2017-2018学年河南省商丘市第一高级中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版） 15页

‎2017-2018学年河南省商丘市第一高级中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意易得：,即 ‎∴，‎ ‎∴不等式的解集为 故选：B ‎2．若数列是等比数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵数列是等比数列，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 故选：C ‎3．已知点在直线的两侧，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵点在直线的两侧，‎ ‎∴，‎ 即 ‎∴‎ ‎∴实数的取值范围为 故选：B ‎4．已知甲：，乙：，则（ ）‎ A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】∵“x=3且y=3则x+y=5”是假命题 所以其逆否命题“x+y≠5则x≠3或y≠3”为假命题 即命题甲成立不能推出命题乙成立 又“x+y=5则x=3且y=3”假命题，所以其逆否命题“x≠3或y≠3则x+y≠5“是假命题 即乙成立推不出甲成立 故甲是乙的既不充分也不必要条件 故选：D ‎5．若使得成立是真命题，则实数取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】若“，使得2x2﹣λx+2＜0成立”是真命题，‎ 即“，使得λ＞2x+成立”是真命题，4‎ 由，当x=1时，函数取最小值4，‎ 故实数λ的取值范围为，‎ 故选：D ‎6．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当双曲线的焦点在x轴上，‎ 由双曲线的方程（a，b＞0），‎ 可得渐近线方程为y=±x，‎ 即有b=2a，c=a，‎ 则e==；‎ 当双曲线的焦点在y轴上，‎ 由双曲线的方（a，b＞0），‎ 可得渐近线方程为y=±x，‎ 即有b=a，c=a，‎ 则e==．‎ 故选：C 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎7．给出下列命题：‎ ‎ ①；②；‎ ‎ ③；④.‎ 正确命题的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】①当时，，∴命题错误；‎ ‎②令，则 ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴命题正确；‎ ‎③，∴命题错误；‎ ‎④当时，显然,∴命题错误》‎ 故选：A ‎8．若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围为 故选：B ‎9．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是________． ‎ ‎①；② ；③；④‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数g（x）=，‎ 则g′（x）=（），‎ ‎∵对任意的满足，‎ ‎∴g′（x）＞0，即函数g（x）在单调递增，‎ 则g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜，故①错误，‎ g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜，故②错误，‎ g（）＞g（），即＞，∴＞，故③错误，‎ g（）＜g（），即 ＜，∴，故④正确，‎ 故选：D．‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等 ‎10．已知抛物线的焦点，的顶点都在抛物线上，且满足，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）‎ 抛物线焦点坐标F（，0），准线方程：x=﹣，‎ ‎∵，‎ ‎∴点F（，0）是△ABC重心，‎ ‎∴x1+x2+x3=，y1+y2+y3=0，‎ 而=x1﹣（﹣）=x1+，‎ ‎=x2﹣（﹣）=x2+，‎ ‎=x3﹣（﹣）=x3+，‎ ‎∴|FA|+|FB|+|FC|=x1++x2++x3+‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．‎ ‎2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎11．已知数列， （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴奇数项成等比，偶数项成等比 ‎∴为奇数时，,‎ 为偶数时，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 故选：B ‎12．设直线分别是函数图像上点、处的切线，垂直相交于点，则点横坐标的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），‎ 当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，‎ ‎∴l1的斜率，l2的斜率，‎ ‎∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，‎ ‎∴，即x1x2=1．‎ 直线l1：，l2：．‎ 取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），‎ ‎|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．‎ 联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，‎ ‎∴x=．‎ ‎∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴．‎ ‎∴点横坐标的取值范围为（0，1）．‎ 故选：A．‎ 点睛：】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ 二、填空题 ‎13．若变量满足约束条件，则的最大值为___________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ 化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，‎ 由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．‎ 故答案为：４‎ 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎14．函数 在处的切线方程为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：‎ 解得：‎ ‎∴函数 在处的切线方程为 即 故答案为：‎ ‎15．若数列是等比数列，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵数列是等比数列，‎ ‎∴‎ ‎∴是方程的两根 ‎∴，‎ 若，则得：，‎ 若，则得：，‎ 故答案为：‎ ‎16．已知椭圆 和双曲线 的左右顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且满足 ，设直线的斜率分别为，则______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎∵ ，∴，‎ ‎,①‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，②‎ ‎∵，∴O、P、Q三点共线，‎ ‎∴，‎ ‎∴由①②得k1+k2+k3+k4=0，‎ 故答案为：0‎ 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为，直线的参数方程为 ，直线与圆交于两点.‎ ‎（1）求圆心的极坐标；‎ ‎（2）直线与轴的交点为,求.‎ ‎【答案】（1）；（2）4‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出圆心的直角坐标，即可求圆心的极坐标；‎ ‎（2）直线l与x轴的交点为P，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，所以 故圆的普通方程为.所以圆心坐标为，圆心的极坐标为 ‎（2）把代入得 所以点对应的参数分别为 直线与轴的交点为，即点P对应的坐标为.所以 ‎18．设数列的前项和满足且成等差数列。‎ ‎（1）求的通项公式 ‎ ‎（2） 若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用 的关系明确 从而得到的通项公式 ；(2)，利用裂项相消法求出数列的前n项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知，可得，‎ 即 则，.又因为，，成等差数列，即.‎ 所以，解得. ‎ 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. 故 ‎ ‎（2） 解：依题意， ‎ ‎，‎ 点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：‎ ‎（1）已知数列的通项公式为，求前项和： ；‎ ‎（2）已知数列的通项公式为，求前项和：‎ ‎；‎ ‎（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.‎ ‎19．设F1，F2分别是椭圆C： (a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；‎ ‎（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|‎ ‎，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．‎ 试题解析：‎ ‎(1)根据及题设知，‎ 直线MN的斜率为, 所以即 将代入得 解得，因为故C的离心率为.‎ ‎（2）由题意，知原点O为的中点，轴，所以直线轴的交点是线段的中点，故，即，① 由 ‎ 设，由题意知 则代入C的方程，②‎ 将①及代入②得 解得，故.‎ ‎20．设，函数，（为自然对数的底数），且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线． ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出两个函数的导函数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线，列出方程，即可求出b．‎ ‎（Ⅱ）求出导函数f'（x），通过时，判断函数的单调性，当或时，判断导函数的符号，判断函数的单调性．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得， ‎ ‎ 函数的图象与函数的图象在处有公共的切线．‎ ‎，所以 ‎（2）由第一问得， ‎ 当 所以函数f（x）在定义域内单调递增，‎ 当即或 的两根为 ‎，此时 令；令 所以函数的单增区间为 函数的单增区间为 ‎21．已知点，点为平面上动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线与轨迹交于两点，在处分别作轨迹的切线交于点，设直线的斜率分别为，，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设P（x，y），则H（﹣1，y），通过向量的数量积求出动点P的轨迹C的方程．‎ ‎（2）证明：设点M（x0，y0）（x0≠0）为轨迹C上一点，直线m：y=k0（x﹣x0）+y0为轨迹C的切线，联立在与椭圆方程，利用判别式求出其判别式，求出，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣1），直线与抛物线方程，利用韦达定理求解斜率乘积即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，则，有，，，‎ ‎，从而由题意，得动点P的轨迹C的方程y2=4x． （2）证明：设点（x0≠0）为轨迹C上一点，直线m：y=k0（x-x0）+y0为轨迹C的切线，有，消去x得，k0y2−4y−4k0x0+y0＝0，其判别式△=16-4k0（-4k0x0+4y0）=0，解得，有m：，设 得根据 所以为定值.‎ 点睛：求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎22．已知函数， ‎ ‎（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证： .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可；‎ ‎（Ⅱ）得到，令x=n（n≥2，n∈N），得，x取不同的值，相乘即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ 因为对任意的恒成立，‎ 设 ，所以在恒成立 设，‎ 在恒成立，所以 所以在恒成立，所以函数为增函数；‎ 所以，所以.‎ ‎（2）由（1）知，令a=2，（x+1）lnx≥2（x﹣1），‎ ‎∴x≥1，且当且仅当 令 即，， ，，‎ 将上述个式子相乘得：∴原命题得证