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- 2021-06-08 发布
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辽宁省辽阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．设命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据全称命题的否定解答.
详解：由全称命题的否定得为：，故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题：,全称命题的否定（）：.
2．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先化简集合B,再求中元素的个数.
详解：由题得B={-2,-1,0},所以={0}，故中元素的个数为1，故答案为：B.
点睛：(1)本题主要考查集合的化简和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 解答集合的题目时，首先要看集合“|”前集合元素的一般形式，如
，表示的是函数的值域. 集合表示的是函数的定义域.
3．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.
详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为：A.
点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数 对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.
4．下列四个函数中，在上为减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：直接画出每一个选项对应的函数的图像，即得解.
详解：对于选项A,函数的图像的对称轴为开口向上，所以函数在上为减函数.所以选项A是正确的.对于选项B,在在上为增函数，所以选项B是错误的. 对于选项C, 在在上为增函数，所以选项C是错误的.对于选项D,
,当x=0时，没有意义，所以选项D是错误的.
故答案为：A.
点睛：本题主要考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.
5．已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：首先根据题意，将自变量的值代入函数解析式，利用对数式和指数式的运算性质，求得关于的等量关系式，从而求得结果.
详解：根据题意得，
即，解得，故选D.
点睛：该题考查的是有关已知函数值，求自变量的问题，在解题的过程中，需要将相关量代入解析式，得到参数所满足的条件，求解即可得结果.
6．函数在区间上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先求导得到函数的单调性，即得函数的最小值.
详解：由题得，因为x∈，所以所以函数f(x)在上单调递减，所以，故答案为：D.
点睛：(1)本题主要考查求导和利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 一般地，函数在某个区间可导 ，＜0 在这个区间是减函数.
7．“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，解得 ，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.
8．现有下面三个命题
：常数数列既是等差数列也是等比数列；
：，；
：椭圆的离心率为.
下列命题中为假命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：首先将题中所给的几个命题的真假作出判断，根据0常数列是等差数列但不是等比数列，得到是真命题，根据二次式和对数式的性质，可得是真命题，求出椭圆的离心率，可得是假命题，之后根据复合命题真值表得到结果.
详解：，常数均为0的数列是等差数列，不是等比数列，故其为假命题；
，当时，，所以，，故其为真命题；
，椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，所以，所以其离心率，故其为假命题，所以为真命题，为真命题，为假命题，为真命题，故选C.
点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，所涉及到的知识点有简单命题的真假判断和复合命题的真假判断，而要判断复合命题的真假，对于三个简单命题的真值必须要作出正确判断，这就要求平时对基础知识要牢固掌握.
9．“已知函数，求证：与中至少有一个不少于.”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是（ ）
A. 假设且
B. 假设且
C. 假设与中至多有一个不小于
D. 假设与中至少有一个不大于
【答案】B
【解析】分析：因为与中至少有一个不少于的否定是且，所以选B.
详解：因为与中至少有一个不少于的否定是且，
故答案为：B.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)两个数中至少有一个大于等于a的否定是两个数都小于a.
10．设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先判断b是负数，再分析出a<1,c>1，即得解.
详解：由题得 ， ， .
故答案为：B.
点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，一般先把所有的数分成正数和负数两个集合，再把正数和1比较，负数和“-1”比较.
11．函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴函数为奇函数，排除B，D.
又，故排除C，
故选：A
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
12．已知函数有个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：先构造函数，再利用导数求函数g(x)的单调区间和最值，再通过数形结合分析得到a的取值范围.
详解：设，所以，所以函数g(x)的单调增区间为，单调减区间为，所以.当时，
当即时，的图像和y=a-1有两个零点.
故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法和方程+图像法,本题利用的是方程+图像法.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．若函数，则__________．
【答案】2
【解析】分析:先求导,再令x=1即得解.
详解：由题得故答案为：2.
点睛：本题主要考查函数的求导，意在考查学生对该知识的掌握水平.
14．已知函数，则__________．
【答案】
【解析】分析：先计算，再计算的值.
详解：由题得=
所以 故答案为：.
点睛：（1）本题主要考查分段函数求值和对数指数的化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)分段函数求值，一般从里往外.
15．设复数满足，则的虚部为__________．
【答案】-7
【解析】分析：先求出复数z,再求z的虚部.
详解：由题得，所以z的虚部为-7，
故答案为：-7.
点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说:我没去过城市；乙说:我去过的城市比甲多，但没去过城市；丙说:我们三人去过同一城市，由此可判断甲去过的城市为__________．
【答案】A
【解析】分析：一般利用假设分析法，找到甲去过的城市.
详解：假设甲去过的城市为A,则乙去过的城市为A,C，丙去过A城市.假设甲去过的城市为B时，则乙说的不正确,所以甲去过城市不能为B.故答案为：A.
点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和推理能力.(2)类似本题的题目，一般都是利用假设分析推理法找到答案.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知复数.
（1）若是纯虚数，求；
（2）若，求.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】分析：（1）根据纯虚数的定义得到，解不等式组即得a的值.(2)由题得，解之得a的值，再求.
详解：（1）若是纯虚数，
则，
所以
（2）因为，
所以，
所以或.
当时，，
当时，.
点睛：（1
）本题主要考查复数的概念、复数的模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.
18．已知函数在区间上是减函数；
关于的不等式无解.如果“”为假，“”为真，求的取值范围.
【答案】
【解析】分析：先化简命题p,q得到m的取值范围，再分析“”为假，“”为真时，命题p，q的真假情况，得到m的不等式组，解之得m的取值范围.
详解：若为真，则对称轴，即
若为真，则，即，解得
因为“”为假，“”为真，所以一真一假.
若真假，则，得或
若真假，则，得
综上，所以或，即的取值范围是.
点睛：（1）本题主要考查复合命题真假的判定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
19．（1）在平面上，若两个正方形的边长的比为，则它们的面积比为.类似地，在空间中，对应的结论是什么？
（2）已知数列满足，求，并由此归纳得出的通项公式（无需证明）.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】分析：（1）利用类比推理得到若两正方体的棱长的比为
，则它们的体积之比为.
（2）先根据递推式得到的值，再归纳出.
详解：（1）对应的结论为：若两正方体的棱长的比为，则它们的体积之比为.
（2）由，
得，
由此可归纳得到.
点睛：（1）本题主要考查类比推理和不完全归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）在平面中类比时，长度的比与面积的比一般类比为空间长度的比与体积的比.
20．市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了位市民进行调查，调查结果统计如下:
不支持
支持
合计
男性市民
女性市民
合计
（1）根据已知数据把表格数据填写完整；
（2）利用(1)完成的表格数据回答下列问题:
（i）能否有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关；
（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教师，现从这位退体老人中随机抽取人，求至多有位老师的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】(1)见解析;(2)（i）有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关. （ii）.
【解析】分析：（1）根据已知数据的关系把表格数据填写完整.(2) （i）利用公式求出,再根据参考数据表判定能否有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关. （ii）利用古典概型求至多有位老师的概率.
详解：（1）
不支持
支持
合计
男性市民
女性市民
合计
（2）（i）由已知数据可求得
所以有的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关.
（ii）从人中任意取人的情况有种，其中至多有位教师的情况有种，
故所求的概率.
点睛：（1）本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握能力和解决实际问题的能力.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.
21．已知函数.
（1）当，求函数的单调区间；
（2）若函数在上是减函数，求的最小值；
【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是;(2).
【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求函数的单调区间.(2)先转化为在 上恒成立，再转化为，再求≤0，即得a的最小值.
详解：函数的定义域为，
（1）函数，
当且时，；
当时，，
所以函数的单调递减区间是，
单调递增区间是
（2）因在上为减函数，
故在上恒成立.
所以当时，，
又，
故当，即时，.
所以，于是，
故的最小值为.
点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调区间，考查导数解决恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化为，其二是利用二次函数求得.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
设直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】分析：（1）直接利用极坐标公式把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)利用直线参数方程t的几何意义解答，求的值.
详解：（1）由曲线的极坐标方程为，即，
可得直角坐标方程.
（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程可得
∴.
∴.
点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和转化能力.(2) 过定点、倾斜角为
的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据“零点分段法”分为，，三种情形，分别解出不等式，再取并集即可；（2）法一：对恒成立等价于对恒成立，利用绝对值三角不等式，求得取得最小值，即可求得的取值范围；法二：设，则，根据绝对值三角不等式求得得最小值，从而求得的取值范围.
试题解析：（1）因为，
所以当时，由得；
当时，由得；
当时，由得.
综上，的解集为.
（2）法一：由得，
因为，当且仅当取等号，
所以当时，取得最小值.
所以当时，取得最小值，
故，即的取值范围为.
法二：设，则，
当时，取得最小值，
所以当时，取得最小值，
故时，即的取值范围为.
点睛：含绝对值不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.