行右边的程序框图，则输出的是（ ）
A． B． C． D．
6、在直角梯形中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7、已知，则（ ）
A． B． C．或 D．或
8、展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
9.已知函数的定义域为，且是偶函数．又，存在，使得，则满足条件的的个数为( )A．3 B．2 C．4 D．1
10、是双曲线（，）的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
11、直线分别与曲线，交于，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、已知，，若，则 ．
14、已知，则实数的取值范围是
15、在半径为的球面上有不同的四点，，，，若，则平面
被球所截得图形的面积为 ．
16、已知，，满足，则的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）设数列的前项和为，满足，且．
求的通项公式；
若，，成等差数列，求证：，，成等差数列．
18、（本小题满分12分）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：
空气污染指数
空气质量
空气污染指数
空气质量
0--50
优
201--250
中度污染
51--100
良
251--300
中度重污染
101--150
轻微污染
>300
重污染
151----200
轻度污染
我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天．下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十、个位为叶）
（Ⅰ）从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；
（Ⅱ）从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X
的分布列及数学期望．
19、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．
求证：；
若，求二面角．
20、（本小题满分12分）已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为．
求曲线的方程；
直线交圆于，两点，当为的中点时，求直线的方程．
21、（本小题满分12分）已知函数，．
时，证明：；
，若，求的取值范围．
请考生在第23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆，直线（为参数）．
写出椭圆的参数方程及直线的普通方程；
设，若椭圆上的点满足到点的距离与其到直线的距离相等，求点的坐标．
23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
当时，解不等式；
若的最小值为，求的值．
高二数学（文）答案
一、选择题：
1、C 2、B 3、B 4、A 5、B 6、B 7、D 8、C 9、A 10、C 11、D 12、C
二、填空题：
13、 14、［1，3］ 15、16π 16、[4，12]
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，a1＝1．
当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得an＝qan－1，
又q(q－1)≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，
故an＝qn－1． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，
化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8．
故a2，a8，a5成等差数列． …12分
18、解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有 ，
3天中至少有2个A类天的取法种数 ， ..... ....2分
所以这3天至少有2个A类天的概率为；................. ..4分
（Ⅱ）X的一切可能的取值是3,2,1,0.………… 5分
当X=3时， …………………… 6分
当X=2时， …………………… 7分
当X=1时， …………… 8分
当X=0时， …………… 9分
X的分布列为
X
3
2
1
0
P
7/102
35/102
15/34
5/34
……………11分
数学期望为 ． ……………12分
A
B
C
A1
B1
C1
z
y
x
O
19、解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，
则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．
取CC1中点O，连OA，OB1，
则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，
则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，
所以OA⊥OB1．
如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，
则C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)， …6分
设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
因为＝(，0，－)，＝(0，－1，－)，
所以取m＝(1，－，1)． …8分
设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
因为＝(，0，－)，＝ (0，2，0)，
所以取n＝(1，0，1)． …10分
A
x
y
O
B
A¢
M
N
则cosám，nñ＝＝＝，因为二面角C-AB1-A1为钝角，
所以二面角C-AB1-A1的余弦值为－． …12分
20、解：（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，
则|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，
取A关于y轴的对称点A¢，连A¢B，
故|A¢B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4．
所以点B的轨迹是以A¢，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a＝2，c＝，b＝1，则曲线Γ的方程为＋y2＝1． …5分
（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，
A
x
y
O
B
D
C
则⊥．设B(x0，y0)，
则x0(x0－)＋y＝0． …7分
又＋y＝1 解得x0＝，y0＝±．
则kOB＝±，kAB＝， …10分
则直线AB的方程为y＝±(x－)，
即x－y－＝0或x＋y－＝0． …12分
21、解：（Ⅰ）令p(x)＝f¢(x)＝ex－x－1，p¢(x)＝ex－1，
在(－1，0)内，p¢(x)＜0，p(x)单减；在(0，＋∞)内，p¢(x) ＞0，p(x)单增．
所以p(x)的最小值为p(0)＝0，即f¢(x)≥0，
所以f(x)在(－1，＋∞)内单调递增，即f(x)＞f(－1)＞0． …4分
（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，则h¢(x)＝－e－x－a，
令q(x)＝－e－x－a，q¢(x)＝－．
由（Ⅰ）得q¢(x)＜0，则q(x)在(－1，＋∞)上单调递减． …6分
（1）当a＝1时，q(0)＝h¢(0)＝0且h(0)＝0．
在(－1，0)上h¢(x)＞0，h(x)单调递增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)
单调递减，
所以h(x)的最大值为h(0)，即h(x)≤0恒成立． …7分
（2）当a＞1时，h¢(0)＜0，
x∈(－1，0)时，h¢(x)＝－e－x－a＜－1－a＝0，
解得x＝∈(－1，0)．
即x∈(，0)时h¢(x)＜0，h(x)单调递减，
又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …9分
（3）当0＜a＜1时，h¢(0)＞0，
x∈(0，＋∞)时，h¢(x)＝－e－x－a＞－1－a＝0，
解得x＝∈(0，＋∞)．即x∈(0， )时h¢(x)＞0，h(x)单调递增，
又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …11分
综上，a的取值为1． …12分
22、解：（Ⅰ）C：（θ为为参数），l：x－y＋9＝0． …4分
（Ⅱ）设P(2cosθ，sinθ),则|AP|＝＝2－cosθ，
P到直线l的距离d＝＝．
由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝， cosθ＝－．
故P(－，)． …10分
23、解：（Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝
且f(1)＝f(－1)＝3，所以，f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}； …4分
（Ⅱ）|2x－a|＋|x＋1|＝|x－|＋|x＋1|＋|x－|≥|1＋|＋0＝|1＋|
当且仅当(x＋1)(x－)≤0且x－＝0时，取等号．
所以|1＋|＝1，解得a＝－4或0． ----------------10分