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- 2021-06-17 发布
2016-2017学年西藏山南二中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列{an}中，a2=2，a3=4，则a10=（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
3．不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（ ）
A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10
4．在△ABC中，a=，b=1，c=2，则A等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．在等比数列{an}中，a7•a12=5，则a8•a9•a10•a11=（ ）
A．10 B．25 C．50 D．75
6．若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．已知a=，b=log2，c=log，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
8．下列函数中，周期为π，且在[]上为减函数的是（ ）
A．y=sin（x+） B．y=cos（x+） C．y=cos（2x+） D．y=sin（2x+）
9．设函数f（x）=则不等式f（x）＞f（1）的解集是（ ）
A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）
10．设Sn是等比数列{an}的前n项和，a3=，S3=，则公比q=（ ）
A． B． C．1或﹣ D．1或
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且acosC+c=b，则∠A=（ ）
A． B． C． D．
12．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
二、填空题：共4小题，每小题5分，共计20分．
13．函数y=ln（x2﹣x﹣2）的定义域是 ．
14．在等比数列{an}中，a1=3，a4=24，则a3+a4+a5= ．
15．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围为 ．
16．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ．
三、解答题：共6小题，共计70分，解答应写出解答过程、证明过程或演算步骤．
17．设{an}为等差数列，公差d=﹣2，sn为其前n项和，若s10=s11，求a1的值．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a=1，∠B=45°，S△ABC=2，求边长b的值．
19．已知：a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞．
20．已知不等式 ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[﹣，﹣]，求不等式ax2﹣bx﹣1＜0的解集．
21．已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1、a2、a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
22．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N+，所有项an＞0，且Sn=+an﹣．
（1）证明：{an}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
2016-2017学年西藏山南二中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列{an}中，a2=2，a3=4，则a10=（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据所给的等差数列的两项做出等差数列的公差，写出等差数列的第十项的表示式，用第三项加上七倍的公差，代入数值，求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a2=2，a3=4，
∴d=a3﹣a2=4﹣2=2，
∴a10=a3+7d=4+14=18
故选D．
2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
【考点】不等式比较大小；不等关系与不等式．
【分析】利用特例法，判断选项即可．
【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，，∴A、B不正确；
， =﹣，
∴C不正确，D正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴．
故选：D．
3．不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（ ）
A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出．
【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），
∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，
∴﹣=﹣+， =﹣×，
解得a=﹣12，b=﹣2，
∴a+b=﹣14
故选：B
4．在△ABC中，a=，b=1，c=2，则A等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】余弦定理．
【分析】直接利用余弦定理求出A的余弦函数值，即可求出A的大小．
【解答】解：因为在△ABC中，a=，b=1，c=2，
所以由余弦定理可得： ==，
所以A=60°．
故选C．
5．在等比数列{an}中，a7•a12=5，则a8•a9•a10•a11=（ ）
A．10 B．25 C．50 D．75
【考点】等比数列的性质．
【分析】根据等比数列的性质得到a7•a12=a8•a11=a9•a10=5，即可得到结论．
【解答】解：在等比数列中，a7•a12=a8•a11=a9•a10，
∵a7•a12=5，
∴a7•a12=a8•a11=a9•a10=5，
即a8•a9•a10•a11=5×5=25，
故选：B．
6．若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即C（2，﹣1），此时最大值z=2×2﹣1=3，
当直线y=﹣2x+z经过点B时，
直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，即B（﹣1，﹣1），
最小值为z=﹣2﹣1=﹣3，
故最大值m=3，最小值为n=﹣3，
则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，
故选：C
7．已知a=，b=log2，c=log，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．
【解答】解：∵0＜a=＜20=1，
b=log2＜log21=0，
c=log=log23＞log22=1，
∴c＞a＞b．
故选：C．
8．下列函数中，周期为π，且在[]上为减函数的是（ ）
A．y=sin（x+） B．y=cos（x+） C．y=cos（2x+） D．y=sin（2x+）
【考点】正弦函数的图象．
【分析】利用函数的周期公式，求出A、B、C、D的周期，排除选项后，利用函数的单调性判断出满足题意的选项．
【解答】解：对于A，y=cosx，周期为2π，不符合；
对于B，y=﹣cosx，周期为2π，不符合；
对于C，y=﹣sin2x，周期为π，在[]上为增函数；
对于D，y=cos2x，周期为π，在[]上为减函数，
故选D．
9．设函数f（x）=则不等式f（x）＞f（1）的解集是（ ）
A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）
【考点】分段函数的应用．
【分析】求出函数值，利用分段函数求解不等式的解集即可．
【解答】解：函数f（x）=，则f（1）=3，
不等式f（x）＞f（1）等价于：或，
解得：x∈（﹣3，1）∪（3，+∞）．
故选：A．
10．设Sn是等比数列{an}的前n项和，a3=，S3=，则公比q=（ ）
A． B． C．1或﹣ D．1或
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】根据题意和等比数列的通项公式列出方程组，化简方程组并求出q的值．
【解答】解：因为a3=，S3=，所以，
两式相比得2q2﹣q﹣1=0，解得q=1或，
故选：C．
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且acosC+c=b，则∠A=（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理把已知等式转化成角的正弦的关系式，利用两角和公式化简整理可求得cosA的值，进而求得A．
【解答】解：△ABC中，∵acosC+c=b，
∴由正弦定理得：sinAcosC+sinC=sinB，
∴sinAcosC+sinC=sin（A+C），
∴sinAcosC+sinC=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinC=cosAsinC，
∴cosA=，
∴∠A=．
故选：A．
12．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【考点】等差数列的性质．
【分析】设这个数列的项数是2k，则奇数项之和=a1+a3+…+a2k﹣1=15，偶数项之和=a2+a4+…+a2k=25，故（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a2k﹣a2k﹣1）=25﹣15=10，由等差数列{a2}的公差为2，能求出这个数列的项数．
【解答】解：设这个数列的项数是2k，
则奇数项之和=a1+a3+…+a2k﹣1=15，
偶数项之和=a2+a4+…+a2k=25，
∴（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a2k﹣a2k﹣1）=25﹣15=10，
∵等差数列{an}的公差为2，
∴2k=10，
∴这个数列的项数是10．
故选A．
二、填空题：共4小题，每小题5分，共计20分．
13．函数y=ln（x2﹣x﹣2）的定义域是 （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） ．
【考点】对数函数的定义域．
【分析】根据对数函数的定义，真数大于0，列出不等式，求出解集即可．
【解答】解：∵函数y=ln（x2﹣x﹣2），
∴x2﹣x﹣2＞0，
即（x+1）（x﹣2）＞0，
解得x＜﹣1，或x＞2；
∴函数y的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
14．在等比数列{an}中，a1=3，a4=24，则a3+a4+a5= 84 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据a1=3，a4=24求出数列的公比，从而可求出a3+a4+a5的值．
【解答】解：∵等比数列的通项公式为an=a1qn﹣1，
∴a4=a1q3=3q3=24
解得q=2
∴a3+a4+a5=3q2+3q3+3q4=84
故答案为：84
15．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围为 （﹣4，0] ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】利用函数恒成立问题的解决方法列出关于实数m的不等式是解决本题的关键，要注意对二次项次数的讨论，是二次不等式问题要注意二次不等式与二次函数之间的互相转化；
【解答】解：（1）要使mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，
若m=0，显然﹣1＜0；
若m≠0，则有
解得﹣4＜m＜0．
综上所述﹣4＜m≤0．
即实数m的取值范围为（﹣4，0]
故答案为：（﹣4，0]
16．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ．
【考点】余弦定理．
【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理即可得解AC的值．
【解答】解：因为钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，
∴S=acsinB=，可得sinB=，
当B为钝角时，cosB=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=．
当B为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去．
故答案为：．
三、解答题：共6小题，共计70分，解答应写出解答过程、证明过程或演算步骤．
17．设{an}为等差数列，公差d=﹣2，sn为其前n项和，若s10=s11，求a1的值．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：∵s10=s11，∴s10=s10+a11．
∴a11=0，
∴a1﹣2×10=0，解得a1=20．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a=1，∠B=45°，S△ABC=2，求边长b的值．
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理可求bsinA，利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理即可解得b的值．
【解答】（本小题满分为12分）
解：由正玄定理得：asinB=bsinA，
∴bsinA=，
又∵S△ABC=2，
∴bcsinA=2，解得：c=4，
∵b2=a2+c2﹣2accosB，
∴b2=25，可得：b=5．
19．已知：a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】根据c＞d＞0，利用正分数里分子相同分母大的反而小这一性质变形，再利用不等式的性质即可．
【解答】证明：∵c＞d＞0，
∴＞＞0，
又∵a＞b＞0，
∴＞＞0．
20．已知不等式 ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[﹣，﹣]，求不等式ax2﹣bx﹣1＜0的解集．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】由已知可知，ax2﹣bx﹣1=0的两根为﹣，﹣；根据一元二次方程根与系数的关系可求a，b，进一步解不等式可得．
【解答】解：∵不等式 ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[﹣，﹣]，
∴﹣，﹣是方程 ax2﹣bx﹣1=0的两个实数根
∴﹣﹣=，﹣×（﹣）=﹣可得a=﹣6，b=5，
∴ax2﹣bx﹣1＜0为x2﹣5x+6＜0，
解得2＜x＜3，
∴解集为（2，3）
21．已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1、a2、a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【考点】数列的求和；等比关系的确定．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式可得Sn，再利用一元二次不等式的解法即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=2，且a1、a2、a5成等比数列．
∴=a1a5，即（2+d）2=2（2+4d），解得d=0或4．
∴an=2，或an=2+4（n﹣1）=4n﹣2．
（2）当an=2时，Sn=2n，不存在正整数n，使得Sn＞60n+800．
当an=4n﹣2时，Sn==2n2，假设存在正整数n，使得Sn＞60n+800，即2n2＞60n+800，化为n2﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，
∴n的最小值为41．
22．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N+，所有项an＞0，且Sn=+an﹣．
（1）证明：{an}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
【考点】等差关系的确定；等差数列的通项公式．
【分析】（1）利用Sn=+an﹣写出Sn+1，结合数列的前n项和与an的关系，两式相减解答．
（2）利用（1）的结论求之．
【解答】解：（1）因为Sn=+an﹣．
所以4Sn=an2+2an﹣3，4Sn+1=an+12+2an+1﹣3，
两式相减整理可得（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，
∵an＞0，
∴an+1﹣an﹣2=0，
∴an+1﹣an=2，
{an}成等差数列；
（2）由（1）可知数列{an}是等差数列，并且4S1=a12+2a1﹣3，
所以a1=3或﹣1（舍去），公差为2，
所以an=2n+1．