2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9-5 抛物线及其性质（试题部分） 14页

‎§9.5　抛物线及其性质 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 抛物线的定义及标准方程 ‎①了解抛物线的定义,并会用定义进行解题;‎ ‎②掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)‎ ‎2019课标全国Ⅰ,21,12分 抛物线定义及方程 圆的方程,圆的几何性质,抛物线的几何性质 ‎★★☆‎ 抛物线的几何性质 ‎①知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);‎ ‎②能用其性质解决有关抛物线的问题,了解抛物线的一些实际应用 ‎2019课标全国Ⅱ,9,5分 抛物线的几何性质 椭圆的几何性质 ‎★★☆‎ ‎2016课标全国Ⅱ,5,5分 抛物线的几何性质 等轴双曲线 直线与抛物线的位置关系 ‎①会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系;‎ ‎②根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题 ‎2018课标全国Ⅰ,20,12分 直线与抛物线的位置关系 直线的方程,定值问题的证明 ‎★★★‎ ‎2019课标全国Ⅲ,21,12分 直线与抛物线的位置关系 直线过定点,圆的方程,直线与圆的位置关系 分析解读 从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思想方法及数学语言的考查.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　抛物线的定义及标准方程 ‎1.(2019河北衡水三模,6)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=(　　)‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2020届贵州贵阳摸底,14)若直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与C相交于A,B两点,且线段AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为　　　　　　. ‎ 答案　y2=4x或y2=8x ‎3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎4‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎1.(2019皖中地区调研,9)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=(　　)‎ A.‎5‎‎4‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎‎4‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则‎|AF|·|BF|‎‎|AF|+|BF|‎=(　　)‎ A.a‎2‎ B.a‎4‎ C.2a D.4a 答案　B　‎ 考点三　直线与抛物线的位置关系 答案　B　‎ ‎2.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=　　　,‎1‎‎|AF|‎+‎1‎‎|BF|‎=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) ‎ 答案　2;1‎ ‎3.(2020届河南百校联盟10月联考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=x+1与抛物线C相切于点P,过点P作抛物线C的割线PQ,割线PQ与抛物线C的另一个交点为Q,A为线段PQ的中点,过A作y轴的垂线,与直线l相交于点N,M为线段AN的中点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)求证:点M在抛物线C上.‎ 答案　(1)由y=x+1,‎y‎2‎‎=2px得y2=2p(y-1),‎ 即y2-2py+2p=0①.(1分)‎ 依题意得,Δ=(-2p)2-8p=0,由p>0,解得p=2.‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.(4分)‎ ‎(2)证明:将p=2代入①得y2-4y+4=0,解得y1=y2=2,‎ 将y=2代入y=x+1,得x=1,所以点P(1,2).(5分)‎ 设Q(m,n),则n2=4m,因为A为线段PQ的中点,‎ 所以Am+1‎‎2‎‎,‎n+2‎‎2‎.(7分)‎ 联立y=x+1,‎y=n+2‎‎2‎,‎得Nn‎2‎‎,‎n+2‎‎2‎,‎ 所以线段AN的中点M的坐标为m+n+1‎‎4‎‎,‎n+2‎‎2‎,(9分)‎ 又4×m+n+1‎‎4‎=n‎2‎‎4‎+n+1=n+2‎‎2‎‎2‎,满足y2=4x,(11分)‎ 所以线段AN的中点M在抛物线C上.(12分)‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　求抛物线的标准方程的方法 ‎1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是(　　)‎ A.y2=-12x B.y2=-8x C.y2=-6x D.y2=-4x 答案　B　‎ ‎2.(2019湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是(　　)‎ A.y2=8x B.x2=8y C.y2=4x D.x2=4y 答案　A　‎ ‎3.(2020届山西康杰中学期中,14)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3‎5‎,则此抛物线的方程为　　　　　　. ‎ 答案　y2=4x或y2=-36x 方法2　抛物线定义的应用策略 ‎1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=(　　)‎ A.8 B.‎13‎‎2‎ C.6 D.‎‎9‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019宁夏银川质量检测,14)已知P是抛物线y2=4x上一动点,定点A(0,2‎2‎),过点P作PQ⊥y轴于点Q,则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎3.(2019河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为　　　　. ‎ 答案　13‎ 方法3　与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法 ‎1.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作直线l与C交于A,B两点.若|AB|=10,则△OAB的重心的横坐标为(　　)‎ A.‎4‎‎3‎ B.2 C.‎8‎‎3‎ D.3‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019湖南衡阳一模,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与C交于A、B两点,且线段AB中点的纵坐标为2,O为坐标原点,则△AOB的面积为(　　)‎ A.2‎2‎ B.‎2‎ C.2 D.4‎ 答案　A　‎ ‎3.(2020届云南师范大学附中第二次月考,20)过F(0,1)的直线l与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,以A,B两点为切点分别作抛物线C的切线l1,l2,设l1与l2交于点Q(x0,y0).‎ ‎(1)求y0;‎ ‎(2)过Q,F的直线交抛物线C于M,N两点,证明:QF⊥AB,并求四边形AMBN面积的最小值.‎ 答案　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx+1,‎ 联立x‎2‎‎=4y,‎y=kx+1‎得x2-4kx-4=0,所以x‎1‎‎+x‎2‎=4k,‎x‎1‎x‎2‎‎=-4,‎ 由x2=4y得y=x‎2‎‎4‎,则y'=‎1‎‎2‎x,所以l1:y-y1=‎1‎‎2‎x1(x-x1),即l1:y=‎1‎‎2‎x1x-x‎1‎‎2‎‎4‎,同理l2:y=‎1‎‎2‎x2x-x‎2‎‎2‎‎4‎,‎ 由y=‎1‎‎2‎x‎1‎x-x‎1‎‎2‎‎4‎,‎y=‎1‎‎2‎x‎2‎x-x‎2‎‎2‎‎4‎,‎x‎1‎‎+x‎2‎=4k,‎y‎1‎‎=kx‎1‎+1‎得x=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=2k,‎y=-1,‎所以y0=-1.‎ ‎(2)因为QF=‎-x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,2‎,AB=(x2-x1,y2-y1),‎ 所以QF·AB=-x‎2‎‎2‎‎-‎x‎1‎‎2‎‎2‎+2(y2-y1)=-x‎2‎‎2‎‎-‎x‎1‎‎2‎‎2‎+x‎2‎‎2‎‎-‎x‎1‎‎2‎‎2‎=0,‎ 所以QF⊥AB,即MN⊥AB.‎ 由(1)得|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,‎ 同理|MN|=‎4‎k‎2‎+4,‎ 则S四边形AMBN=‎1‎‎2‎|AB||MN|=8(k2+1)‎1‎k‎2‎‎+1‎=8k‎2‎‎+‎1‎k‎2‎+2‎≥32,当且仅当k=±1时,取“=”.‎ 所以四边形AMBN面积的最小值为32.‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎1.(2019课标全国Ⅱ,9,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x‎2‎‎3p+y‎2‎p=1的一个焦点,则p=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.8‎ 答案　D　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 C.‎3‎‎2‎ D.2‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;‎ ‎(2)证明:∠ABM=∠ABN.‎ 答案　(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).‎ 所以直线BM的方程为y=‎1‎‎2‎x+1或y=-‎1‎‎2‎x-1.‎ ‎(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.‎ 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.‎ 由y=k(x-2),‎y‎2‎‎=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=‎2‎k,y1y2=-4.‎ 直线BM,BN的斜率之和为 kBM+kBN=y‎1‎x‎1‎‎+2‎+y‎2‎x‎2‎‎+2‎=x‎2‎y‎1‎‎+x‎1‎y‎2‎+2(y‎1‎+y‎2‎)‎‎(x‎1‎+2)(x‎2‎+2)‎.①‎ 将x1=y‎1‎k+2,x2=y‎2‎k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=‎2y‎1‎y‎2‎+4k(y‎1‎+y‎2‎)‎k=‎-8+8‎k=0.‎ 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.‎ 综上,∠ABM=∠ABN.‎ ‎4.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=x‎2‎‎4‎上两点,A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率;‎ ‎(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.‎ 答案　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1≠x2,y1=x‎1‎‎2‎‎4‎,y2=x‎2‎‎2‎‎4‎,x1+x2=4,‎ 于是直线AB的斜率k=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)由y=x‎2‎‎4‎,得y'=x‎2‎,‎ 设M(x3,y3),由题设知x‎3‎‎2‎=1,‎ 解得x3=2,于是M(2,1).‎ 设直线AB的方程为y=x+m,‎ 故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.‎ 将y=x+m代入y=x‎2‎‎4‎得x2-4x-4m=0.‎ 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1‎.‎ 从而|AB|=‎2‎|x1-x2|=4‎2(m+1)‎.‎ 由题设知|AB|=2|MN|,‎ 即4‎2(m+1)‎=2(m+1),解得m=7.‎ 所以直线AB的方程为y=x+7.‎ ‎5.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.‎ ‎(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.‎ 答案　由题设知F‎1‎‎2‎‎,0‎.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0,‎ 且Aa‎2‎‎2‎‎,a,Bb‎2‎‎2‎‎,b,P‎-‎1‎‎2‎,a,Q‎-‎1‎‎2‎,b,R‎-‎1‎‎2‎,‎a+b‎2‎.‎ 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)‎ ‎(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.‎ 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1=a-b‎1+‎a‎2‎=a-ba‎2‎‎-ab=‎1‎a=‎-aba=-b=k2.‎ 所以AR∥FQ.(5分)‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=‎1‎‎2‎|b-a||FD|=‎1‎‎2‎|b-a|x‎1‎‎-‎‎1‎‎2‎,S△PQF=‎|a-b|‎‎2‎.‎ 由题设可得2×‎1‎‎2‎|b-a|x‎1‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎|a-b|‎‎2‎,‎ 所以x1=0(舍去)或x1=1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x,y).‎ 当AB与x轴不垂直时,‎ 由kAB=kDE可得‎2‎a+b=yx-1‎(x≠1).‎ 而a+b‎2‎=y,所以y2=x-1(x≠1).‎ 当AB与x轴垂直时,E与D重合.‎ 所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　抛物线的定义及标准方程 ‎　(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.‎ 答案　(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p‎2‎=1,即p=2.‎ ‎(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.‎ 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由y‎2‎‎=4x,‎x=sy+1‎消去x得y2-4sy-4=0,‎ 故y1y2=-4,所以,B‎1‎t‎2‎‎,-‎‎2‎t.‎ 又直线AB的斜率为‎2tt‎2‎‎-1‎,故直线FN的斜率为-t‎2‎‎-1‎‎2t.‎ 从而得直线FN:y=-t‎2‎‎-1‎‎2t(x-1),直线BN:y=-‎2‎t.‎ 所以Nt‎2‎‎+3‎t‎2‎‎-1‎‎,-‎‎2‎t.‎ 设M(m,0),由A,M,N三点共线得 ‎2tt‎2‎‎-m‎=‎2t+‎‎2‎tt‎2‎‎-‎t‎2‎‎+3‎t‎2‎‎-1‎,于是m=‎2‎t‎2‎t‎2‎‎-1‎.所以m<0或m>2.‎ 经检验,m<0或m>2满足题意.‎ 综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).‎ 考点二　抛物线的几何性质 答案　D　‎ ‎2.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为　　　　. ‎ 答案　(1,0)‎ ‎3.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　(x+1)2+(y-‎3‎)2=1‎ 考点三　直线与抛物线的位置关系 ‎　(2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.‎ ‎(1)求p的值及抛物线的准线方程;‎ ‎(2)求S‎1‎S‎2‎的最小值及此时点G的坐标.‎ 答案　本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养和转化与化归的思想方法.‎ ‎(1)由题意得p‎2‎=1,即p=2.‎ 所以,抛物线的准线方程为x=-1.‎ ‎(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=t2.由于直线AB过F,故直线AB方程为x=t‎2‎‎-1‎‎2ty+1,代入y2=4x,得y2-‎2(t‎2‎-1)‎ty-4=0,故2tyB=-4,即yB=-‎2‎t,所以B‎1‎t‎2‎‎,-‎‎2‎t.又由于xG=‎1‎‎3‎(xA+xB+xC),yG=‎1‎‎3‎(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-‎2‎t+yC=0,‎ 得C‎1‎t‎-t‎2‎‎,2‎‎1‎t‎-t,G‎2t‎4‎-2t‎2‎+2‎‎3‎t‎2‎‎,0‎.‎ 所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).‎ 由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.‎ 从而S‎1‎S‎2‎=‎‎1‎‎2‎‎|FG|·|yA|‎‎1‎‎2‎‎|QG|·|yC|‎ ‎=‎‎2t‎4‎-2t‎2‎+2‎‎3‎t‎2‎‎-1‎‎·|2t|‎t‎2‎‎-1-‎‎2t‎4‎-2t‎2‎+2‎‎3‎t‎2‎‎·‎‎2‎t‎-2t ‎=‎2t‎4‎-‎t‎2‎t‎4‎‎-1‎=2-t‎2‎‎-2‎t‎4‎‎-1‎.‎ 令m=t2-2,则m>0,‎ S‎1‎S‎2‎‎=2-mm‎2‎‎+4m+3‎=2-‎‎1‎m+‎3‎m+4‎ ‎≥2-‎‎1‎‎2m·‎‎3‎m+4‎ ‎=1+‎3‎‎2‎.‎ 当m=‎3‎时,S‎1‎S‎2‎取得最小值1+‎3‎‎2‎,此时G(2,0).‎ C组　教师专用题组 考点一　抛物线的定义及标准方程 ‎1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=‎5‎‎4‎x0,则x0=(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ 答案　A　‎ 答案　C　‎ ‎3.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为(　　)‎ A.18 B.24 C.36 D.48‎ 答案　C　‎ ‎4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　　. ‎ 答案　y=±‎2‎‎2‎x 考点二　抛物线的几何性质 ‎　(2013课标Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(　　)‎ A.y=x-1或y=-x+1‎ B.y=‎3‎‎3‎(x-1)或y=-‎3‎‎3‎(x-1)‎ C.y=‎3‎(x-1)或y=-‎3‎(x-1)‎ D.y=‎2‎‎2‎(x-1)或y=-‎2‎‎2‎(x-1)‎ 答案　C　‎ 考点三　直线与抛物线的位置关系 ‎1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(　　)‎ A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=(　　)‎ A.‎30‎‎3‎ B.6 C.12 D.7‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎3.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A.2 B.3 C.‎17‎‎2‎‎8‎ D.‎‎10‎ 答案　B　‎ ‎4.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是　　　　　　　. ‎ 答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ ‎5.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=‎1‎‎4‎x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.‎ ‎(1)求点A,B的坐标;‎ ‎(2)求△PAB的面积.‎ 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.‎ 答案　(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),‎ 由y=k(x-t),‎y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,‎ 由于直线PA与抛物线相切,得k=t.‎ 因此,点A的坐标为(2t,t2).‎ 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y‎0‎‎2‎‎=-x‎0‎‎2t+1,‎x‎0‎t-y‎0‎=0,‎ 解得x‎0‎‎=‎2t‎1+‎t‎2‎,‎y‎0‎‎=‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎.‎ 因此,点B的坐标为‎2t‎1+‎t‎2‎‎,‎‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎.‎ ‎(2)由(1)知|AP|=t·‎1+‎t‎2‎,‎ 和直线PA的方程tx-y-t2=0.‎ 点B到直线PA的距离是d=t‎2‎‎1+‎t‎2‎,‎ 设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=‎1‎‎2‎|AP|·d=t‎3‎‎2‎.‎ ‎6.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程;‎ ‎(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.‎ 答案　(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎=|x|+1,‎ 化简整理得y2=2(|x|+x).‎ 故点M的轨迹C的方程为y2=‎‎4x,x≥0,‎‎0,x<0.‎ ‎(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),‎ 依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).‎ 由方程组y-1=k(x+2),‎y‎2‎‎=4x,‎ 可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①‎ ‎(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=‎1‎‎4‎.‎ 故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点‎1‎‎4‎‎,1‎.‎ ‎(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②‎ 设直线l与x轴的交点为(x0,0),则 由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-‎2k+1‎k.③‎ 若Δ<0,‎x‎0‎‎<0,‎由②③解得k<-1或k>‎1‎‎2‎,‎ 即当k∈(-∞,-1)∪‎1‎‎2‎‎,+∞‎时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,‎ 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.‎ 若Δ=0,‎x‎0‎‎<0‎或Δ>0,‎x‎0‎‎≥0,‎ 由②③解得k∈‎-1,‎‎1‎‎2‎或-‎1‎‎2‎≤k<0,‎ 即当k∈‎-1,‎‎1‎‎2‎时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.‎ 当k∈‎-‎1‎‎2‎,0‎时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.‎ 故当k∈‎-‎1‎‎2‎,0‎∪‎-1,‎‎1‎‎2‎时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.‎ 若Δ>0,‎x‎0‎‎<0,‎由②③解得-10)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.‎ ‎(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4‎2‎,求p的值及圆F的方程;‎ ‎(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.‎ 答案　(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=‎2‎p.‎ 由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=‎2‎p.‎ 因为△ABD的面积为4‎2‎,所以‎1‎‎2‎|BD|·d=4‎2‎,即‎1‎‎2‎·2p·‎2‎p=4‎2‎,‎ 解得p=-2(舍去)或p=2.‎ 所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.‎ ‎(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.‎ 由抛物线定义知|AD|=|FA|=‎1‎‎2‎|AB|,‎ 所以∠ABD=30°,m的斜率为‎3‎‎3‎或-‎3‎‎3‎.‎ 当m的斜率为‎3‎‎3‎时,由已知可设n:y=‎3‎‎3‎x+b,代入x2=2py得x2-‎2‎‎3‎‎3‎px-2pb=0.‎ 由于n与C只有一个公共点,故Δ=‎4‎‎3‎p2+8pb=0.解得b=-p‎6‎.‎ 因为m在y轴上的截距b1=p‎2‎,所以‎|b‎1‎|‎‎|b|‎=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-‎3‎‎3‎时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.‎ ‎8.(2010全国Ⅰ,22,12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.‎ ‎(1)证明:点F在直线BD上;‎ ‎(2)设FA·FB=‎8‎‎9‎,求△BDK的内切圆M的方程.‎ 答案　设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m≠0).‎ ‎(1)证明:将x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0,‎ 从而y1+y2=4m,y1y2=4.①‎ 直线BD的方程为y-y2=y‎2‎‎+‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎·(x-x2),‎ 即y-y2=‎4‎y‎2‎‎-‎y‎1‎·x-‎y‎2‎‎2‎‎4‎.‎ 令y=0,得x=y‎1‎y‎2‎‎4‎=1.所以点F(1,0)在直线BD上.‎ ‎(2)由(1)知,‎ x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,‎ x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.‎ 因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),‎ FA‎·FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2‎ ‎=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,‎ 故8-4m2=‎8‎‎9‎,解得m=±‎4‎‎3‎.‎ 所以l的方程为3x+4y+3=0,或3x-4y+3=0.‎ 又由①知y2-y1=±‎(4m‎)‎‎2‎-4×4‎=±‎4‎‎3‎‎7‎,‎ 故直线BD的斜率为‎4‎y‎2‎‎-‎y‎1‎=±‎3‎‎7‎,‎ 因而直线BD的方程为3x+‎7‎y-3=0,或3x-‎7‎y-3=0.‎ 因为KF为∠BKD的平分线,故可设圆心M(t,0)(-10)在C上,|AF|=3.若直线AF与C交于另一点B,则|AB|的值是(　　)‎ A.12 B.10 C.9 D.45‎ 答案　C　‎ ‎5.(2019名校联盟模拟二,11)直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB,若△AOB的面积的最小值为4,则抛物线的方程为(　　)‎ A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x 答案　B　‎ ‎6.(2019江西九江二模,12)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=(　　)‎ A.4 B.8 C.16 D.‎‎16‎‎3‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎7.(2020届河南南阳一中10月月考,13)点M(2,1)到抛物线y=ax2(a≠0)准线的距离为2,则a的值为　　　　. ‎ 答案　‎1‎‎4‎或-‎‎1‎‎12‎ ‎8.(2020届河南中原联盟第四次测评,15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点,AM⊥l,BN⊥l,M、N为垂足,点Q是MN的中点,|QF|=2,则p=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ ‎9.(2018安徽安庆二模,14)设抛物线x2=4y的焦点为F,点A,B在抛物线上,且满足AF=λFB,若|AF|=‎3‎‎2‎,则λ的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎10.(2020届内蒙古包头一中月考,20)已知直线l:x-y+1=0与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)相切.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.‎ 答案　(1)由x-y+1=0,‎y‎2‎‎=2px消去x,得y2-2py+2p=0,(2分)‎ ‎∵直线l:x-y+1=0与抛物线C相切,‎ ‎∴Δ=4p2-8p=0,解得p=2(p=0舍去).(4分)‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=4x.(5分)‎ ‎(2)设直线m的方程为ty=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),(6分)‎ 由ty=x-1,‎y‎2‎‎=4x消去x,得y2-4ty-4=0,(7分)‎ ‎∴y1+y2=4t,从而x1+x2=4t2+2,(8分)‎ ‎∴线段AB的中点M的坐标为(2t2+1,2t).(9分)‎ 设点A到直线l的距离为dA,点B到直线l的距离为dB,点M到直线l的距离为d,则dA+dB=2d=2·‎|2t‎2‎-2t+2|‎‎2‎=2‎2‎|t2-t+1|=2‎2‎t-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎4‎,(11分)‎ ‎∴当t=‎1‎‎2‎时,dA+dB取最小值,即A、B两点到直线l的距离之和最小,最小值为‎3‎‎2‎‎2‎.(12分)‎ ‎11.(2020届山西长治重点中学11月联考,20)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.‎ 答案　(1)由抛物线的定义知|AF|=2+p‎2‎.‎ 又因为|AF|=3,所以2+p‎2‎=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.‎ ‎(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,‎ 所以m=±2‎2‎.‎ 由抛物线的对称性,不妨设A(2,2‎2‎).‎ 由A(2,2‎2‎),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2‎2‎(x-1).‎ 由y=2‎2‎(x-1),‎y‎2‎‎=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=‎1‎‎2‎,从而B‎1‎‎2‎‎,-‎‎2‎.‎ 又G(-1,0),所以kGA=‎2‎2‎-0‎‎2-(-1)‎=‎2‎‎2‎‎3‎,kGB=‎-‎2‎-0‎‎1‎‎2‎‎-(-1)‎=-‎2‎‎2‎‎3‎,‎ 所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,所以点F到直线GA,GB的距离相等,‎ 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.‎ 证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.‎ 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2‎2‎.‎ 由抛物线的对称性,不妨设A(2,2‎2‎).‎ 由A(2,2‎2‎),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2‎2‎(x-1),‎ 由y=2‎2‎(x-1),‎y‎2‎‎=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=‎1‎‎2‎,从而B‎1‎‎2‎‎,-‎‎2‎.‎ 又G(-1,0),故直线GA的方程为2‎2‎x-3y+2‎2‎=0,‎ 从而r=‎|2‎2‎+2‎2‎|‎‎8+9‎=‎4‎‎2‎‎17‎.‎ 又直线GB的方程为2‎2‎x+3y+2‎2‎=0,‎ 所以点F到直线GB的距离d=‎|2‎2‎+2‎2‎|‎‎8+9‎=‎4‎‎2‎‎17‎=r,‎ 所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.‎