2019届二轮复习（理）第十一章计数原理与概率分布第72讲课件（36张）（全国通用） 36页

第 72 讲　随机变量的均值与方差 考试要求　 1. 离散型随机变量的均值与方差 (B 级要求 ) ； 2. 高考中对本讲的考查将以实际问题为背景，结合常见的概率问题，考查离散型随机变量的分布列的求法，期望与方差的求法，多以解答题形式出现，一般中等难度 . 要加强常见概率模型的理解与识别 . 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定 .( 　　 ) (2) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 .( 　　 ) (3) 若随机变量 X 的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大 .( 　　 ) (4) 均值是算术平均数概念的推广，与概率无关 .( 　　 ) 答案　 (1)√ 　 (2)√ 　 (3)× 　 (4)× 诊 断 自 测 2.( 教材改编 ) 某射手射击所得环数 ξ 的概率分布如下： 已知 ξ 的均值 E ( ξ ) ＝ 8.9 ，则 y 的值为 ________. 解析　 ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 可得 y ＝ 0.4. 答案 　 0.4 3. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 V ( x ) ＝ ________. 解析 　有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中 p ＝ 0.02 ， n ＝ 100 ，则 V ( x ) ＝ np (1 － p ) ＝ 100 × 0.02 × 0.98 ＝ 1.96. 答案 　 1.96 4. 已知随机变量 X ＋ η ＝ 8 ，若 X ～ B (10 ， 0.6) ，则随机变量 η 的均值 E ( η ) 及方差 V ( η ) 分别是 ________. 解析　 设随机变量 X 的均值及方差分别为 E ( X ) ， V ( X ) ， 因为 X ～ B (10 ， 0.6) ，所以 E ( X ) ＝ 10 × 0.6 ＝ 6 ， V ( X ) ＝ 10 × 0.6 × (1 － 0.6) ＝ 2.4 ， 故 E ( η ) ＝ E (8 － X ) ＝ 8 － E ( X ) ＝ 2 ， V ( η ) ＝ V (8 － X ) ＝ V ( X ) ＝ 2.4. 答案 　 2 和 2.4 5. ( 教材改编 ) 抛掷两枚骰子，当至少一枚 5 点或一枚 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 10 次试验中成功次数的均值为 ________. 1. 离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为 知 识 梳 理 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n (1) 均值 称 E ( X ) ＝ ______________________________ 为 随机变量 X 的均值 或 __________ . 它反映了离散型随机变量取值 的 ________ . x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x i p i ＋ … ＋ x n p n 数学期望 平均水平 ( x 1 － μ ) 2 p 1 ＋ ( x 2 － μ ) 2 p 2 ＋ … ＋ ( x n － μ ) 2 p n 平均偏离程度 标准差 2. 均值与方差的性质 (1) E ( aX ＋ b ) ＝ __________ . (2) V ( aX ＋ b ) ＝ _______ .( a ， b 为常数 ) 3. 两点分布与二项分布的均值、方差 (1) 若随机变量 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ ___ ， V ( X ) ＝ _________ . (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ ____ ， V ( X ) ＝ ___ __ __ . aE ( X ) ＋ b a 2 V ( X ) p p (1 － p ) np np (1 － p ) 考点一　离散型随机变量的均值、方差 (1) 设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2) 若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 . 解 　 (1) 随机变量 X 的所有可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， (2) 设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P ( Y ＋ Z ＝ 1) ＝ P ( Y ＝ 0 ， Z ＝ 1) ＋ P ( Y ＝ 1 ， Z ＝ 0) ＝ P ( Y ＝ 0) P ( Z ＝ 1) ＋ P ( Y ＝ 1) P ( Z ＝ 0) 【例 1 － 2 】 ( 2018· 扬州模拟 ) 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分 . (2) 由题意知 η 的概率分布为 规律方法 　离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1) 求离散型随机变量的均值与方差 . 可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解 . (2) 由已知均值或方差求参数值 . 可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程 ( 组 ) ，解方程 ( 组 ) 即可求出参数值 . (3) 由已知条件，作出对两种方案的判断 . 可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断 . 【训练 1 】 某市 A ， B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生， B 中学推荐了 3 名男生、 4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训 . 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队 . (1) 求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； (2) 某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的概率分布和均值 . 所以 X 的概率分布为 X 1 2 3 P 考点二　与二项分布有关的均值与方差 解　 (1) 设 “ 至少有一个系统不发生故障 ” 为事件 C ，那么 所以随机变量 ξ 的概率分布为 故随机变量 ξ 的均值 规律方法　 解决与二项分布有关的均值、方差问题关键有二点：一是准确把握概率模型，确认要解决的问题是否属于二项分布问题 . 二是正确套用概率公式 . (1) 求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率； (2) 设 ξ 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求 ξ 的概率分布和均值 E ( ξ ). 解　 (1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况： 甲进 1 球，乙进 0 球；甲进 2 球，乙进 1 球；甲进 3 球，乙进 2 球 . (2) ξ 的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 所以 ξ 的概率分布为 考点三　均值与方差在决策中的应用 【例 3 】 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 . 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . (1) 求 X 的分布列； (2) 若要求 P ( X ≤ n ) ≥ 0.5 ，确定 n 的最小值； (3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n ＝ 19 与 n ＝ 20 之中选其一，应选用哪个？ 解 　 (1) 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8 ， 9 ， 10 ， 11 的概率分别为 0.2 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.2 ，从而 P ( X ＝ 16) ＝ 0.2×0.2 ＝ 0.04 ； P ( X ＝ 17) ＝ 2×0.2×0.4 ＝ 0.16 ； P ( X ＝ 18) ＝ 2×0.2×0.2 ＋ 0.4×0.4 ＝ 0.24 ； P ( X ＝ 19) ＝ 2×0.2×0.2 ＋ 2×0.4×0.2 ＝ 0.24 ； P ( X ＝ 20) ＝ 2×0.2×0.4 ＋ 0.2×0.2 ＝ 0.2 ； P ( X ＝ 21) ＝ 2×0.2×0.2 ＝ 0.08 ； P ( X ＝ 22) ＝ 0.2×0.2 ＝ 0.04 ， 所以 X 的概率分布为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2) 由 (1) 知 P ( X ≤ 18) ＝ 0.44 ， P ( X ≤ 19) ＝ 0.68 ，故 n 的最小值为 19. (3) 记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用 ( 单位：元 ). 当 n ＝ 19 时， E ( Y ) ＝ 19×200×0.68 ＋ (19×200 ＋ 500)×0.2 ＋ (19×200 ＋ 2×500)×0.08 ＋ (19×200 ＋ 3×500)×0.04 ＝ 4 040. 当 n ＝ 20 时， E ( Y ) ＝ 20×200×0.88 ＋ (20×200 ＋ 500)×0.08 ＋ (20×200 ＋ 2×500)×0.04 ＝ 4 080. 可知当 n ＝ 19 时所需费用的均值小于 n ＝ 20 时所需费用的均值，故应选 n ＝ 19. 规律方法　 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 . 一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 . 【训练 3 】 某投资公司在 2016 年年初准备将 1 000 万元投资到 “ 低碳 ” 项目上，现有两个项目供选择： 解　 若按 “ 项目一 ” 投资，设获利为 X 1 万元，则 X 1 的概率分布为 若按 “ 项目二 ” 投资，设获利为 X 2 万元，则 X 2 的概率分布为 ∴ E ( X 1 ) ＝ E ( X 2 ) ， V ( X 1 )< V ( X 2 ) ， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 . 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 .