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- 2021-06-08 发布
2019 年长沙四校高考模拟卷（一）
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知复数 z 满足(1 i) i ( )Rz a a ，且复数 z 的实部和虚部互为相反数，则实数 a 的值为（ ）
A．0 B．1 C． 1 D．2
1．答案：A
解析：设 i ( )Rz b b b ，则(1 i) (1 i)( i) 2 i iz b b b a ，所以 10, 2a b ．
2．如图，已知集合 2 1 1{ | 1 0}, 14 2
≤ ≤
x
A x x B x
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．[0,1) B．( 1,0] C．( 1,0) D．[1,2]
A B
2．答案：C
解析：
2 0
2 1 1 1 1 1{ | 1 0} ( 1,1), 1 [0,2]4 2 2 2 2
≤ ≤ ≤ ≤
x x
A x x B x x
，
所以 [0,1)A B ，图中阴影部分表示 A B 在 A 中的补集，即( 1,0) ．
3．小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近 11 周的跑步里程（单位：km）的数据，绘制
了下面的折线图．
根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A．剔除第 8 周数据，跑步里程逐周增加
B．周跑步里程的极差为 20km
C．周跑步里程的平均数低于第 7 周对应的里程数
D．周跑步里程的中位数为第 6 周对应的里程数
3．答案：C
解析：剔除第 8 周数据，周跑步里程逐周有增有减，A 错；周跑步里程的极差比 20 km 小，B 错；
周跑步里程的中位数为第 5 周对应的里程数，D 错；
第 7 周对应的里程数为 15 km，观察数据，知周跑步里程的平均数比 15km 小，C 正确．
4．已知函数
2log 1 , 0 4
( )
, 42
≤x x
f x x x
，则使不等式 1( ) 4f x f
成立的 x 的取值范围是（ ）
A． 10, 4
B． 1 ,364
C． 1 ,164
D． 1 , 44
4．答案：B
解析： 2
1 1log 1 34 4f
，当 32
x 时， 36x ．又 ( )f x 在 (0, 2) 上是减函数，在(2, ) 上是增
函数，所以使 1( ) 4f x f
成立的 x 的取值范围是 1 ,364
．
4
3
2
1
1
2 4 6 8 10 12O
5．如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．14 2 2 2 5
B．16 2 2 2 5
C．14 4 2
D．16 2 5
5．答案：A
解析：由三视图可知该几何体由一个长方体和一个三棱锥组合而成，其表面积为
1 1 12 2 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 5 14 2 2 2 52 2 2 ．
6．已知曲线 1 2: 2 2 sin cos , : sin 2 cos 2C y x x C y x x ，则下面结论正确的是（ ）
A．把曲线 1C 向右平移
8
个单位长度，得到曲线 2C
B．把曲线 1C 向左平移
4
个单位长度，得到曲线 2C
C．把曲线 2C 向左平移
4
个单位长度，得到曲线 1C
D．把曲线 2C 向右平移
8
个单位长度，得到曲线 1C
6．答案：D
解析：曲线 1 : 2 2 sin cos 2 sin 2C y x x x ，
曲线 2 : sin 2 cos 2 2 sin 2 2 sin 24 8C y x x x x
，所以把曲线 2C 向右平移
8
个单位长
度，得到曲线 1C （或把曲线 1C 向左平移
8
个单位长度，得到曲线 2C ）
7．某校高三年级为了解学情和教情，在该年级 6 个班中选 10 名学生参加座谈会，要求每班至少派 1 名学
生参加，其中高三（1）班至少派 2 名学生参加，则不同的选派方式有（ ）
A．72 种 B．60 种 C．50 种 D．56 种
7．答案：D
解析：首先需满足高三（1）班选 2 名学生，其余班级各选 1 名学生，然后只需分配剩下的 3 个名额，这 3
个名额可以分到一个班，有 1
6C 种分法，也可以分到两个班，其中一个班 1 名，1 个班 2 名，有 2
6A 种方法，
还可以分到三个班，每班 1 名，有 3
6C 种分法．因此不同的选派方式有 1 2 3
6 6 6 56C A C （种）．
解法二：隔板法：十个名额，排成一列，产生 9 个空隙，为保证高三（1）班至少有 2 名学生参加，第一
个空隙不能插入隔板，在剩余的 8 个空隙中插入 5 块隔板，分成 6 组，共有 5
8 56C 种方法．
8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．2 B． 1 C． 1
2 D． 2
8．答案：B
解析： 1n 时， 1 1(2) 1 2 2a f ； 2n 时， 1 1 2 12a f
； 3n 时， ( 1) 1 1 2a f ；
4n 时， 1 1(2) 1 2 2a f ．……，则 a 的取值呈周期为 3 的方式出现，由循环语句，知当 8n 时，
1a ，当 9n 时跳出循环，执行输出，此时 1a ．
9．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，平面 过点 A ，且 1AC ， 平面 1ABCD l ，平面 过点 1A ，
且 1AC ， 平面 1 1 2AA D D l ，则直线 1 2,l l 所成角的余弦值为（ ）
A． 3
3 B． 2
2 C． 3
2 D． 1
2
9．答案：D
解析：如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，易得 1AC 平面 1A BD ，因为 1AC ，所以平面 1 //A BD ，
又 平面 1ABCD l ，平面 1A BD 平面 ABCD BD ，所以 1 //l BD ，
易得 1AC 平面 1 1AB D ，因为 1AC ，所以平面 1 1 //AB D ，又 平面 1 1 2AA D D l ，平面 1 1AB D
平面 1 1 1AA D D AD ，所以 2 1//l AD ，
所以 1l 与 2l 所成的角就是 BD 与 1AD 所成的角，又 1 1//AD BC ，所以 1DBC 就是 1l 与 2l 所成的角．
因为 1DBC△ 是正三角形，所以 1 1
160 , cos 2DBC DBC ，故选 D．
开始
2a
1( ) 1 , 1f x nx
n<9?
( )a f a
1n n
输出a
结束
是
否
A B
CD
D1
A1
B1
C1
10．已知点 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b 的左右焦点，在双曲线的右支上存在一点 P ，使
2 1 1 2, ,PF PF F F 成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．[2 5, ) B．[4, ) C．[4,2 5] D．[2 3, )
10．答案：A
解析：令 1 2,PF m PF n ，则由 2 1 1 2, ,PF PF F F 成等比数列，得 2
1 2m n F F ，又 2m n a ，
1 2 2F F c ，所以 2 2( 2 )m m a c ，即 2 2 4 0m mc ac ，则 24 16c ac ，且 2 4m c c ac ．
根据 0 ，得 4e ．由 m c a≥ ，得 2 2 24 , 4c ac a c ac a ≥ ≥ ， 2 4 1 0e e ≥ ，所以 2 5e ≥ ．
11．在等腰三角形 ABC 中， 2, 90AB ACB ，点 P 是 ABC△ 所在平面内一点，且满足 2
2BP ，
若 AP AB AC
，则 的最小值是（ ）
A．1 B． 1
4 C．2 D． 1
2
11．答案：D
解析：以C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则 ( 2,0), (0, 2)A B ，点 P 在以 (0, 2)B 为
圆心，半径为 2
2
的圆上，故可设 2 2cos , 2 sin2 2P
，由 AP AB AC
，
得 2 2cos 2, sin 2 ( 2, 2) ( 2,0) ( 2 2 , 2 )2 2
，
所以 22 2 cos 22 ， 1 1 31 cos ,2 2 2
，所以 的最小值是 1
2
．
B
AC
P
12．在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 ,A B 是锐角，且 sin sina A b B c ，则 ABC△
一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
12．答案：B
解析：由 sin sin sina A b B C 及正弦定理可得 2 2sin sin sinA B C ．
在 ABC△ 中，根 据 A B C ，得 ( )C A B ，所 以 sin sin( )C A B ，于 是 原 式 化 为
2 2sin sin sin cos cos sinA B A B A B ，即sin (sin cos ) sin (cos sin )A A B B A B ．（*）
若
2A B ，由 ,A B 是锐角，知 02 2A B ，所以sin sin cos2A B B
，
cos cos sin2A B B
，即sin cos 0, cos sin 0A B A B ，又sin 0, sin 0A B ，
所以（*）不成立．
若
2A B ，由 ,A B 是锐角，知0 2 2A B ，所以sin sin cos2A B B
，
cos cos sin2A B B
，即sin cos 0, cos sin 0A B A B ，又sin 0, sin 0A B ，
所以（*）不成立．
若
2A B ，则
2A B ，sin sin cos2A B B
， cos cos sin2A B B
，
所以（*）成立．此时 ( ) 2C A B ，所以 ABC△ 一定是直角三角形．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．已知随机变量 X 服从正态分布 2(2, )N ，若 ( 3) 0.8P X ，则 ( 1)≤P X ．
13．答案：0.2
解析： ( 1) ( 3) 1 ( 3) 1 0.8 0.2P X P X P X ≤ ≥ ．
14．过点 (1,0)F 作直线交抛物线 2 4y x 于 ,A B 两点，交直线 1x 于点C ，且 3
2AF BC
，则线段 AB
的长为 ．
14．答案：16
3
解析：如图，不妨设点 A 在 x 轴上方，显然点 (1,0)F 是抛物线 2 4y x 的焦点，直线 1x 是抛物线
2 4y x 的准线，过点 ,A B 作准线 1x 的垂线，垂足分别为 1 1,A B ，设准线 1x 交 x 轴于点 1F ，
则 1 2FF ．设 , ,AF m BF n BC t ，则 1 1,AA m BB n ，于是
3
2
2
m t
n t
n t
n t
m t m n
，解得
8
3
4
4
3
t
m
n
，
所以 16
3AB m n ．
解法二：如图，不妨设点 A 在 x 轴上方，显然点 (1,0)F 是抛物线 2 4y x 的焦点，直线 1x 是抛物线
2 4y x 的准线，过点 ,A B 作准线 1x 的垂线，垂足分别为 1 1,A B ，设 AFx ，
则 1
1 2
2 2 2, ,1 cos 1 cos cos cos cos
BBAF BB BF BC
，
由 3
2AF BC
，得 2
2 3 2
1 cos 2 cos cos
，整理得 22cos 5cos 3 0 ，
即 2
1 2 4 16(2cos 1)(cos 3) 0, cos , 60 , 32 sin 3
4
pAB ．
15．若实数 ,x y 满足约束条件
2 0
4 12 15 0
1 0
≤
≤
≥
x y
x y
x y
，则 2 24 2z x x y 的最小值是 ．
15．答案： 19
16
解析：作出可行域如图所示，其中 3 3,2 4A
， 2 2 2 24 2 ( 2) 2z x x y x y 的几何意义为可行
域内的点( , )x y 到点 (2,0)P 的距离的平方减去 2．过点 P 作直线 2 0x y 的垂线，垂足为 D ，
则 8 4,5 5D
，由于 3 8
2 5 ，所以点 8 4,5 5D
不在可行域内，故点 A 到点 P 的距离最小，
于是
2 2
min
3 3 192 22 4 16z
．
D
P
C
B
A
O
1 0x y
4 12 15 0x y
2 0x y
16．若定义域为 R 的奇函数 ( )f x 满足 (2 ) ( )f x f x ，且当0 1≤ ≤x 时， ( )f x x ，则函数
( ) ( )xg x e f x 在区间[ 1,5] 上的最小值为 ．
16．答案： 3e
解析：根据 ( )f x 为奇函数，且当 0 1x≤ ≤ 时， ( )f x x ，得 1 1x ≤ ≤ 时， ( )f x x ．
由 (2 ) ( )f x f x ，得 ( )f x 的图象关于直线 1x 对称，所以当1 3x ≤ 时， ( ) 2f x x ．
( )f x 既关于(0,0) 对称，又关于直线 1x 对称，所以是双对称函数，从而是周期函数，周期为 4，
所以当3 5x ≤ 时， 1 4 1x ≤ ，从而 ( ) ( 4) 4f x f x x ．
于是当 1 1x ≤ ≤ 时， ( ) , ( ) ( 1) , ( )x xg x xe g x x e g x 在[ 1,1] 上是增函数， 1 ( )g x ee ≤ ≤ ；
当1 3x ≤ 时， ( ) (2 ) , ( ) (1 ) , ( )x xg x x e g x x e g x 在(1,3] 上是减函数， 3 ( )e g x ≤ ≤e ．
当3 5x ≤ 时， ( ) ( 4) , ( ) ( 3) , ( )x xg x x e g x x e g x 在(3,5]上是增函数， 3 5( )e g x e ≤ ．
综上， ( )g x 在区间[ 1,5] 上的最小值为 3(3)g e ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知 nS 是等比数列{ }na 的前 n 项和， 3 3
1 3,2 2a S ．
（1）求数列{ }na 的公比；
（2）对于数列{ }nS 中任意连续的三项，按照某种顺序排列，是否成等差数列？
17．解析：（1）设等比数列{ }na 的公比为 ( 0)q q ，由 3
1
2a ，
得 3 3
1 22 2
1 1,2 2
a aa aq q q q ．………………………………………………………………………3 分
所以 2
3 1 2 3 2
1 1 1 31 , 2 1 0, (2 1)( 1) 02 2S a a a q q q qq q
，
解得 1q 或 1
2q ．……………………………………………………………………………………6 分
（2）当 1q 时， 1 1 2 1 2
1 1 1 1, , ( 1), ( 2), 22 2 2 2n n n n n na S n S n S n S S S ，
即 1 2, ,n n nS S S 成等差数列．
所以当 1q 时，数列{ }nS 中任意连续的三项 1 2, ,n n nS S S 成等差数列．…………………………8 分
当 1
2q 时， 1
12 1 2 4 12, 11 3 21 2
n
n
na S
，
同理
1 2
1 2
4 1 4 11 , 13 2 3 2
n n
n nS S
，…………………………………………10 分
所以
1
1
4 1 4 1 4 1 1 1 4 1 11 1 2 23 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
n n n n n
n nS S
2
2
4 1 4 1 12 2 2 23 2 3 2 2
n n
nS
．所以 2 12 n n nS S S ，即 2 1, ,n n nS S S 成等差数列，
所以当 1
2q 时，数列{ }nS 中任意连续三项 1 2, ,n n nS S S ，按照顺序 2 1, ,n n nS S S 排列，成等差数列．
18．（本小题满分 12 分）
一微商店对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期一个月的数据统计分析，并得到日销售量的频率分
布直方图如图所示（每组包含最小值，不包含最大值）．假设用频率分布直方图中所得的频率估计相应事
件发生的概率．
（1）求在连续 4 天的销售中，恰有连续 2 天的日销售量不低于 25 件的概率；
（2）若该微商店某天的销售量不低于 27 件，则上级商企当天会给该微商店送 100 元的礼金，设 X 表示该
微商店一年内得到礼金的次数，求 X 的数学期望以及一年内得到的礼金数（一年按 365 天计算）．
18．解析：（1）设事件 A：日销售量不低于 25 件，则 ( ) (0.04 0.02) 5 0.3P A ，………………2 分
设事件 B：在连续 4 天的销售中，恰有连续 2 天的日销售量不低于 25 件，
则 2 2( ) 3 0.3 0.7 0.1323P B ．………………………………………………………………………5 分
（2）设事件 C：日销售量不低于 27 件，
则 ( ) 0.04 (30 27) 0.02 5 0.12 0.1 0.22P C ．……………………………………7 分
因为 (365, 0.22)X B～ ，所以 ( ) 365 0.22 80.3E X ，……………………………………10 分
一年内得到的礼金数为80.3 100 8030 （元）．…………………………………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱锥 A BCD 中， BCD△ 是边长为 4 的正三角形，E 为 BC 的中点，平面 ADE 平面 BCD ，
二面角 A BC D 的余弦值为 7
7
，三棱锥 A BCD 的体积为 4 6 ．
（1）求证：平面 ADE 平面 ABC ；
（2）求二面角C AD B 的余弦值．
A
B
C
D
E
19．解析：（1）因为 BCD△ 是正三角形，BC 的中点为 E ，所以 BC DE ．又平面 ADE 平面 BCD ，
平面 ADE 平面 BCD DE ， BC 平面 BCD ，所以 BC 平面 ADE ，
又 BC 平面 ABC ，所以平面 ADE 平面 ABC ．……………………………………………………4 分
（2）由（1）知 ,BC AE BC DE ，所以 AED 是二面角 A BC D 的平面角，
即 7 42cos , sin , tan 67 7AED AED AED ．……………………………………………5 分
过点 A 作 AO DE 于点O ， BC 平面 ADE ， AO 平面 ADE ，所以 AO BC ，
又因为 DE BC E ，所以 AO 平面 BCD ，
23 4 4 34BCDS △ ， 1 1 4 3 4 63 3A BCD BCDV S AO AO △ ，所以 3 2AO ．
所以 3tan
AOEO AED
，又 2 3DE ，所以 3OD ，
解法一：以O 为坐标原点，OE 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 z 轴，过点O 与 BC 平行的直线为 y 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，则 ( 3, 2,0), ( 3, 2,0), ( 3,0,0), (0,0,3 2)B C D A ．
所以 ( 3,0,3 2), (2 3, 2,0), (2 3, 2,0)DA DC DB
．
设平面 ACD 的法向量为 ( , , )m a b c
，则 3 3 2 0
2 3 2 0
m DA a c
m DC a b
，可取 ( 6, 3 2, 1)m
，
设平面 ABD 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 3 3 2 0
2 3 2 0
n DA x z
n DB x y
，可取 ( 6,3 2, 1)n
……10 分
由图易知二面角C AD B 为锐二面角，设其大小为 ，
则 11cos 25
m n
m n
．故二面角C AD B 的余弦值为 11
25
．……………………………………12 分
A
B
C
D
E
O
x
y
z
A
B
D
E
O
F
C
解法二：易求得 21AE AD ， 5AB AC ，又 4BD CD ， AD 为公共边，
所以 ABD ACD△ ≌△ ．过点C 作CF AD 于 F ，连接 BF ，则 BF AD ，所以 BFC 是二面角
C AD B 的平面角．………………………………………………………………………………9 分
在 ACD△ 中，由余弦定理得 25 16 21 1cos 40 2ACD ，所以 60ACD ．
由 1 1sin 602 2AC CD AD CF ，得 1 3 15 4 212 2 2 CF ，得 10 7
7CF ，
所以 10 7
7BF ．…………………………………………………………………………………………10 分
在 BCF△ 中， 10 74, 7BC CF BF ，由余弦定理得
100 100 16 117 7cos 100 252 7
BFC
．
故二面角C AD B 的余弦值为 11
25
．……………………………………………………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
如图，已知点 (1,0)N ，点 ,E F 均在圆 2 2( 1) 16x y 上，且 0EF EN
，过点 N 作 MF 的平行线分
别交 ,ME EF 于点 ,P Q ．
（1）求点 P 的轨迹方程；
（2）设点 P 的轨迹为曲线C ，过点 M 作斜率为 1k 的直线 1l 交曲线C 于 ,A B 两点，过点 N 作斜率为 2k 的
直线 2l 交曲线C 于 ,G H 两点，且 1 2 1k k ，求证： 1 1
AB GH 是定值．
OM N
E
F
P
Q
x
y
20．解析：（1）由 //NP MF ，得 MFE NQE ．由 ME MF ，得 MFE MEQ ，
所以 NQE MEQ ，由 0EF EN
，知 90QEN ，所以 PNE PEN ，即 PN PE ，
所以 4PM PN PM PE ME ，且 2 4MN ，
所以点 P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的椭圆．…………………………………………………………………3 分
这里 2 4, 2 2a c ，所以 22, 1, 3a c b ，故点 P 的轨迹方程为
2 2
14 3
x y ．………………5 分
（2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由题意得直线 1 1: ( 1)l y k x ，代入 2 23 4 12 0x y ，得
2 2 2 2
1 1 1(4 3) 8 4 12 0k x k x k ，所以
2 2
1 1
1 2 1 22 2
1 1
8 4 12,4 3 4 3
k kx x x xk k
，……………………7 分
所以
2 2
12 2 2 1
1 1 2 1 2 1 2 2
1 1
12 1 12(1 )1 ( ) 4 1 4 3 4 3
k kAB k x x x x k k k
．
同理，
2
2
2
2
12(1 )
4 3
kGH k
．…………………………………………………………………………10 分
因为 1 2 1k k ，所以
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
1 2 1 2
4 3 4 3 (4 3)(1 ) (4 3)(1 )1 1 1
12(1 ) 12(1 ) 12 (1 )(1 )
k k k k k k
AB GH k k k k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
4 3 4 3 4 3 4 3 7 7 141 1 7
12 1 12 2 12
k k k k k k k k k k
k k k k k k
．为定值．……12 分
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) ln( 1) 2 ( )Rf x x a x x a ．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）若对任意的 1 0x ，都有 ( ) ( 2)f x a x ，求 a 的取值范围．
21．解析：（1）由题意知， ( )f x 的定义域是( 1, ) ，
22 2( ) 2 21 1
a x af x x x x
．……1 分
当 2a≥ 时， ( ) 0f x ≥ ，所以 ( )f x 在 ( 1, ) 上单调递增．…………………………………………2 分
当 2a 时，方程 22 2 0x a 的两根分别为 1 2 1 21 , 1 ,2 2
a ax x x x ，
若 0 2a ，则 1 12
a ，令 ( ) 0f x ，得 1 1 2
ax 或 1 2
ax ，
令 ( ) 0f x ，得 1 12 2
a ax ；……………………………………………………4 分
若 0a ≤ ，则 1 1 12 2
a a ≤ ，
令 ( ) 0f x ，得 1 2
ax ，令 ( ) 0f x ，得 1 1 2
ax ．……………………………………5 分
综上，当 2a≥ 时， ( )f x 在( 1, ) 上单调递增；
当 0 2a 时， ( )f x 在 1, 1 , 1 ,2 2
a a
上单调递增，在 1 , 12 2
a a
上单调递减；
当 0a ≤ 时， ( )f x 在 1, 1 2
a
上单调递减，在 1 ,2
a
上单调递增．……………………6 分
（2）令 2( ) ( ) ( 2) ln( 1)g x f x a x x a x ax ，因为对任意的 1 0x ， ( ) ( 2)f x a x 恒成
立，所以对任意的 1 0x ， ( ) 0g x 恒成立．………………………………………………7 分
2 2 12 (2 ) 2 ( 1) 2( ) 2 1 1 1 1
ax xa x a x x x axg x x ax x x x
，…………………………8 分
当 2a≥ 时，2 0a ≤ ，又 1 0x ，所以(2 ) 0a x ≥ ，所以 ( ) 0, ( )g x g x 在 ( 1,0) 上是增函数，
( ) (0) 0g x g ，符合题意．………………………………………………………………………………9 分
当 0a ≤ 时，因为 1 0x ，所以 0, 2 ( 1) 0ax x x ≤ ，于是 2 ( 1)( ) 01
x x axg x x
，
( )g x 在 ( 1,0) 上是减函数， ( ) (0) 0g x g ，不符合题意．…………………………………………10 分
当 0 2a 时， 0 1 12
a ，令
2 1 2( ) 01
ax x
g x x
，得 1 0, ( )2
a x g x 在 1,02
a
上
是减函数，所以当 1 02
a x 时， ( ) (0) 0g x g ，不符合题意．…………………………11 分
综上， a 的取值范围是[2, ) ．………………………………………………………………………12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
3 1
2 2x t
y m t
（t 为参数）．以坐标原点为极点， x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 4sin 6
．
（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与圆C 相切，求 m 的值．
22．解析：（1）直线l 的普通方程为 2 3 0x y m ，………………………………2 分
由 4sin 6
，得 2cos 2 3 sin ，即 2 2 cos 2 3 sin ，
由 2 2 2 , cos , sinx y x y ，得 2 2 2 2 3x y x y ，
所以圆C 的直角坐标方程为 2 2( 1) ( 3) 4x y ．………………………………………………5 分
（2）因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线的距离
2 3 3
2
5
m
d
，所以 2 2 5m ，
所以 2 2 5m ，所以 m 的值为 2 2 5 ．……………………………………………………10 分
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知函数 ( ) 1f x ax ．
（1）当 1a 时，解不等式 ( ) 2 1≤f x x ；
（2）若 (1) , (2)≤ ≤f M f M ，求证： 1
3
≥M ．
23．解析：（1）当 1a 时，不等式 ( ) 2 1≤f x x 即 1 2 1x x ≤ ，
当 1x≥ 时， 1 2 1, 2x x x ≤ ≥ ，所以 1x≥ ；
当 1x 时，1 2 1, 0x x x ≤ ≥ ，所以0 1x ≤ ．
因此，所求不等式的解集为[0, ) ．………………………………………………………………5 分
（2）由 (1) , (2)≤ ≤f M f M ，得 1 , 1 2a M a M ≤ ≤ ，
3 3 2 1 1 2 2 2 1 2 (2 2 ) (1 2 ) 1M M M a a a a a a ≥ ≥ ，
当且仅当 1 , 1 2 , (2 2 )(1 2 ) 0M a M a a a ≤ ，即 2
3a 时，等号成立，故 1
3M ≥ ．（10 分）