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- 2021-06-17 发布
广西省陆川中学2017届高三下学期期中考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数在眏射 下的象为，则的原象为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 甲、乙、丙.丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是（ ）
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域 B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C.丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
5. 若，且为第二象限角，则的值等于（ ）
A． B． C. D．
6. 已知定义在上的函数，记，则的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
7. 执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A． B． C. D．
8.在中，内角的对边分别为，若，则 （ ）
A．或 B． C. D．
9.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）
A． B． C. D．
10. 如图，在三棱锥中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C. D．
11. 已知点是以为焦点的椭圆上一点，若
，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C. D．
12. 若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”.例如：是“开心数”.因不产生进位现象；不是“开心数”.因产生进位现象，那么，小于的“开心数”的个数为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值是 ．
14.已知，在函数与的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，则 ．
15.已知函数，如果成立，则实数的取值范围为 ．
16.设圆满足：(1)截轴所得弦长为；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件（1）、（2）的所有圆中，圆心到直线的距离最小的圆的方程为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知中，分别是角的对边，有.
（1）求角的大小；
（2）若等差数列中，，设数列的前项和为，求证：.
18. 某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色外卖份数（份）与收入（元）之间有如下的对应数据：
外卖份数（份）
收入（元）
（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）据此估计外卖份数为份时，收入为多少元.
注：参考公式：, 【来源：全,品…中&高*考+网】 ；
参考数据：.
19. 如图，三棱柱中，平面分别为和的中点，是边长为的正三角形，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20. 设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值.
21. 已知函数.
（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）设是函数的两个极值点，若，求的极大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）求直线与曲线的交点的直角坐标.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）若时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的值.
广西省陆川中学2017届高三下学期期中考试数学（理）
试题参考答案
一、选择题
1-5: DABAD 6-10:DCCAD 11-12：CD
二、填空题
13. 14. 15.
16.或
三、解答题
17. 解：(1)，又.
(2)由（1）知，设等差数列的公差为，，
，.显然为递减数列，故为递增数列，故的最小值为，故.
18. 解：(1)作出散点图如图所示：
(2)，已知，由公式, 【来源：全,品…中&高*考+网】，可求得，【来源：全,品…中&高*考+网】，因此回归直线方程为【来源：全,品…中&高*考+网】.
（3）时，【来源：全,品…中&高*考+网】，即外卖份数为份时，收入大约为元.
19. 解：(1)取的中点，连接分别为和的中点，，则四边形
是平行四边形，则平面平面平面.
(2)取中点为等边三角形，，又平面平面，建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系如图：
则，则设平面的法向量为，，则，即，令，则，即，平面的法向量为，，则，得，即，令，则，即，则
，即二面角的余弦值是.
20. 解：(1)过点作直线垂直于直线于点，由题意得，所以动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.所以抛物线得方程为.
(2)由题意知，过点的直线斜率存在且不为，设其为，则，当，则.联立方程，整理得：.即，解得
或，，而，所以直线斜率为，，联立方程，整理得：，即，解得，或..
而抛物线在点的切线斜率， ，是抛物线的切线，，整理得，解得（舍去），或.
21. 解：(1),由题意知在上有解，即有解，，当且仅当时等号成立，要使有解，只需要的最小值小于，解得实数的取值范围是.
(2), 由题意知在上有解，，设，又，则
，所以设，令，则，在上单调递减，，由，得，故的最大值为.
22. 解：(1)因为直线的参数方程为，代入，即，所以直线的直角坐标方程为，因为曲线的极坐标方程为，即.
(2) 曲线的直角坐标方程为,解得或，所以直线与曲线的交点的直角坐标为.
23. 解：（1）时，可化为，当时，；当时，，无解；当时，，综上所述，不等式的解集为或.
（2）因为不等式的解集为，的一个根是，或.
时，由解得，符合题意，时，由，解得，符合题意，综上所述，或.