高考数学考点48 排列与组合 20页

1 （1）理解排列、组合的概念. （2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. （3）能解决简单的实际问题. 1．排列 （1）排列的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列. （2）排列数、排列数公式 从 n 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数，用符号 表示. 一般地，求排列数 可以按依次填 m 个空位来考虑： 假设有排好顺序的 m 个空位，从 n 个元素 中任取 m 个去填空，一个空位填 1 个元素，每一 种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为 m 个步骤来实现. 根据分步乘法计数原理，全部填满 m 个空位共有 种填法. 这样，我们就得到公式 ，其中 ，且 .这个公式叫做排 列数公式. n 个 不 同 元 素 全 部 取 出 的 一 个 排 列 ， 叫 做 n 个 元 素 的 一 个 全 排 列 ， 这 时 公 式 中 ， 即 有 ，就是说，n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的 连乘积.正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 表示.所以 n 个不同元素的全排列数公式可以写成 .另外，我们规定 1. 于是排列数公式写成阶乘的形式为 ，其中 ，且 . 注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事， 排列数是指“从 n 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数. 2．组合 ( )m m n ( )m m n Am n Am n 1 2, , , na a aL ( 1)( 2) [ ( 1)]n n n n m   L Am n  ( 1)( 2) ( 1)n n n n m   L ,m n N m n m n A ( 1) ( 2) 3 2 1n n n n n        L !n A !n n n 0! Am n  ! ( )! n n m ,m n N m n ( )m m n 2 （1）组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合. （2）组合数、组合数公式 从 n 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数，用符号 表示. ，其中 ，且 .这个公式叫做组合数公式. 因为 ，所以组合数公式还可以写成 ，其中 ，且 . 另外，我们规定 . （3）组合数的性质 性质 1： . 性质 1 表明从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合，与剩下的 个元素的组合是一一对应关系. 性质 2： . 性质 2 表明从 个不同元素中任取 m 个元素的组合，可以分为两类：第 1 类，取出的 m 个元素中不 含某个元素 a 的组合，只需在除去元素 a 的其余 n 个元素中任取 m 个即可，有 个组合；第 2 类，取 出的 m 个元素中含有某个元素 a 的组合，只需在除去 a 的其余 n 个元素中任取 个后再取出元素 a 即可，有 个组合. 考向一 排列数公式和组合数公式的应用 这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公 式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者 组合数进行变形或证明. 典例 1 求下列方程中的 值. （1） . ( )m m n ( )m m n Cm n A ( 1)( 2) ( 1)C A ! m m n n m m n n n n m m      L ,m n N m n Am n  ! ( )! n n m Cm n  ! !( )! n m n m ,m n N m n 0C 1n  C Cm n m n n  n m 1 1C C Cm m m n n n     1n  Cm n 1m  1Cm n  AC A m m n n m m  3 （2） . 即 ，化简得 , 解得 . , ∴原方程的解是 . 【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简 方程或不等式，最后得出问题的解. 1．证明： . 2．（1）解不等式 ； （2）求值 ． 考向二 排列问题的求解 解决排列问题的主要方法有： （1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特 殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.       3 8! 4 9 8! 8 ! 10 9 8 !x x x x       4 （2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆 绑元素的内部排列. （3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空当中. （4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”. 典例 2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的 8 个同学请出座位并 且编号为 1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这 8 个同学的身体特征，王老师决定，按照 1，2 号相邻，3， 4 号相邻，5，6 号相邻，而 7 号与 8 号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法.（用数字作 答） 【答案】576 3．记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的 排法共有 A．1440 种 B．720 种 C．960 种 D．480 种 4．用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数有 A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个 考向三 组合问题的求解 组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用 间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等 5 关键词的含义，做到不重不漏. 典例 3 某学校为了迎接市春季运动会，从 5 名男生和 4 名女生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要 求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 A．85 B．86 C．91 D．90 【答案】B 5．自 2020 年起，山东夏季高考成绩由“ ”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语 3 科，第二个“3” 指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 科中任选 3 科作为选考科目.某同学计划从物理、化学、 生物 3 科中任选两科，从政治、历史、地理 3 科中任选 1 科作为选考科目，则该同学 3 科选考科目的不 同选法的种数为 学￥% A．6 B．7 C．8 D．9 6．2017 年 3 月 22 日，习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间，俄罗斯某电视台记者， 在莫斯科大学随机采访了 7 名大学生，其中有 3 名同学会说汉语，从这 7 人中任意选取 2 人进行深度采 访，则这 2 人都会说汉语的概率为 A． B． C． D． 考向四 排列与组合的综合应用 1 3 2 3 1 5 1 7 6 先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成. 第一步：选元素，即选出符合条件的元素; 第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列; 第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数. 典例 4 有甲、乙、丙 3 项任务，任务甲需要 2 人承担，任务乙、丙各需要 1 人承担，从 10 人中选派 4 人 承担这 3 项任务，不同的选法共有_______________种(用数字作答). 【答案】2520 7．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4 个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4 个红包 中有两个 2 元,两个 3 元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有 A．35 种 B．24 种 C．18 种 D．9 种 8．为发展国外孔子学院,教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每个国家至少去一 人,则选派方案的种数为 A．180 B．240 C．540 D．630 1．下列等式中，错误的是 A． B． C． D．   1 11 A Am m n nn       ! 2 !1 n nn n   AC ! m m n n n 11 A Am m n nn m   7 2．若 ，则 的值为 A． B．70 C．120 D．140 3．甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则坐法种数为 A．10 B．16 C．20 D．24 4．某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、 丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有 A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．72 种 5．甲、乙、丙、丁、戊五个老师要安排去 4 个地区支教，每个地区至少安排一人，则不同的安排方法种数 为 A．150 B．120 C．180 D．240 6． 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 为 A． B． C． D． 7． 年平昌冬奥会期间， 名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排 甲，则不同的排法种数为 A． B． C． D． 8．数学活动小组由 12 名同学组成,现将这 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一 个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为 A． B． 34 C． 43 D． 43 2 2 2C A 42n    ! 3! 4 ! n n  60 8 1 8 3 8 5 8 7 3 3 3 412 9 6 43 3 C C C AA 3 3 3 12 9 6C C C 3 3 3 12 9 6 4 4 C C C A 3 3 3 12 9 6C C C 8 9．用数字 0,1,2,3,4 组成无重复数字的四位数,则比 2340 小的四位数共有 A．20 个 B．32 个 C．36 个 D．40 个 10．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了 6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2 个歌曲 节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外 2 个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种 数为 A．48 B．36 C．24 D．12 11．岳阳高铁站 进站口有 3 个闸机检票通道口，高考完后某班 3 个同学从该进站口检票进站到外地旅游， 如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为 不同的进站方式，那么这 3 个同学的不同进站方式有（ ）种. A．24 B．36 C．42 D．60 12．节目单上有 10 个位置,现有 A,B,C 3 个节目,要求每个节目前后都有空位且 A 节目必须在 B,C 节目之间, 则不同的节目排法有　　　　种. 13．在某足球赛现场,从两队的球迷中各选三名,排成一排照相,要求同一队的球迷不能相邻,则不同的排法种 数为　　　.(用数字作答) 14．给四面体 ABCD 的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不 相同,则不同的涂色方法种数共有　　　　. 15．某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻, 则不同的摆放方法有　　　　种(用数字作答). 16．2018 年 6 月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的 8 名同学符合招 募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各 2 名.若将这 8 名同学分成甲、乙两个小组, 每组 4 名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自于 同一年级的分组方式共有__________种． 17．（1）解不等式: ； （2）有 4 名男生和 3 名女生， i)选出 4 人去参加座谈会，如果 3 人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ ii)7 人排成一排，甲、乙二人之间恰好有 2 个人，有多少种不同的排法？ 9 18．有 2 名老师，3 名男生，3 名女生站成一排照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法？ （1）3 名男生必须站在一起； （2）2 名老师不能相邻； （3）若 3 名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站．（最终结果用数字表示） 19．4 个编号为 1,2,3,4 的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子中. （1）①恰好有一个空盒子,有多少种放法? ②若把 4 个不同小球换成 4 个相同小球,恰好有一个空盒子,有多少种放法? （2）每个盒子放 1 个球,并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法? 10 1．（2018 新课标全国Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴 赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 30 的素数中，随 机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A． B． C． D． 2．（2017 新课标全国Ⅱ理科）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有 A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 3．（2016 四川理科）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A．24 B．48 C．60 D．72 4．（2018 新课标全国Ⅰ理科）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则 不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 5．（2018 江苏）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女 生的概率为 ▲ ． 6．（2018 浙江）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成___________ 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 7．（2017 浙江理科）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队， 要求服务队中至少有 1 名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答） 8．（2017 天津理科）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的 四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答） 30 7 23  1 12 1 14 1 15 1 18 11 1．【解析】 . 故原式成立. 2．【解析】（1）原不等式可化为 ， ∴ ，即 ， ∴ ， 又∵ 且 ，∴ ， ∴ ， 又 ，∴ ． （2）由组合数的定义知 ，∴ ． 又 ，∴ ， ， ， 当 时，原式 ； 当 时，原式 ； 当 时，原式 ． 3．【答案】C     8! 8!68 ! 10 !x x   *xN 0 1 10 0 17 10 r r          *r N 12 4．【答案】B 【解析】由题意可得,比 40000 大的五位数的万位只能是 4 或 5. 当万位是 4 时,由于该五位数是偶数,个位只能从 0 或 2 中任选一个,有两种情况,其余三位数字从剩下的四 个数中任选三个进行全排列,故有 种情况; 当万位是 5 时,由于该五位数是偶数,个位只能从 0、2 或 4 中任选一个,有三种情况,其余三位数字从剩下的 四个数中任选三个进行全排列,故有 种情况. 综上,满足题意的数共有 故选 B． 5．【答案】D 【解析】某同学计划从物理、化学、生物 3 科中任选两科，从政治、历史、地理 3 科中任选 1 科作为选 考科目，则该同学 3 科选考科目的不同选法的种数为 种.故选 D． 6．【答案】D 【解析】从这 7 人中任意选取 2 人的选法总数为 两人会说汉语的情况有 所以从这 7 人中任意选取 2 人进行深度采访,则这 2 人都会说汉语的概率为 . 7．【答案】C 【解析】若甲、乙抢的是一个 2 元和一个 3 元的红包,剩下 2 个红包,被剩下 3 名成员中的 2 名抢走,有 =12(种)； 若甲、乙抢的是两个 2 元或两个 3 元的红包,剩下两个红包,被剩下的 3 名成员中的 2 名抢走,有 =6(种). 学@# 3 1 21 7 13 根据分类加法计数原理可得,甲、乙两人都抢到红包的情况共有 12+6=18(种). 8．【答案】C 1．【答案】C 【解析】通过计算得到选项 A,B,D 的左、右两边都是相等的. 对于选项 C, ,所以选项 C 是错误的.故答案为 C． 2．【答案】D 【解析】∵ ，∴ ， ∴ ，故选 D． 3．【答案】C 【解析】一排共有 8 个座位,现有甲、乙两人就坐,故有 6 个空座. ∵要求甲、乙两人每人的两旁均有空座, ∴在 6 个空座的中间 5 个空中插入 2 个座位让甲、乙两人就坐，有 =20(种)坐法. 4．【答案】C 【解析】由题意可知,从 4 人中任选 2 人作为一个整体,共有 =6(种), 再把这个整体与其他 2 人进行全排列,对应 3 个活动小组,有 =6(种)情况, 所以共有 6×6=36(种)不同的报名方法. 5．【答案】D AC ! m m n n m  2 2 2 1C A 42 2 12n n n     7n    ! 7! 7 6 5 4 1403! 4 ! 3! 3! 3 2 1 n n         14 6．【答案】D 【解析】由已知，4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有 种不同的结果， 而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况： （1）一天一人，另一天三人，有 种不同的结果； （2）周六、周日各 2 人，有 种不同的结果， 故周六、周日都有同学参加公益活动有 种不同的结果， 所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ，选 D． 7．【答案】C 【解析】根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论： ①最左边排甲，则剩下 4 人进行全排列，有 种安排方法； ②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的 3 个位置选一个安排甲，有 3 种情况， 再将剩下的 3 人全排列，有 种情况，此时有 种安排方法， 则不同的排法种数为 种.故选 C． 8．【答案】B 【解析】将 12 名同学平均分成四组共有 种方案，四组分别研究四个不同课题共有 种方案， 第一组选择一名组长有 3 种方案，第二组选择一名组长有 3 种方案，第三组选择一名组长有 3 种方案， 第四组选择一名组长有 3 种方案，选取组长的方案共有 34 种， 根据分步乘法计数原理,可知满足题目要求的种数为 34= 34,故选 B． 9．【答案】D 【解析】①首位为 1： 种； ②首位为 2，第二位为 0,1 都满足题意，共 种； 42 16 1 2 4 2C A 8 2 4C 6 8 6 14  14 7 16 8 3 3 3 3 12 9 6 3 4 4 C C C C A 4 4A 3 3 3 3 412 9 6 3 44 4 C C C C AA 3 3 3 12 9 6C C C 15 ③首位为 2，第二位为 3，第三位为 0,1 都满足题意，共 种. 24+12+4=40. 综上，共有 40 个满足题意的四位数，故选 D. @#网 10．【答案】C 11．【答案】D 【解析】若三名同学从 3 个不同的检票通道口进站，则有 种； 若三名同学从 2 个不同的检票通道口进站，则有 种； 若三名同学从 1 个不同的检票通道口进站，则有 种. 综上，这 3 个同学的不同进站方式有 种，选 D． 12．【答案】40 【解析】除 A,B,C 3 个节目外,还有 7 个位置,共可形成 6 个空,从 6 个空中选 3 个位置安排 3 个节目，有 种方法,又 A 在中间,所以 B,C 有 种方法,所以总的排法有 =40 种. 13．【答案】72 【解析】由于要求同一队的球迷不能相邻,故可利用插空法求出不同的排法种数. 可分两步: 第一步,同一队的 3 名球迷不同的排法有 =6(种); 第二步,由于要求同一队的球迷不能相邻,所以另一队的 3 名球迷必须插入首、尾中的任一个空以及中间 的两个空中,不同的排法有 =12(种), 由分步乘法计数原理,可得不同的排法种数为 6×12=72. 16 14．【答案】96 15．【答案】24 【解析】甲、乙两件工艺品的摆放方法有 种,丙、丁与剩余的两件工艺品的摆放方法有 种,由分步 乘法计数原理可知,不同的摆放方法有 =24 种. 16．【答案】24 【解析】根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中 选两个为 种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为 种，故有 种； 第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为 种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为 种，这时共有 种. 根据分类计数原理得，共有 种不同的分组方式. 17．【解析】（1）原不等式即 ，    9! 9!69 ! 11 !x x   17 ii)甲、乙先排好后，再从其余的 5 人中选出 2 人排在甲、乙之间，与余下的 3 人全排列，则有 ＝ 960（种）排法. 学@# 18．【解析】（1）把 3 名男生看成一个整体与其他人排列，有 种不同站法， 再来考虑 3 名男生间的顺序有 种不同站法， 故 3 名男生必须站在一起的排法有 种; （2）6 名学生先站成一排有 种站法，再插入两名老师有 种站法， 故 2 名老师不相邻的站法有 种; （3）先从 8 个位置中选出 3 个位置给 3 个女生有 种， 再在剩下的 5 个位置上排其余 5 人有 种， 故 4 名女生从左到右由高到矮的顺序的站法有 种． 19．【解析】（1）①方法一：4 个小球不同,4 个盒子也不同,是排列问题,恰好有一个空盒子的放法可分两步 完成. 6 6A 3 3A 3 6 3 6A A 4320 6 6A 2 7A 6 2 6 7A A 30240 3 8C 5 5A 3 5 8 5C A 6720 18 所以共有 ·2=8(种)放法. 1．【答案】C 【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数， 共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为 ，选 C. 2．【答案】D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三 份：有 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有 种． 故选 D． 【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生 的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再 3 1=45 15 2 4C 2 3 4 3C A 36  19 考虑其他元素(或位置)． （2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀 分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 5．【答案】 学@# 【解析】从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 种， 因此所求概率为 6．【答案】1260 【解析】若不取 0，则排列数为 ； 若取 0，则排列数为 因此一共有 个没有重复数字的四位数. 7．【答案】660 【解析】由题意可得，“从 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队”总的 选择方法为 （种）方法， 其中“服务队中没有女生”的选法有 （种）方法， 则满足题意的选法有： （种）． 3 10 2 5C 10 2 3C 3 3 10 4 1 1 8 4 3C C C  4 1 1 6 4 3C C C  4 1 1 4 1 1 8 4 3 6 4 3C C C C C C 660      20 【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题， 往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才 能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加 法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分 考虑“正难则反”的思维方式． 8．【答案】 【解析】 ． 【名师点睛】计数原理包含分类加法计数原理和分步乘法计数原理，本题中组成的四位数至多有一个数 字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，先利用分步乘法计数原理求每一类 中的结果数，然后利用分类加法计数原理求总的结果数． 1080 4 1 3 4 5 4 5 4A C C A 1080 