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- 2021-06-08 发布
2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）12月月考数学试卷（承智班）
一、选择题
1．设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（ ）
A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}
2．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） C．[﹣2，] D．[﹣4，]
3．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
4．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|=，且，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
6．已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．（0，2] C．[﹣2，0）∪{2} D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
8．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（ ）
A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣1
9．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（3﹣x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
10．已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[3﹣，2） B． C． D．
11．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣19
12．公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3…，…构成等比数列{akn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．28
二、填空题
13．关于下列命题
①函数y=tanx在第一象限是增函数；
②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；
③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；
④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；
写出所有正确的命题的题号： ．
14．已知方程+=﹣1表示椭圆，求k的取值范围． ．
15．已知函数f（x）=，则f（f（8））= ．
16．计算：（﹣lg4）÷的值为 ．
三、解答题
17．已知点H（﹣6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ上，且满足﹣2=，
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E（x0，0），设线段AB的中点为D，且2|DE|=|AB|，求x0的值．
18．（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．
19．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．
（1）求AC的长度；
（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．
20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=x2﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．
2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）12月月考数学试卷（承智班）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（ ）
A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}
【考点】补集及其运算．
【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁UA．
【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，
则∁UA={2}，
故选：B．
2．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） C．[﹣2，] D．[﹣4，]
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，然后利用Z=的几何意义求解z的范围．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域OBC．
因为，
所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，﹣2）两点直线的斜率．
所以由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，
经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．
由题意知C（4，0），所以kOP=﹣2，，
所以的取值范围为或z≤﹣2，
即（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．
故选B．
3．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（2，2），
代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．
即目标函数z=2x+y的最大值为6，
故选：C．
4．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则由条件求得a 和d的值，可得最少的一份为a﹣2d的值．
【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），
则有（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=120，∴a=24．
由a+a+d+a+2d=7（a﹣2d+a﹣d），
得3a+3d=7（2a﹣3d）；
∴24d=11a，∴d=11．
∴最少的一份为a﹣2d=24﹣22=2，
故选：C．
5．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|=，且，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．
【解答】解：∵||=||=||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，
∴O是三角形的外心，
根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，
∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，
∵，∴（）=0， =0，∴，
同理得到另外两个向量都与边垂直，
得到P是三角形的垂心，
故选C．
6．已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出，从而得出向量夹角的余弦值．
【解答】解：根据条件， =；
∴．
故选：C．
7．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．（0，2] C．[﹣2，0）∪{2} D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】令f（x）=x3﹣3x+m，则由题意可得函数f（x）在[0，2]只有一个零点，故有f（0）•f（2）≤0，并验证其结论，问题得以解决．
【解答】解：设f（x）=x3﹣3x+m，f′（x）=3x2﹣3=0，可得x=1或x=﹣1是函数的极值点，
故函数的减区间为[0，1]，增区间为（1，2]，
根据f（x）在区间[0，2]上只有一个解，
f（0）=m，f（1）=m﹣2，f（2）=2﹣m，
当f（1）=m﹣2=0时满足条件，即m=2，满足条件，
当f（0）f（2）≤0时，解得﹣2≤m≤0时，
当m=0时，方程x3﹣3x=0．解得x=0，x=1，不满足条件，
故要求的m的取值范围为[﹣2，0）∪{2}．
故选：C．
8．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（ ）
A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣1
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】对q分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：q=1时不满足条件，舍去．
q≠1时，∵S4=5S2，则=，
∴1﹣q4=5（1﹣q2），
∴（q2﹣1）（q2﹣4）=0，q≠1，
解得q=﹣1，或±2．
故选：D．
9．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（3﹣x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】由f（x）的解析式便知f（x）关于x=a对称，而由f（1+x）=f（3﹣x）知f（x）关于x=2对称，从而得出a=2，这样便可得出f（x）的单调递增区间为[2，+∞），而f（x）在[m，+∞）上单调递增，从而便得出m的最小值为2．
【解答】解：∵f（x）=2|x﹣a|；
∴f（x）关于x=a对称；
又f（1+x）=f（3﹣x）；
∴f（x）关于x=2对称；
∴a=2；
∴；
∴f（x）的单调递增区间为[2，+∞）；
又f（x）在[m，+∞）上单调递增；
∴实数m的最小值为2．
故选：C．
10．已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[3﹣，2） B． C． D．
【考点】分段函数的应用．
【分析】利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可．
【解答】解：函数是定义域上的单调增函数，
可得，
解得：a∈[3﹣，2）．
故选：A．
11．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣19
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】求导，用导研究函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=0，x=±1，
故函数f（x）=x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数
又f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=3．
故最大值、最小值分别为3，﹣17；
故选C．
12．公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3…，…构成等比数列{akn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．28
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1，a2，a6成等比数列可求得等比数列ak1，ak2，ak3…的公比q=4，从而可求得ak4，继而可求得k4．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1，a2，a6成等比数列，
∴a22=a1•a6，即（a1+d）2=a1•（a1+5d），
∴d=3a1．
∴a2=4a1，
∴等比数列ak1，ak2，ak3…的公比q=4，
∴ak4=a1•q3=a1•43=64a1．
又ak4=a1+（k4﹣1）•d=a1+（k4﹣1）•（3a1），
∴a1+（k4﹣1）•（3a1）=64a1，a1≠0，
∴3k4﹣2=64，
∴k4=22．
故选：B．
二、填空题
13．关于下列命题
①函数y=tanx在第一象限是增函数；
②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；
③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；
④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；
写出所有正确的命题的题号： ①③ ．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】①由正切函数的图象可知命题正确；
②化简可得f（x）=sin2x，由f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），可知命题不正确；
③代入有0=4sin（2×﹣），可得命题正确；
④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，比较即可得命题不正确．
【解答】解：①由正切函数的图象可知函数y=tanx在第一象限是增函数，命题正确；
②f（x）=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x，f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），故命题不正确；
③∵0=4sin（2×﹣），∴命题正确；
④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，故命题不正确．
综上，所有正确的命题的题号：①③，
故答案为：①③
14．已知方程+=﹣1表示椭圆，求k的取值范围． （﹣∞，﹣3） ．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由分母大于0且不相等求得k的取值范围．
【解答】解：由+=﹣1，得，
∵方程+=﹣1表示椭圆，
∴，解得k＜﹣3．
∴k的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）．
15．已知函数f（x）=，则f（f（8））= ﹣4 ．
【考点】函数的值．
【分析】先求f（8），再代入求f（f（8））．
【解答】解：f（8）=﹣log28=﹣3，
f（f（8））=f（﹣3）=4﹣23=﹣4，
故答案为：﹣4．
16．计算：（﹣lg4）÷的值为 ﹣20 ．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：：（﹣lg4）÷
=lg（）÷
=lg
=﹣2×10
=﹣20．
故答案为：﹣20．
三、解答题
17．已知点H（﹣6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ上，且满足﹣2=，
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E（x0，0），设线段AB的中点为D，且2|DE|=|AB|，求x0的值．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），求得、、、的坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，向量共线的坐标表示，运用代入法，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，解方程即可得到所求值．
【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），
则，，，
，
由⊥，得6a﹣b2=0．
由﹣2=0，得，
则由6a﹣b2=0得y2=x，
故点M的轨迹C的方程为y2=x（x＞0）；
（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得k2x2+（2k2﹣1）x+k2=0（k≠0），
由△=（2k2﹣1）2﹣4k4=1﹣4k2＞0，解得﹣＜k＜，
∴，
∴，
∴，
，
令y=0，解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
故有，
则，化简得，此时．
18．（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．
【分析】（1）直接根据条件得到b=2，a=4，即可求出结论；
（2）直接根据渐近线方程设出双曲线方程，再结合经过点（2，）即可求出结论．
【解答】解：（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：
（2）设双曲线方程为：x2﹣4y2=λ，
∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22﹣4×22=﹣12，
故双曲线方程为：．
19．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．
（1）求AC的长度；
（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）利用正弦定理，求AC的长度．
（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．
【解答】解：（1）由已知由正弦定理，得，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12cm，所以AC==24m．
（2）因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ，
在△ADC中，由正弦定理得到，
所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16sin（60°+θ），
因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值 16m．
20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=x2﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）由图象过点P（0，2）求出d的值，再代入求出导数，再由切线方程求出f（﹣1）、f′（﹣1），分别代入求出b和c的值；
（2）将条件转化为=a有三个根，再转化为的图象与y=a图象有三个交点，再求出h（x）的导数、临界点、单调区间和极值，再求出a的范围即可．
【解答】解：（1）由f（x）的图象经过点P（0，2），得d=2．
∴f′（x）=3x2+2bx+c，
由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，
∴﹣6﹣f（﹣1）+7=0，得f（﹣1）=1，且f′（﹣1）=6．
∴，即，解得b=c=﹣3．
故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
（2）∵函数g（x）与f（x）的图象有三个交点，
∴方程x3﹣3x2﹣3x+2=x2﹣9x+a+2有三个根，
即=a有三个根，
令，则h（x）的图象与y=a图象有三个交点．
接下来求h（x）的极大值与极小值，
∴h′（x）=3x2﹣9x+6，令h′（x）=0，解得x=1或2，
当x＜1或x＞2时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0，
∴h（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；减区间是（1，2），
∴h（x）的极大值为h（1）=，h（x）的极小值为h（2）=2
因此2＜a＜．