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- 2021-06-17 发布
2018-2019学年山东省泰安第一中学高一10月学情检测数学试题
一． 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，请将正确答案填入答题卷）
1．下列四个图像中，不可能是函数图像的是 ( )
A
B
C
D
2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，B={2，4，5}，则（∁UA）∩B=( )
A．{4，5} B．{1，2，3，4，5，6}
C．{2，4，5} D．{3，4，5}
3．已知函数，则f[f（1）]=（ ）
A． B．2 C．4 D．11
4．已知集合A={x∈N*|x﹣3＜0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
5．下列有关集合的写法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（ ）
A．-3 B．13 C. 7 D． 5
7．函数f（x）=的定义域为（ ）
A．[3，+∞） B．[3，4）∪（4，+∞） C．（3，+∞） D．[3，4）
8．若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=3x﹣1，则f（x）等于（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3
9．函数f（x）=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）
A．[3，+∞） B．（﹣∞，2），（4，+∞）
C．（2，3），（4，+∞） D．（﹣∞，2]，[3，4]
10．已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0）
11．设＝{1，2，3，4，5} ，若＝{2}，，，则下列结论正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
12．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣3或x＞﹣2} B．{x|x＜﹣或x＞﹣}
C．{x|﹣＜x＜﹣} D．{x|﹣3＜x＜﹣2}
二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填入答题卷。)
13．若集合A={x|ax2+ax+1=0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是 ．
14．设函数，若，则实数a的取值范围是________.
15．.若集合，，则集合_________
16．关于x的不等式mx2﹣2x+1≥0，对任意的x∈（0，3]恒成立，则m的取值范围是 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10分）若集合A={x|x2+5x﹣6=0}，B={x|x2+2（m+1）x+m2﹣3=0}．
（1）若m=0，写出A∪B的子集；
（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间上的最大值与最小值．
19. （12分）已知函数.
（1）做出函数图象；
（2）说明函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与函数的图象有四个交点，求实数的取值范围。
20．（12分）设集合A={x|x+1≤0或x﹣4≥0}，B={x|2a≤x≤a+2}
（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围．
（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且f（1）=2．
（1）若f（x）在（a，2a﹣1）上单调递减，求实数a的取值范围．
（2）设函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x，其中t∈R，求h（x）在区间[0，1]上的最小值g （t）．
22．（12分）已知函数f(x)对任意的实数m，n都有：f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，
且当x＞0时，有f(x)＞1.
(1)求f(0)．
(2)求证：f(x)在R上为增函数．
(3)若f(1)＝2，且关于x的不等式f(ax－2)＋f(x－x2)＜3对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
高一10月学情检测数学试题参考答案
一. 选择题
BACCD BBACC BC
二．填空题
13. 0≤a＜4 14.
15． 16. [1，+∞）
三．解答题
17【解答】解：（1）根据题意，
m=0时，B={1，﹣3}，A∪B={﹣6，﹣3，1}；
∴A∪B的子集：Φ，{﹣6}，{﹣3}，{1}，{﹣6，﹣3}，{﹣6，1}，{﹣3，1}，{﹣6，﹣3，1}，
（2）由已知B⊆A，
m＜﹣2时，B=Φ，成立
m=﹣2时，B={1}⊆A，成立
m＞﹣2时，若B⊆A，则B={﹣6，1}；
∴⇒m无解，
综上所述：m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
18【解析】（1）函数在上是增函数．
证明：任取，且，
则．
易知，，所以，即，
所以函数在上是增函数．
（2）由（1）知函数在上是增函数，
则函数的最大值为，最小值为
19. （1）如图：
（2）函数的单调递增区间为；单调递减区间为.
（3）
20.【解答】解：（1）集合A={x|x+1≤0或x﹣4≥0}={x|x≥4或x≤﹣1}，
B={x|2a≤x≤a+2}，
A∩B=B⇔B⊆A，
若B=∅，则2a＞a+2，即为a＞2；
若B≠∅，则或，
解得a=2或a≤﹣3，
综上可得，a≥2或a≤﹣3；
（2）若A∩B=∅，
若B=∅，则2a＞a+2，即为a＞2；
若B≠∅，则2a＞﹣1，且a+2＜4，
解得﹣＜a＜2，
综上可得，当a＞﹣且a≠2时，A∩B=∅，
则A∩B≠∅，a的范围是a=2或a≤﹣．
21【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a＞0），由于过点（0，4），
∴c=4．
由f（3﹣x）=f（x）得，a（3﹣x）2+b（3﹣x）+4=ax2+bx+4，即3a+b=0①
又f（1）=a+b+4=2
∴a=1，b=﹣3，
故f（x）=x2﹣3x+4，
则函数的单调递减区间为：（﹣∞，]
若f（x）在（a，2a﹣1）上单调递减，
则a＜2a﹣1≤
解得：a∈（1，]；
（2）函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x=x2﹣2tx+4的图象是开口朝上，且以直线x=t为对称轴的抛物线，
当t≤0时，h（x）在区间[0，1]上为增函数，当x=0时，h（x）取最小值，即g （t）=h（0）=4．
当0＜t＜1时，h（x）在区间[0，t]上为减函数，区间[t，1]上为增函数，当x=t时，h（x）取最小值，即g （t）=h（t）=4﹣t2．
当t≥1时，h（x）在区间[0，1]上为减函数，当x=1时，h（x）取最小值，即g （t）=h（1）=5﹣2t．
22. (1)解：令m＝n＝0，则f(0)＝2f(0)－1，
∴f(0)＝1.
(2)证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，
∴x2－x1＞0，f(x2－x1)＞1.
∵f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，
∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1＞1＋f(x1)－1＝f(x1)．
∴f(x2)＞f(x1)．
∴f(x)在R上为增函数．
(3)解：∵f(ax－2)＋f(x－x2)＜3，
即f(ax－2)＋f(x－x2)－1＜2，
∴f(ax－2＋x－x2)＜2.
∵f(1)＝2，∴f(ax－2＋x－x2)＜f(1)．
又∵f(x)在R上为增函数，
∴ax－2＋x－x2＜1.
∴x2－(a＋1)x＋3＞0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立．
解法一：令g(x)＝x2－(a＋1)x＋3，
当≤1，即a≤1时，由g(1)＞0得a＜3，∴a≤1；
当＞1，即a＞1时，由Δ＜0得(a＋1)2－3×4＜0，
∴－2－1＜a＜2－1.∴1＜a＜2－1.
综上，实数a的取值范围为(－∞，2－1)．
解法二：分参法