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- 2021-06-17 发布
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2019-2020学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题）
1. 已知集合A={1，3，5}，B={3，5，7}，则A∩B=（ ）
A. 3,5, B. C. D.
2. 函数f（x）=+ln（1-x）的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知幂函数f（x）的图象过点（2，16），则f（3）=（ ）
A. 27 B. 81 C. 12 D. 4
4. 函数f（x）=ax+1+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（ ）
A. B. , C. D.
5. 设a=logπ3，b=π0.3，c=log0.3π，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则的值是（ ）
A. 27 B. C. D.
7. 已知函数f（x）=ax5-bx3+cx-3，f（-3）=7，则f（3）的值为（ ）
A. 13 B. C. 7 D.
8. 函数y=（a＞1）的图象的大致形状是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）-1＜0的解集是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
10. 已知函数f（x）=x2•（a+）是R上的奇函数，则实数a=（ ）
A. B. C. D. 1
11. 若函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数的单调递增区间（ ）
A. B. C. D.
12. 若函数f（x）=|lgx|-（）x+a有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题）
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1. 已知集合A={-2，0，1，3}，B={x|-＜x＜}，则A∩B的子集个数为______．
2. 若函数f（x）=lgx+x-3的零点在区间（k，k+1），k∈Z，则k=______．
3. 若函数f（x）=的值域为R，则实数a的范围是______．
4. 已知函数y=x+有如下性质：常数a＞0，那么函数在（0，]上是单调减函数，在[，+∞）上是单调增函数．如果函数f（x）=|x+-m|+m在区间[1，4]上的最小值为7，则实数m的值是______．
三、解答题（本大题共6小题）
5. 计算：（1）；
（2）2lg5+lg8+lg5•lg20+（lg2）2．
6. 已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|1＜log2x＜2}．
（1）分别求A∩B，（∁RB）∪A；
（2）已知集合C={x|2a＜x＜a+2}，若C⊆A，求实数a的取值范围．
7. 已知函数f（x）是定义在（-4，4）上的奇函数，满足f（2）=1，当-4＜x≤0时，有f（x）=．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间（0，4）上的解析式，并利用定义证明函数f（x）在（0，4）上的单调性．
8.
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某公司生产一种化工产品，该产品若以每吨10万元的价格销售，每年可售出1000吨，若将该产品每吨分价格上涨x%，则每年的销售数量将减少mx%，其中m为正常数，销售的总金额为y万元．
（1）当m=时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售总金额最大？
（2）当x=10时，若能使销售总金额比涨价前增加，试设定m的取值范围．
1. 已知函数f（x）=x|x-a|+x（a∈R）
（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求实数a的值；
（2）若对于任意x∈[1，2]，恒有f（x）≥2x2，求实数a的取值范围；
（3）若a≥2，函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为4，求实数a的值．
2.
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已知函数f（x）=lg（m+），m∈R．
（1）当m=-1时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数g（x）=f（x）+2xlg2有且仅有一个零点，求实数m的取值范围；
（3）任取x1，x2∈[t，t+2]，若不等式|f（x1）-f（x2）|≤1对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，3，5}，B={3，5，7}，
∴A∩B={3，5}．
故选：C．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：要使f（x）有意义，则，解得，
∴f（x）的定义域为．
故选：B．
可看出，要使得f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．
本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设幂函数f（x）=xα，
又f（x）过点（2，16），
∴2α=16，
解得α=4，
∴f（x）=x4，
∴f（3）=34=81．
故选：B．
用待定系数法求出f（x）的解析式，再计算f（3）的值．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由x+1=0，解得x=-1，此时y=1+2=3，
即函数的图象过定点（-1，3），
故选：D．
根据指数函数过定点的性质，直接领x+1=0即可得到结论
本题主要考查指数函数过定点问题，利用指数幂等于0是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：0=logπ1＜logπ3＜logππ=1，π0.3＞π0=1，log0.3π＜log0.31=0，
∴b＞a＞c．
故选：D．
容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．
考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．
6.【答案】B
【解析】解：∵
∴=f（-3）=
故选B.
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由已知中的函数的解析式，我们将代入，即可求出f（）的值，再代入即可得到的值．
本题考查的知识点是分段函数的函数值，根据分析函数的解析式，由内到外，依次代入求解，即可得到答案．
7.【答案】B
【解析】解：∵函数f（x）=ax5-bx3+cx-3，f（-3）=7，
令g（x）=ax5-bx3+cx，则g（-3）=10，
又g（x）为奇函数，∴g（3）=-10，故f（3）=g（3）-3=-13，
故选：B．
令 g（x）=ax5-bx3+cx，则g（-3）=10，又 g（x）为奇函数，故有g（3）=-10，故f（3）=g（3）-3．
本题考查函数的奇偶性的应用，求函数值，令 g（x）=ax5-bx3+cx，求出g（3）=-10，是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当x＞0时，y=ax，因为a＞1，所以函数y=ax单调递增，
当x＜0时，y=-ax，因为a＞1，所以函数y=-ax单调递减，
故选：C．
根据函数的单调性即可判断．
本题考查了函数图象和识别，关键掌握函数的单调性，属于基础题
9.【答案】B
【解析】解：因为y=f（x）为奇函数，所以当x＞0时，-x＜0，
根据题意得：f（-x）=-f（x）=-x+2，即f（x）=x-2，
当x＜0时，f（x）=x+2，
代入所求不等式得：2（x+2）-1＜0，即2x＜-3，
解得x＜-，则原不等式的解集为x＜-；
当x≥0时，f（x）=x-2，
代入所求的不等式得：2（x-2）-1＜0，即2x＜5，
解得x＜，则原不等式的解集为0≤x＜，
综上，所求不等式的解集为{x|x＜-或0≤x＜}．
故选：B．
根据f（x）为奇函数，得到f（-x）=-f（x），设x大于0，得到-x小于0，代入已知的解析式中化简即可求出x大于0时的解析式，然后分两种情况考虑，当x小于0时和x大于0时，分别把所对应的解析式代入所求的不等式中，得到关于x的两个一元一次不等式，求出不等式的解集的并集即为原不等式的解集．
此题考查了其他不等式的解法，考查了函数奇偶性的应用，是一道基础题．
10.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2•（a+）是R上的奇函数，则有f（-x）=-f（x），
即（-x）2（a+）=-（x2•（a+），
变形可得：a+=-（a+），
则有2a=-1，即a=-；
故选：A．
根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（-x）=-f（x），即（-x）2（a+）=-（x2•（a+），变形分析可得a
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的值，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则0＜a＜1．
则函数的单调递增区间，即y=x2+2x-3在y＞0时的减区间．
由y=x2+2x-3＞0，求得x＜-3，或x＞1．
再利用二次函数的性质可得，y=x2+2x-3在y＞0时的减区间为（ -∞，-3），
故选：C．
复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，先判断0＜a＜1，本题即求y=x2+2x-3在y＞0时的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】解：原函数转化为f（x）=|lgx|-（）x+a，|lgx|=（）x-a，
函数有2个零点，相当于y=|lgx|与y=（）x-a有两个交点，
根据图象：当x=1时，y=（）x-a的值- a＞0即可
所以a∈（-∞，）．
故选：B．
原函数转化为f（x）=|lgx|-（）x+a，|lgx|=（）x-a，根据图象：当x=1时，y=（）x-a的值- a＞0即可．
把零点问题转换为两个函数的交点问题，考察图象法的应用，中档题．
13.【答案】8
【解析】解：∵A={-2，0，1，3}，B={x|-＜x＜}，
∴A∩B={-2，0，1}，
∴A∩B的子集个数为：23=8个．
故答案为：8．
进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B的元素个数，进而可得出A∩B的子集个数．
本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：因为函数y=lgx与y=x-3都是定义域上的增函数，所以函数f（x）=lgx+x-3也为定义域上的增函数．
因为f（2）=lg2+2-3＜lg10+2-3=0，f（3）=lg3+3-3＞0
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，
所以由零点存在性定理可得函数f（x）=lgx+x-3的近似解在区间（2，3）上，所以k=2．
故答案为：2．
确定函数f（x）=lgx+x-3也为定义域上的增函数．计算f（2）=lg2+2-3＜lg10+2-3=0，f（3）=lg3+3-3＞0，
由零点存在性定理可得函数f（x）=lgx+x-3的近似解在区间（2，3）上，即可得出结论．
本题考查零点存在性定理，考查学生的计算能力，比较基础．
15.【答案】[0，+∞）
【解析】解：x≤1时，f（x）≤2+a；
x＞1时，f（x）=（x-a）2+1-a2，
∴①a＞1时，f（x）≥1-a2，且f（x）的值域为R，
∴2+a≥1-a2，解得a∈R，
∴a＞1；
②a≤1时，f（x）＞（1-a）2+1-a2=2-2a，且f（x）的值域为R，
∴2+a≥2-2a，解得a≥0，
∴0≤a≤1，
∴综上得，实数a的范围是[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
根据f（x）的解析式得出，x≤1时，f（x）≤2+a；x＞1时，f（x）=（x-a）2+1-a2，从而得出：a＞1时，f（x）≥1-a2，进而得出2+a≥1-a2；a≤1时，f（x）＞2-2a，进而得出2+a≥2-2a，从而解出a的范围即可．
本题考查分段函数值域的求法，配方求二次函数值域的方法，考查计算能力，属于中档题．
16.【答案】6
【解析】解：设t=在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，所以t∈[4，5]，
问题化为y=|t-m|+m在区间[4，5]上的最小值为7，
当m＞5时，ymin=y（5）=m-5+m=7，m=6；
当m∈[4，5]时，ymin=y（m）=m=7（舍去）；
当m＜4时，ymin=y（4）=4-m+m=7，不成立．
故答案为：6．
换元将问题化为绝对值函数在闭区间上的最小值问题，根据对称轴在闭区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可．
本题是一个经典题目，通过换元将问题化为绝对值函数在闭区间上的最小值问题，接下来根据对称轴在闭区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可．
17.【答案】解：（1）原式=
=4-4+3-π-1+π
=2．
（2）原式=2lg5+2lg2+lg5•（lg2+1）+（lg2）2
=2+lg2（lg5+lg2）+lg5
=2+lg2+lg5
=3．
【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．
（2）利用对数的运算性质及其lg2+lg5=1即可得出．
本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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18.【答案】解：（1）因为A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}，
B={x|1＜log2x＜2}={x|2＜x＜4}，
所以A∩B={x|2＜x≤3}，
从而（CRB）∪A={x|x≤3或x≥4}．
（2）当2a≥a+2，即a≥2时C=∅，
此时C⊆A，符合条件；
当2a＜a+2，即a＜2时，C≠∅，
要使C⊆A，只需即．
故要使C⊆A，实数a的取值范围是{a|a≥2或}．
【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B和（CRB）∪A．
（2）当2a≥a+2，即a≥2时C=∅，符合条件；当2a＜a+2，即a＜2时，C≠∅，要使C⊆A，只需由此能求出实数a的取值范围是．
本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：（1）∵函数f（x）是定义在（-4，4）上的奇函数，
∴f（0）=0，即，∴b=0，
又因为f（2）=1，所以f（-2）=-f（2）=-1，
即，所以a=1，
综上可知a=1，b=0，
（2）由（1）可知当x∈（-4，0）时，，
当x∈（0，4）时，-x∈（-4，0），且函数f（x）是奇函数，
∴，
∴当x∈（0，4）时，函数f（x）的解析式为，
任取x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，则=，
∵x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，
∴4-x1＞0，4-x2＞0，x1-x2＜0，
于是f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故在区间（0，4）上是单调增函数．
【解析】（1）根据f（x）是定义在（-4，4）上的奇函数及-4＜x≤0时的f（x）解析式即可得出b=0，并可求出f（-2）=-1，从而可得出，求出a=1；
（2）根据上面知，x∈（-4，0）时，，从而可设x∈（0，4），从而得出，从而得出x∈（0，4）时，，然后根据函数单调性的定义即可判断f（x）在（0，4）上的单调性：设任意的x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，然后作差，通分，提取公因式，然后判断f（x1）与f（x2）的大小关系即可得出f（x）在（0，4）上的单调性．
本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，求奇函数在对称区间上的解析式的方法，以及函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：（1）由题设，当价格上涨x%时，每年的销售数量将减少mx%，
销售总金额y=10（1+x%）•1000（1-mx%）
=-mx2+100（1-m）x+10000（）．
当时，y=[-（x-50）2+22500]，
当x=50时，ymax=11250．
即该产品每吨的价格上涨50%时，销售总金额最大．
（2）当x=10时，若能使销售总金额比涨价前增加，
能使销售总金额增加，
则存在使y＞10×10000
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，
由得，所以m＜10．
由y＞10×10000，即-100m+1000（1-m）+10000＞10000
亦即，所以．
故若能使销售总金额比涨价前增加，m的取值范围设定为．
【解析】（1）得出y关于x的函数，根据二次函数的性质求出结论；
（2）根据题意列不等式得出m的范围．
本题考查了函数解析式，函数最值的计算，考查不等式的解法，属于中档题．
21.【答案】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-1）=-f（1），∴-|-1-a|-1=-（1•|1-a|+1）∴-|1+a|-1=-|1-a|-1，∴|1+a|=|1-a|，∴a=0，
当a=0时，f（x）=x•|x|+x是奇函数，∴a=0；
（2）任意的x∈[1，2]，f（x）≥2x2恒成立，∴x|x-a|+x≥2x2恒成立，∴|x-a|+1≥2x恒成立，∴|x-a|≥2x-1恒成立，
∵x∈[1，2]，∴2x-1∈[1，3]，2x-1＞0，
∴x-a≥2x-1恒成立或x-a≤-2x+1恒成立，
∴a≤-x+1恒成立或a≥3x-1恒成立，而-x+1∈[-1，0]，3x-1∈[2，5]，∴a≤-1或a≥5；
（3）∵a≥2，x∈[0，2]，∴x-a≤0，∴|x-a|=-（x-a），
∴f（x）=x[-（x-a）]+x=-x2+（a+1）x，开口向下，对称轴为x=≥，
①当，即2≤a≤3时，f（x）max=f（）==4，∴a=3或a=-5（舍），
②当＞2，即a＞3时，f（x）max=f（2）=-4+2a+2=2a-2=4，∴a=3，又a＞3，矛盾，
综上a=3．
【解析】（1）由奇函数的性质f（-x）=-f（x），进而求解；
（2）x∈[1，2]，2x-1∈[1，3]，2x-1＞0，f（x）≥2x2等价于x-a≥2x-1恒成立或x-a≤-2x+1恒成立，进而求解；
（3））∵a≥2，x∈[0，2]，∴x-a≤0，∴f（x）=x[-（x-a）]+x=-x2+（a+1）x，进而比较对称轴与区间端点的关系求解；
（1）考查奇函数的性质，去绝对值号；
（2）考查不等式恒成立的转化，得出x-a≥2x-1恒成立或x-a≤-2x+1恒成立，是突破本题的关键点；
（3）考查不等式在特定区间上的最值问题，将不等式恒成立转化为二次函数在特定区间上的最值．
22.【答案】解：（1）当m=-1时，，
要使函数f（x）有意义，则需，即2x＜2，从而x＜1．
故函数f（x）的定义域为{x|x＜1}；
（2）若函数g（x）=f（x）+2xlg2有且仅有一个零点，
即有且仅有一个根，
亦即，即，
即m（2x）2+2•2x-1=0有且仅有一个根．
令2x=t＞0，则mt2+2•t-1=0有且仅有一个正根，
当m=0时，2•t-1=0，，即x=-1，成立；
当m≠0时，若△=4+4m=0即m=-1时，t=1，此时x=0成立；
若△=4+4m＞0，需，即m＞0，
综上，m的取值范围为[0，+∞）∪{-1}；
（3）若任取x1，x2∈[t，t+2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤1对任意t∈[1，2]恒成立，
即f（x）max-f（x）min≤1对任意t∈[1，2]
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恒成立，
因为在定义域上是单调减函数，
所以，，
即，
即，，
所以，即，
又有意义，需，即，
所以，t∈[1，2]，．
所以m的取值范围为．
【解析】（1）将m=-1代入f（x）中，根据，解不等式可得f（x）的定义域；
（2）函数g（x）=f（x）+2xlg2有且仅有一个零点，则可得方程m（2x）2+2•2x-1=0有且仅有一个根，然后求出m的范围；
（3）由条件可得f（x）max-f（x）min≤1对任意t∈[1，2]恒成立，求出f（x）的最大值和最小值代入该式即可得到m的范围．
本题考查了函数定义域的求法，函数的零点判定定理和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
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