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- 2021-06-08 发布
一、填空
1. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值是 ．
【答案】
2. 【南京市2017届高三年级学情调研】在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 .
【答案】1
【解析】
试题分析：由题意得
3. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是 ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得
4. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆相切，则的值是_____________．
【答案】
【解析】
试题分析: 因为,即,所以该双曲线的渐近线方程为,而圆的圆心为,半径,由题设,即,故,应填答案.
5. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上一点，点是的中点，是椭圆的中点，，则点到椭圆的左准线的距离为___________．
【答案】
二、解答
1. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为
（1） ① 求椭圆的标准方程；
② 若，求的值.
（2）直线与椭圆相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数的值.
第17题图
【答案】（1）①，②，（2）
（2）以AB为直径的圆经过坐标原点等价于，再联立直线方程与椭圆方程的方程组，结合韦达定理代入化简求实数的值.
试题解析：解：（1）① 由条件，可设椭圆的标准方程为，
可知， ····· 2分
又，
所以，
所以椭圆的标准方程为 ················· 4分
② 当时，有
····················· 6分
所以 ············· 8分
（2）设，由，得········ 10分
，············ 12分
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，则，
解得，此时，满足条件
因此······ 14分
2. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知椭圆：．
（1）椭圆的短轴端点分别为，（如图），直线，分别与椭圆交于，两点，其中点满足，且．
①证明直线与轴交点的位置与无关；
②若△面积是△面积的5倍，求的值；
（2）若圆：．，是过点的两条互相垂直的直线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点．求△面积取最大值时直线的方程．
【答案】（1）①详见解析，②（2）
【解析】
试题分析：（1）①以算代证，即求出与轴交点：根据直线与椭圆交点得，，因此，最后根据基本不等式或导数求最值
试题解析：解：（1）①因为，，，且，
∴直线的斜率为，直线的斜率为，
∴直线的方程为，直线的方程为，
由得，
∴，，∴，
由得，
∴，，∴；
据已知，，
∴直线的斜率，
∴直线的方程为，
令，得，∴与轴交点的位置与无关．
②，，，
，∴，∴，
∴，
∵，
∴整理方程得，即，
又有，∴，∴，∴为所求．
（2）因为直线，且都过点，所以设直线：，即，
直线：，即，
所以圆心到直线：，即的距离，
所以直线被圆所截的弦；
由得，
所以，所以，
所以，
当，即，解得时等号成立，
此时直线：．
3. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设.
（1）若点的坐标为，且的周长为8，求椭圆的方程；
（2）若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2），5]．
试题解析：（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a．
由题意，得4a＝8，解得a＝2． …………………… 2分
因为点P的坐标为 (1，)，所以，
解得b2＝3．
所以椭圆C的方程为． …………………… 5分
（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．设Q(x1，y1)．
因为P在椭圆上，所以，解得y0＝，即P(c，)． …………………… 7分
因为F1(－c，0)，所以＝(－2c，－)，＝(x1＋c，y1)．
由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，
解得x1＝－c，y1＝－，所以Q(－c，－)． …………………… 11分
因为点Q在椭圆上，所以()2e2＋＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，
因为λ＋1≠0，
所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝． …………………… 14分
因为e∈，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
所以λ的取值范围为，5]． …………………… 16分
方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．
因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)． …………………… 7分
因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝ (x＋c)．
由，得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)．设Q(x1，y1)，
则x1＋c＝－，即－c－x1＝． …………………… 11分
因为＝λ，
所以λ＝＝＝＝＝
． …………………… 14分
因为e∈，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
所以λ的取值范围为，5]． …………………… 16分
4. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分14分）
已知椭圆C: ，离心率为，左准线方程是，设O为原点，点A在椭
圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求ΔAOB面积取得最小值时，线段AB的长度；
【答案】(1) (2)
则,根据最值时k的值，确定A，B坐标，根据两点间距离公式求线段AB的长度
试题解析：(1)设椭圆的半焦距为，则由题意的，解得
所以椭圆C的方程为.........4分
（2）由题意，直线OA的斜率存在，设直线OA的斜率为k，
若k＝0，则A(，0)或(－，0)，B(0，2)，此时ΔAOB面积为，AB＝．6分
若k≠0，则直线OA：y＝kx与椭圆联立得：
(1＋2)＝2，可得OA＝ 8分
直线OB：y＝x与y＝2联立得：B(－2k，2)，则OB＝2， 10分
SΔOAB＝OA×OB＝，令t＝>1， 12分
则SΔOAB＝，
所以SΔOAB的最小值为，在k＝0时取得，此时AB＝． ..........14分
(注：若利用SΔOAB＝，忽略k≠0的条件，求出答案的，本问给2分)
5. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分16分）
已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的左焦点，为左准线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，当
最小时，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)或.
（1）依条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分
所以椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）设，因为，故直线的方程为：，
，
所以，，
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
令，则，
可以证明当时为减函数，当时为增函数，
所以当时最小，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
所以当最小时，即或-1，
此时点的坐标为或者．．．．．．．．．．．．．16分
6. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】在平面直角坐标系中，已知点是动点，且的三边所在直线的斜率满足
．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若是轨迹上异于点的一点，且，直线与交与点，请问，是否存在点
使得和的面积满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，.
（1）设点为所求轨迹上的任意一点，则由，得，．．．．2分
整理得轨迹的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）设，由，可知直线，则，
故，即，
直线方程为：．①
直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
即，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
联立①②，得，∴ 点的横坐标为定值．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由得，因为，所以，
由，得，所以的坐标为．
所以，存在点满足，点的坐标为．．．．．．．．．．．．．．10分