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- 2021-06-08 发布
2016-2017学年宁夏育才中学孔德学区高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0
C．∃x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞0
2．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
C．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
3．条件p：x＞1，y＞1，条件q：x+y＞2，xy＞1，则条件p是条件q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
4．p：若x2+y2≠0，则x，y不全为零，q：若m＞﹣2，则x2+2x﹣m=0有实根，则（ ）
A．“p∨q”为真 B．“￢p”为真 C．“p∧q”为真 D．“￢q”为假
5．已知双曲线方程为﹣=1，那么它的半焦距是（ ）
A．5 B．2.5 C． D．
6．已知定点A、B，且|AB|=2，动点P满足|PA|﹣|PB|=1，则点P的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线
7．△ABC的两个顶点为A（﹣4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ）
A． =1（y≠0） B． =1（y≠0）
C． =1 （y≠0） D． =1 （y≠0）
8．已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（ ）
A．10 B．20 C．2 D．4
9．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．2
10．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．“m＞0，n＞0”是“方程mx2+ny2=1”表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
12．设F1和F2为双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）
13．已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 ．
14．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为 ．
15．设P是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=3，则|PF2|的值为 ．
16．设F1、F2是椭圆3x2+4y2=48的左、右焦点，点P在椭圆上，满足sin∠PF1F2=，△PF1F2的面积为6，则|PF2|= ．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共56分）
17．求与椭圆共焦点，且过点（﹣2，）的双曲线的标准方程．
18．求以椭圆3x2+13y2=39的焦点为焦点，以直线y=±为渐近线的双曲线方程．
19．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：关于x的方程x2+2ax+a+2=0有解．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
20．已知P={x|a﹣4＜x＜a+4}，Q={x|x2﹣4x+3＜0}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
21．已知椭圆的两焦点是F1（0，﹣1），F2（0，1），离心率e=
（1）求椭圆方程；
（2）若P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=1，求cos∠F1PF2．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1，0）．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．
2016-2017学年宁夏育才中学孔德学区高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0
C．∃x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞0
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知：∀x∈R，x2+2x﹣1＜0的否定为∃x∈R，x2+2x﹣1≥0，
故选：C．
2．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
C．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由原命题与逆否命题的关系即可判断A；根据充分必要条件的定义即可判断B；由特称命题的否定是全称命题即可判断C；由复合命题的真值表即可判断D．
【解答】解：A．命题：“若p则q”的逆否命题为：“若￢q则￢p”，故A正确；
B．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞2”
是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，即B正确；
C．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正确；
D．若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．
故选D．
3．条件p：x＞1，y＞1，条件q：x+y＞2，xy＞1，则条件p是条件q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【考点】充要条件．
【分析】题目中的x和y明显有对称性，即x和y可以互换题目不变，显然前者可以推出后者，通过取特殊值可得出后者不可以推出前者．
【解答】解：由 x＞1，y＞1可得 x+y＞2，xy＞1，
取x=1.9，y=0.9． 则x+y＞2，xy＞1成立，但x＞1，y＞1，
则条件p是条件q的充分而不必要条件．
故选A．
4．p：若x2+y2≠0，则x，y不全为零，q：若m＞﹣2，则x2+2x﹣m=0有实根，则（ ）
A．“p∨q”为真 B．“￢p”为真 C．“p∧q”为真 D．“￢q”为假
【考点】复合命题的真假．
【分析】先将命题p，q化简，然后逐项判断．
【解答】解；命题p的逆否命题为“若x，y全为零，则x2+y2=0”是真命题，则原命题也是真命题；
若x2+2x﹣m=0有实根，则△=4+4m≥0即m≥﹣1，所以可以判定命题q为假命题；
则p真q假，则“p∨q”为真，“p∧q”为假，A正确，C错误；
p真，“￢p”为假，B错误；q为假则“￢q”为真；
故选：A．
5．已知双曲线方程为﹣=1，那么它的半焦距是（ ）
A．5 B．2.5 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题设条件求出c2，然后求出c，就能得到双曲线的半焦距．
【解答】解：c2=25，c=5，
∴双曲线的半焦距为5．
故选A．
6．已知定点A、B，且|AB|=2，动点P满足|PA|﹣|PB|=1，则点P的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线
【考点】双曲线的定义．
【分析】首先利用动点P满足|PA|﹣|PB|=1＜|AB|=2，进一步求出点P是以A、B为焦点，以x轴，y轴为对称轴的双曲线的右支．最后确定方程的结果．
【解答】解：动点P满足|PA|﹣|PB|=1＜|AB|=2，
所以：点P是以A、B为焦点，以x轴，y轴为对称轴的双曲线的右支．
所以设双曲线的方程为：
根据|PA|﹣|PB|=1=2a
解得：a=
|AB|=2=2c
解得：c=1
由于：a2+b2=c2
解得：
所以解得双曲线方程为：
故选：B
7．△ABC的两个顶点为A（﹣4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ）
A． =1（y≠0） B． =1（y≠0）
C． =1 （y≠0） D． =1 （y≠0）
【考点】轨迹方程．
【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【解答】解：∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，
∴AB=8，BC+AC=10，
∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，
∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
∴2a=10，2c=8，∴b=3，
∴椭圆的标准方程是=1（y≠0）．
故选：A．
8．已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（ ）
A．10 B．20 C．2 D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据：∵椭圆+=1，得出a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．
【解答】解：∵椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，
∴a=
∴|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|
=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．
故选：D
9．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．2
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由于椭圆的短轴长等于焦距，即b=c，故a== c，从而得到 的值．
【解答】解：由于椭圆的短轴长等于焦距，
即b=c，
∴a== c，
∴=，
故选B．
10．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．
【解答】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为．
故选D．
11．“m＞0，n＞0”是“方程mx2+ny2=1”表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据椭圆的标准方程形式确定m，n的关系，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：m＞0，n＞0，m=n时，方程mx2+ny2=1”表示圆，不是充分条件，
方程mx2+ny2=1”表示椭圆，则m＞0，n＞0，是必要条件，
故选：B．
12．设F1和F2为双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积
【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）
根据双曲线性质可知x﹣y=4，
∵∠F1PF2=90°，
∴x2+y2=20
∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4
∴xy=2
∴△F1PF2的面积为xy=1
故选A
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）
13．已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知c=2， =3⇒b2=3a⇒a2﹣4=3a⇒a=4，由此可以求出该椭圆的离心率．
【解答】解：∵AB=4，BC=3，A、B为焦点，
∴c=2， =3，
∴b2=3a，
∴a2﹣4=3a
∴a=4，
∴e=．
故答案：．
14．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣，0），（，0）．渐近线方程为y=±x，即x﹣2y=0，
所以焦点到其渐近线的距离d==．
故答案为：．
15．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=3，则|PF2|的值为 7 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．
【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，
∴可得，∴a=2．
∵|PF1|=3，
∴由双曲线的定义可得||PF2|﹣3|=4，∴|PF2|=7，
故答案为：7．
16．设F1、F2是椭圆3x2+4y2=48的左、右焦点，点P在椭圆上，满足sin∠PF1F2=，△PF1F2的面积为6，则|PF2|= 3 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】将椭圆方程化为标准方程，易得a=4，b=，然后根据三角形面积公式和椭圆的定义求解即可．
【解答】解：椭圆方程3x2+4y2=48可化为，
，
∴．
∴c=2
∴|F1F2|=4
∵△PF1F2的面积为6，
∴，
又∵，
∴|PF1|=5，
根据椭圆定义易知，
|PF2|=3．
故答案为：3．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共56分）
17．求与椭圆共焦点，且过点（﹣2，）的双曲线的标准方程．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为﹣=1（a＞0），代入点的坐标，即可求得结论
【解答】解：∵椭圆的焦点为F1（0，﹣3），F2（0，3），
∴所求双曲线的焦点为F1（0，﹣3），F2（0，3），
设双曲线方程为﹣=1（a＞0），
把（﹣2，）代入，得：﹣=1，
解得a2=5或a2=18（舍），
∴双曲线的标准方程为﹣=1．
18．求以椭圆3x2+13y2=39的焦点为焦点，以直线y=±为渐近线的双曲线方程．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设双曲线方程为﹣=1，根据直线y=±为渐近线求出a2，可得答案．
【解答】解：椭圆3x2+13y2=39可化为=1，其焦点坐标为（±，0），
∴设双曲线方程为﹣=1，
∵直线y=±为渐近线，
∴=，
∴=，
∴a2=8，
故双曲线方程为=1．
19．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：关于x的方程x2+2ax+a+2=0有解．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】先求出命题p，q同时为真命题的条件，然后利用补集思想求“p且q”为假命题的条件即可．
【解答】解：若p是真命题．则a≤x2，
∵x∈[1，2]，1≤x2≤4，
∴a≤1，即p：a≤1．
若q为真命题，则方程x2+2ax+a+2=0有实根，
∴△=4a2﹣4（a+2）≥0，
即a2﹣a﹣2≥0，
即q：a≥2或a≤﹣1．
若“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，
即，即a≤﹣1
∴“p且q”是真命题时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
20．已知P={x|a﹣4＜x＜a+4}，Q={x|x2﹣4x+3＜0}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】首先整理两个集合，解一元二次不等式，得到最简形式，根据x∈P是x∈Q的必要条件，得到两个集合之间的关系，从而得到不等式两个端点之间的关系，得到结果．
【解答】解：P={x|a﹣4＜x＜a+4}，Q={x|1＜x＜3}．
∵x∈P是x∈Q的必要条件
∴x∈Q⇒x∈P，即Q⊆P
∴⇒，解得﹣1≤a≤5．
21．已知椭圆的两焦点是F1（0，﹣1），F2（0，1），离心率e=
（1）求椭圆方程；
（2）若P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=1，求cos∠F1PF2．
【考点】椭圆的简单性质；余弦定理．
【分析】（1）由题意可求得c，a，b．从而可求得椭圆方程；
（2）由P在椭圆上，可得|PF1|+|PF2|=4，与已知条件联立可求得|PF1|与|PF2|，再利用余弦定理即可求得答案．
【解答】解：（1）依题意，c=1， =，
∴a=2，b=
∴椭圆方程为+=1；
（2）∵点P在椭圆上，
∴，
∴，
∴cos∠F1PF2==．
22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1，0）．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用离心率公式，由c=1，求得a，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）求出直线方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，解得交点A，B，再由两点的距离公式，即可得到弦长．
【解答】解：（1）由于右焦点为F（1，0），则c=1，
离心率为，则有e==，即有a=，
b2=a2﹣c2=2﹣1=1，
则椭圆的标准方程为： +y2=1；
（2）过点F且倾斜角为的直线为：y=x﹣1，
联立椭圆方程，消去y，得3x2﹣4x=0，
解得，x=0或，
则交点分别为A（0，﹣1），B（）．
则|AB|==．