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- 2021-06-08 发布
第三讲 二次函数与幂函数
1.[2020 浙江联考]在同一直角坐标系中,函数 y =ax2+bx,y =ax-b(a>0 且 a≠1)的图象可能是 ( )
2.[2020 南阳一中模拟]“函数 f (x) =-x2+2mx 在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是 ( )
A.1f (
7
4
) B.f (a2+a+2)0 的解集为 .
14.[2019 蓉城名校高三第一次联考]若∀x∈R,2x2-mx+3≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围为 .
15.[2019 湖南省邵阳市高三大联考]若对任意的 x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则 a 的取值范围是 .
16.[交汇题]已知函数 f (x) =x2+(a+8)x+a2+a-12(a<0),且 f (a2-4) =f (2a-8),则
( ) - 4
+1
(n∈N*)的最小值为( )
A.
37
4
B.
35
8
C.
28
3
D.
27
4
17.[2020 江苏镇江一中模拟]已知函数 f (x)是定义在[2-a,3]上的偶函数,在[0,3]上单调递减,且 f (-m2
−
5
)>f
(-m2+2m-2),则实数 m 的取值范围是 .
18.[2019广东省茂名市五校联考]已知函数f (x) =x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f (x)1 和 01 时,由选项中指数函数图象与 y 轴的交点
的纵坐标小于 1 可知,b>0,则 A 选项中二次函数图象不符,D 选项符合.当 0a>0.而 c=log3
1
2
0 时,要使
f (x)在( - ∞,
1
2
]上为减函数,则
2 -
2
≥
1
2
,解得 a≤1,∴00 时,f (x)max=f (m+2),又f (x)max=6,即(m+2)2 - 2(m+2)+3=6,解得m=1.
综上可得 m= - 1 或 m=1,故选 B.
6.C 由 y=f (x)为偶函数,可得 y=f (2 - x2)也为偶函数.令 m=2 - x2,则 y=f (m)在[0,+∞)上单调递减,在( - ∞,0)
上单调递增.因为 m=2 - x2 在(0,+∞)上单调递减,且当 0≤x≤
2
时,m≥0,所以 m=2 - x2 在[0,
2
]上单调递减,此
时,y=f (m)也单调递减,所以 f (2 - x2)在[0,
2
]上单调递增,故选 C.
7.C 因为 a2+a+2=(a+
1
2
)2+
7
4
≥
7
4
,且函数 f (x)在区间(0,+∞)上是增函数,所以 f (a2+a+2)≥f (
7
4
).
8.D 当 a≠0 时,Δ=9+4a2>0,函数 f (x)有两个零点.当 a=0 时,f (x)=3x,此时 f (x)有一个零点.因此原函数有一
个零点或有两个零点.
9.D ∵f (x)=(m+2)
2
+ - 2
为幂函数,∴m+2=1,解得 m= - 1,∴f (x)=x - 2,∴f (x)在区间(0,+∞)上为减函
数.∵00.50=1,
∴00,所以 f (2x - 3)>f ( - x),所以 2x - 3> - x,
解得 x>1.
14.[ - 2
6
,2
6
] 根据题意知,2x2 - mx+3=0 最多有一个实数根,所以Δ=( - m)2 - 4×2×3≤0,解得 -
2
6
≤m≤2
6
,即 m∈[ - 2
6
,2
6
].
15.( - ∞, - 1] 由题可得,(3x+a)3≤(2x)3,因为 y=x3 在 R 上单调递增,所以 3x+a≤2x,即 x+a≤0 在 x∈[a,a+2]时恒
成立,所以 2a+2≤0,即 a≤ - 1.
16.A 二次函数 f (x)=x2+(a+8)x+a2+a - 12 图象的对称轴为直线 x= -
+8
2
,由 f (a2 - 4)=f (2a - 8)及二次函数
的图象,可以得出
2
- 4+2 - 8
2
= -
+8
2
,解
得 a= - 4 或 a=1.又 a<0,∴a= - 4,∴f
(x)=x2+4x,∴
( ) - 4
+1 =
2
+4 +16
+1 =
( +1)
2
+2( +1)+13
+1
=n+1+
13
+1
+2≥2
( + 1)
·
13
+1
+2=2
13
+2,当且仅当 n+1=
13
+1
,
即 n=
13
- 1 时等号成立.又 n∈N*且 2<
13
- 1<3,当 n=2 时,
( ) - 4
+1 =
28
3
,当
n=3 时,
( ) - 4
+1 =
29
4
+2=
37
4 <
28
3
,∴
( ) - 4
+1
(n∈N*)的最小值为
37
4
.故选 A.
17.[1 -
2
,
1
2
) 由函数 f (x)是定义在[2 - a,3]上的偶函数,得 2 - a+3=0,所以 a=5,所以 f ( - m2 -
5
)>f ( - m2+2m
- 2)即 f ( - m2 - 1)>f ( - m2+2m - 2).又易知偶函数 f (x)在[ - 3,0]上单调递增,而 - m2 - 1<0, - m2+2m - 2<0,所
以
- 3
≤
-
2
- 1
≤
0,
- 3
≤
-
2
+ 2 - 2
≤
0,
-
2
- 1 -
2
+ 2 - 2,
解得 1 -
2
≤m<
1
2
.
18.(1,log37) 由函数 f (x)=x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞)知,Δ=b2 - 4c=0,所以 c=
2
4
.不等式 f (x)
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