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- 2021-06-17 发布
2017届高考数学（文）大题狂练
专题03 概率与统计
1．（本小题满分12分）已知国家某级大型景区对拥挤等级与每日游客数量（单位：百人）的关系有如下规定：当时，拥挤等级为“优秀”；当时，拥挤等级为“良”；当时，拥挤等级为“拥挤”；当时，拥挤等级为“严重拥挤”，该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数量：
（1）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：
（2）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率.
【答案】（1），；（2）.
试题解析：（1）游客人数在范围内的天数共有15天，故，.
游客人数的平均数为（百人）.
（2）从5天中任选两天的选择方法有：，共10种，其中游客等级均为“优”的有，共3种，故所求概率为.
考点：列举法计算基本事件数及其发生的概率.
2. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年利润（单位：万元）的影响，对近5年的宣传费和年利润（）进行了统计，列出了下表：
（单位：千元）
2
4
7
17
30
（单位：万元）
1
2
3
4
5
员工小王和小李分别提供了不同的方案．
（1）小王准备用线性回归模型拟合与的关系，请你帮助建立关于的线性回归方程；（系数精确到0.01）
（2）小李决定选择对数回归模型拟合与的关系，得到了回归方程：，并提供了相关指数．请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润．（精确到0.01）（小王也提供了他的分析分析数据）
参考公式：相关指数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．参考数据：，．
【答案】（1）；（2）选择小李提供的模型更合适，.
【解析】
试题分析：（1）由表中的数据分别计算，即可写出线性回归方程；（2）计算出小王模型的相关指数，可得小李的模型拟合度更好，由线性回归方程，计算时，的值即可．
考点：线性回归方程.
3. （本小题满分12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；
（2）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计
附：
独立性检验临界值表：
【答案】（1），，“新课堂”的教学效果更佳；（2）列联表见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.
（2）
甲班（方式）
乙班（方式）
总计
成绩优良
10
16
25
成绩不优良
10
4
14
总计
20
20
40
…………………………………………………………………………………………8分
根据列联表中的数据，得的观测值为，……10分
∴能在犯错概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.………………12分
考点：茎叶图，平均数，独立性检验.
4. （本小题满分12分）某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况
如下表1：
M
900
700
300
100
y
0.5
3.5
6.5
9.5
哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：
频数
3
6
12
6
3
（1）设，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；
(参考公式：其中 )
（2）小张开了一家洗衣店，经统计，当M不高于200时，洗衣店平均每天亏损约2000元,当M在200至400时，洗衣店平均每天收入约4000元，当M大于400时，洗衣店平均每天收入约7000元，根据表2估计小张的洗衣店该月份平均每天的收入.
【答案】（1）；（2）元.
试题解析：（1）
所以y关于x的回归方程是
（2）根据表2知：30天中有3天每天亏损约2000元，有6天每天收入约4000元，有21天每天收入约7000元，故该月份平均每天的收入约为（元）.
考点：1、回归直线方程；2、概率的应用.
5. （本小题满分12分）随机抽取了40辆汽车在经过路段上某点是的车速（），现将其分成六段：，
后得到如图所示的频率分布直方图.
（I）现有某汽车途经该点，则其速度低于80的概率约是多少？
（II）根据频率分布直方图，抽取的40辆汽车经过该点的平均速度是多少？
（III）在抽取的40辆汽车且速度在（）内的汽车中任取2辆，求这2辆车车速都在（）内的概率.
【答案】(I)；(II)；(III).
（II）这40辆小型车辆的平均车速为：
；..................6分
（III）车速在内的有2辆，记为，车速在内的有4辆，记为，
从中抽2辆，抽法为共15种，
其中车速都在内的有6种，故所求概率为...............................12分
考点：频率分步直方图加权平均数古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．
6. （本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.
（1）如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；
（2）如果，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.
【答案】（1），；（2）.
试题解析：
（1）当时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为．．．．．．．．．．．．．．．3分
方差．．．．．．．．．．．．6分
（2）记甲组3名同学为，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为．他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中入选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：………9分
用表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则中的结果有5个，它们是：，故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：平均数与方差、标准差，古典概型.