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- 2021-06-17 发布
【备战2017高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】
专题三 导数与应用
一、选择题
【2017云南师大附中月考】若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于的函数，求出的取值范围即可，因此正确.
【2017山东菏泽上学期期末】的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
依题意，原式.
【2017江西师大附中、临川一中联考】已知 ，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故，又，所以，由题设可得，解之得，又由于，所以，应选答案D.
【2017湖北重点中学联考】设，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【2017湖北重点中学联考】已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设，则问题化为求平面上两动点之间距离的平方的最小值的问题，也即求曲线上的点到直线的点的距离最小值问题.因，设切点，则切线的斜率，由题设当，即时，点到直线的距离最近，其最小值为，所以所求的最小值为，应选答案B.
【2017河北衡水六调】如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【2017山西五校联考】已知函数的导数为不是常数函数，且，对恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
原式等于 ，设 ，那么 ，所以函数 是单调递增函数， ，即 ，故选A.
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解不等式，需要构造函数，一般：（1）条件含有 ，就构造 ，(2)若 ，就构造 ，（3） ，就构造 ，（4）或是 就构造 ，或是熟记 ， 等函数的导数，便于给出导数时，联想构造函数.
二、填空题
【2017江西上饶一模】已知，展开式的常数项为15，则 ．
【答案】
【2017内蒙包头十校联考】设函数的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】2
【解析】
试题分析：，令，解得：或 ，当时， ，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以经计算 ，，， ，所以函数的最大值是3，最小值是-1，则.
【点睛】三次函数利用导数求解最值是我们必须熟练掌握的基础问题，三次函数求导后变为二次函数，若含参就需讨论二次项系数以及 ，若还给了定义域，那就需考查极值点与定义域的关系，有几个极值点在定义域内，这样讨论起来才会有条理.
【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】已知函数的两个零点分别为、，则_________．
【答案】
三、解答题
【2017安徽合肥一模】已知函数（为自然对数的底数），是的导函数.
（Ⅰ）当时，求证；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）存在且为.
【解析】
（Ⅰ）当时，，则 ，
令，则 ，
令，得，故在时取得最小值，
在上为增函数，
，
（Ⅱ） ，
由，得对一切恒成立，
当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取1，2.
下面证明当时，不等式恒成立，
设 ，则 ，
由（Ⅰ） ， ，
当时， ；当时， ，
即在上是减函数，在上是增函数，
，
当时，不等式恒成立
所以的最大值是2.
【点睛】导数与函数的单调性、导数与函数的极值（最值）、利用导数求参数的范围问题，利用导数解决综合问题都可能是高考命题的切入点，设计在客观题和解答题的压轴题位置，掌握它们的基础知识和基本方法是解题的基础，掌握转化与化归思想是解题的桥梁，许多问题如不等式恒成立，函数的零点，方程的根的分布等都可以通过构造函数，转化为用导数知识来解决．
【2017云南师大附中月考】已知函数.
（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数在上的最值；
（2）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当且时，证明.
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）证明过程见解析.
【解析】
（Ⅰ）∵，∴，∴，
∴，记，∴，令得．
当时，单减；当时，单增，
∴，
故恒成立，所以在上单调递增，
∴．
（ii）当即时，∵在上单增，且，
当时，，
∴，使，即．
当时，，即单减；
当时，，即单增．
∴，
∴，由，∴，记，
∴，∴在上单调递增，
∴，∴，
综上，．
（Ⅲ）等价于，
即．
∵，∴等价于．
令，
则．
∵，∴．
当时，，单减；
当时，，单增．
∴在处有极小值，即最小值，
∴，
∴且时，不等式成立．
【点睛】本题主要考查导数的定义，性质以及函数中的综合应用，函数恒成立问题的解题方法和技巧，不等式成立，分类讨论思想的应用，属于难题，本题（2）主要利用二次求导的方法，借助于二次求导进一步确定导函数的单调性，进而确定参数的范围，（3）构造辅助函数，求导，求出在的单调性，可求出的最小值，即可证明不等式成立，解题的关键是正确求导函数，确定导函数的单调性.
【2017湖北武汉武昌区调研】已知函数 .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，证明：当时， ；
（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .
【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）证明过程见解析
（Ⅱ）令，则
.
求导数，得 ，
当时，，在上是减函数.
而， ，
故当时，
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，
故，从而的最小值为，且，
不妨设，则， ，
由（Ⅱ）得 ，
从而，于是，
由（Ⅰ）知， .
【点晴】本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（Ⅰ）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论.
【2017山东菏泽上学期期末】已知函数，其中为常数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.
【答案】（1）答案见解析； (2)证明过程见解析.
（ⅰ）若，图象的对称轴，.
两根在区间上，可知当时函数单调递增，，所以，所以在区间上递增.
（ⅱ）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当或时，，所以，所以在上单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
【点睛】本题主要考查导数与单调性的知识，考查利用导数来证明不等式的方法，还考查了分类讨论的数学思想和化归与转化的数学思想方法.求导之前要先求定义域.求导通分后往往只需要研究导函数的分子.本题利用分子的判别式进行分类讨论.第一问要证明不等式，采用的是差比较法，做差后利用导数求得右边函数的最小值大于零即可得证.
【2017四川资阳上学期期末】已知函数（其中为自然对数的底数，）．
（1）若仅有一个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，有两个零点，且．
【答案】（1）；(2)证明过程见解析.
（2）由（1）当时，为的极小值点，
又∵对于恒成立，
对于恒成立，
对于恒成立，
∴当时，有一个零点，当时， 有另一个零点，
即，
且，（#）
所以，
下面再证明，即证，
由得，
由于为减函数，
于是只需证明，
也就是证明，
，
借助（#）代换可得，
令，
则，
∵为的减函数，且，
∴在恒成立，
于是为的减函数，即，
∴，这就证明了，综上所述，．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和不等式的证明，考查了利用求导数研究函数的性质解题能力和分类讨论思想的应用，第一问借助函数为单调函数进行转化，第二问通过构造函数，分析函数的单调性，最终达到证明不等式成立的目的，因此正确构造函数是解决本题的关键.
【2017吉林二调】设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若对任意，都有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
（2）的定义域为，
，
①若，则，故当时，，在上单调递增.
所以，对任意，都有的充要条件为，即，
解得或.
②若，则，故当时，；当时，
，在上单调递减，在上单调递增.
所以，对任意，都有的充要条件为，
而在上恒成立，
所以.
③若，在上递减，不合题意.
综上，的取值范围是.
【2017江西师大附中、临川一中联考】已知函数，．
（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2) （3）
（3）不等式等价于，
整理得．
设，由题意知，在上存在一点，使得．
由．
因为，所以，即令，得．
① 当，即时，在上单调递增，
只需，解得．
② 当，即时，在处取最小值．
令，即，可得．
考查式子，
因为，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．
③ 当，即时，在上单调递减，
只需，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
【2017湖北重点中学联考】设函数对恒成立.
（1）求的取值集合；
（2）求证：
【答案】(1) (2)详见解析
(2)由(1)可得，，令，则
，所以
【2017河北衡水六调】设函数．
（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）．
(3)令，其中，
则，
则，
则，
∴在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，
即，可得，(*)
则在区间内单调递增，在区间内单调递减，
∴，，
将(*)式代入上式，得．
根据题意恒成立，
又∵，当且仅当时，取等号，
∴，
∴，代入(*)式，得，
即，又，
∴，∴存在满足条件的实数，且．
【点睛】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值的方法， 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.
【2017江西上饶一模】已知函数（为常数）．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值．
【答案】（1）时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；（2）.
当时，，即在上单调递增；
当时，，故，即在上单调递增．
所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为．
（2）由得，
由已知有两个互异实根，，
由根与系数的关系得，，
因为，（）是的两个零点，故 ①
②
由②①得：，
解得，
因为，得，
将代入得
，
所以，
设，因为，
所以，所以，
所以，所以．
构造，得，
则在上是增函数，
所以，即的最小值为．
【2017内蒙包头十校联考】已知函数（其中，）.
（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）.
【答案】(1) ；（2）存在实数，使得恒成立.
综上所述，的取值范围是……4分
（2），其中.
（）当时，，于是在上为减函数，则在上也为减函数.
知恒成立，不合题意，舍去.……6分
（）当时，由得，列表得
0
最大值
……8分
①若，即，则在上单调递减.
知，而，
于是恒成立，不合题意，舍去.
②若，即.
则在上为增函数，在上为减函数，
要使在恒有恒成立，则必有
则，所以……11分
由于，则，所以.
综上所述，存在实数，使得恒成立.……12分
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；
（3）若 恒成立，可转化为.
【2017山西五校联考】已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与曲线的公共点的横坐标之和为3，求的值；
（2）当时，对任意，使恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) ；（2）.
（2），
令，则，
令，则或，
因为，所以，
所以当和时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数的极小值为，又，
令，
易知，当时，函数单调递增，故，所以，
即当时，， 9分
又，
其对应图像的对称轴为，所以时，，
所以，故有，
又，因为，所以，
所以． 12分
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；
（3）若 恒成立，可转化为 .
【2017广东深圳一模】已知函数为自然对数的底数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的值；
（3）关于的方程有两个实根，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）对函数求导得，
∴，
又，
∴曲线在处的切线方程为，即；
当变化时，变化情况列表如下：
1
+
0
-
极大值
∴，
故当且仅当时取等号，
又，从而得到；
（3）先证，
记，则，
令，得，
当变化时，变化情况列表如下：
-
0
+
极小值
∴，
恒成立，即，
记直线分别与交于，
不妨设，则，
从而，当且仅当时取等号，
由（2）知，，则，
从而，当且仅当时取等号，
故，
因等号成立的条件不能同时满足，故．
【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设，曲线在点处的切线与直线垂直.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析
（Ⅱ），，，即
设，即.
----------------------------3分
①若，，这与题设矛盾
②若当，单调递增，，与题设矛盾.
③若当，单调递减，，即不等式成立
综上所述， .----- --7分