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- 2021-06-08 发布
吉林省实验中学2019—2020学年度上学期高二年级
第一次月考数学（文）试卷
审题人：高二文科数学备课组
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标.
【详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，故选：C.
【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.
2.设命题，命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断出简单命题、的真假，然后利用复合命题真假性原则得出各选项中复合命题的真假.
【详解】由题意知，命题、均为真命题，则为真命题，、、均为假命题，故选：A.
【点睛】本题考查复合命题的真假，在判断复合命题的真假时，关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于基础题.
3.命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是（ ）
A. ∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0
B. ∃x∈Z，使x2+2x+m＞0
C. ∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0
D. 不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0
【答案】C
【解析】
试题分析：将“存在”换为“∀”同时将结论“x2+2x+m≤0”换为“x2+2x+m＞0”．
解：命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是：
∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0，
故选：C．
考点：命题的否定．
4.已知双曲线，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线的性质，即可求出。
【详解】令，即有
双曲线的渐近线方程为，故选C。
【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。
5.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率,化简得,
故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
6.已知、分别为椭圆的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆C于A、B两点.若周长是，则该椭圆方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得，由于过的直线 交椭圆于、两点.周长是，即，由此可求出椭圆的标准方程。
【详解】、分别为椭圆的左、右焦点，
，
又过的直线 交椭圆于、两点.
周长为，
由椭圆的定义可知：，，
，解得; ,
,
椭圆的标准方程为，
故答案选A。
【点睛】本题主要考查椭圆定义的应用以及简单的性质，属于基础题。
7.已知下面四个命题：
①“若，则或”的逆否命题为“若且，则”
②“”是“”的充分不必要条件
③命题“若，则”的逆否命题为真命题
④若为假命题，则、均为假命题，其中真命题个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据逆否命题与原命题之间的关系可判断出命题①的真假；解出不等式，利用集合的包含关系可判断出命题②的真假；判断出原命题的真假，再由原命题与逆否命题的真假性一致可判断出命题③的真假；由复合命题的真假与简单命题的真假可判断出命题④的真假.
【详解】对于命题①，由原命题与逆否命题的关系可知，命题①为真命题；
对于命题②，解不等式，得或，所以，“”是“”的充分不必要条件，命题②为真命题；
对于命题③，命题“若，则”为真命题，其逆否命题也为真命题，则命题③为真命题；
对于命题④，若为假命题，则、中至少有一个是假命题，则命题④为假命题.
因此，真命题个数为，故选：C.
【点睛】本题考查逆否命题与原命题之间的关系、充分必要条件的判断以及复合命题的真假与简单命题真假之间的关系，考查逻辑推理能力，属于中等题.
8. ，使 ，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得，问题转化为的问题，设函数，利用该函数的单调性即可求出参数范围
【详解】由题意可知：，使，则.
由于函数是定义域内的单调递增函数，
故当时，函数取得最小值，
综上可得，实数的取值范围是.
本题选择B选项.
【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数的取值范围；
2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立；(2)恒成立.
9.已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由点在以线段为直径的圆上，可知，再由，可得 ，且是等腰直角三角形，结合，所以，可求出离心率。
【详解】因为点在以线段为 直径的圆上，所以，
又因为，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，
因为，所以，，
所以该椭圆的离心率．
【点睛】本题考查了椭圆和圆的性质，考查了离心率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。
10.如图，F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接，利用三角形边之间的关系得到，
，代入离心率公式得到答案.
详解】连接，依题意知：
，，
所以
.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到的关系式是解题的关键.
11.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，），当周长最小时，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
左焦点E（-3，0）,△APF周长最小⇔|PA|+|PF|最小⇔|PA|+|PE|+2最小⇔P在线段AE上．
【详解】如图：
由双曲线C的方程可知：a2=1，b2=8，∴c2=a2+b2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E（-3，0），右焦点F（3，0），
∵|AF|=，所以当三角形APF的周长最小时，|PA|+|PF|最小．
由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，
又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A，P，E三点共线时，等号成立．
∴三角形APF的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．
此时，直线AE的方程为y=，将其代入到双曲线方程得：x2+9x+14=0，
解得x=-7（舍）或x=-2，
由x=-2得y=2（负值已舍）
故选：B．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质，双曲线的定义，属中档题．
12.已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A. (0，－1) B. C. D. (－1,1)
【答案】D
【解析】
【分析】
利用联想到正弦定理，结合椭圆定义找到的关系式，从而求得离心率的范围.
【详解】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.
因为为椭圆上一点，所以，即，
整理得，所以，解得.故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，求解离心率的值时，一般是构建的等式；求解离心率的范围时，一般是构建的不等关系.
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13.“”是“”的______条件. （选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的判定方法，利用实数的运算性质，即可求解，得到答案.
【详解】当时，则不一定成立，如时无意义；
反之，当时，则一定成立．
所以“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，合理利用实数的运算性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14.已知双曲线上一点到左焦点的距离为，则点到右焦点的距离是__________________.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义得出求出，但需要满足.
【详解】由题意可知，，，且，由双曲线的定义得
，即，解得或，均满足，故答案为：或.
【点睛】本题考查双曲线的定义，解题还应注意双曲线上的点到焦点的距离应不小于，考查计算能力，属于基础题.
15.已知直线的普通方程为，点是曲线上的任意一点，则点到直线的距离的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作直线的平行线，使得平移后的直线与椭圆相切，然后将直线方程与椭圆方程联立，由得出的值，将点到直线的距离的最大值转化为直线与直线之间的距离.
【详解】作直线的平行线，使得该直线与椭圆相切，
联立，消去得，
，解得.
因此，点到直线的距离的最大值等于直线与直线之间的距离
，故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，可以利用平移直线与椭圆相切，转化为平行线之间的距离来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16.已知一族双曲线（，且），设直线与
在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，.记的面积为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设点坐标，表示出的面积，得到的通项，然后对其求前2019项的和.
【详解】设，
双曲线的渐近线为，互相垂直.
点在两条渐近线上的射影为，则
易知为直角三角形，
即为等差数列，其前2019项的和为
【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知实数，满足，实数，满足.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
设命题、中实数的取值集合分别为、，将题意转化为，由此可列出不等式解出实数的取值范围.
【详解】设命题、中实数的取值集合分别为、，则.
解不等式，得，得.
由于是必要不充分条件，则，所以，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用充分必要性求参数的取值范围，一般转化为两集合的包含关系，具体原则如下：
（1）若，则“”是“”的充分不必要条件；
（2）若，则“”是“”的必要不充分条件；
（3）若，则“”是“”的充分必要条件；
（4）若，则“”是“”的既不充分也不必要条件.
18.（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．
【答案】椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．
【解析】
【分析】
设出椭圆的标准方程，根据2a，2c所表示的几何意义求得a，c的值，再根据椭圆 ，求得b2的值，进而可得到椭圆的标准方程；
先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，结合双曲线，解方程可得a，b，进而可得双曲线的方程．
【详解】设椭圆标准方程为，则
焦距为4，长轴长为6，
，，，椭圆标准方程为；
双曲线双曲线的焦点为，
设双曲线的方程为，
可得，
将点代入双曲线方程可得，，
解得，，
即有所求双曲线的方程为：．
【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.
19.已知命题p:，不等式恒成立；：方程表示焦点在轴上的椭圆．
（1）若为假命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）或．（2）或
【解析】
【分析】
（1）由为假命题，则为真命题，转化为 恒成立，即可求解；
（2）分别求得命题都为真命题时实数的取值范围，在根据为真命题，为假命题，分类讨论，即可求解。
【详解】（1）若为假命题，则为真命题．若命题真，
即对 恒成立，则，所以
（2）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，或．
为真命题，且为假命题，、一真一假
①如果真假，则有，得；
②如果假真，则有，得．
综上实数的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中合理转化，以及正确求解命题为真命题时实数的取值范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题。
20.如图，轴，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，
（1）求点的轨迹方程.
（2）过点作直线与点的轨迹相交于、两点，使点被弦平分，求直线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设，,所以，,，，代入圆的方程得到轨迹方程，抠掉不满足题意的点即可；（2）设出直线的方程为，联立直线和椭圆，根据韦达定理列式即可.
【详解】（1）解析:设，则,,，
∵,所以
∵∴①
∵在圆上，∴，代入①得
,∴,
∴
（2）
由题意知直线的斜率存在，过点，
设直线的方程为，设，联立得，
∵点在椭圆内部，∴不论取何值，必定有.由韦达定理知
∵的中点是，∴，即，解得，
∴直线的方程为.
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21.双曲线（）.
（1）若的一条渐近线方程为，求的方程；
（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为9，求的值；
【答案】（1）；（2）3；
【解析】
【分析】
(1)根据双曲线的渐近线方程，得到，从而可求出双曲线的方程；
(2)根据双曲线定义先得到，再由△的面积为9，得到，根据，求出，即可得出结果；
【详解】(1)因为双曲线（）的一条渐近线方程为，
所以，因此，的方程为；
(2) 双曲线定义可得：，
又，△的面积为9，
所以，且，
所以，故，
所以，因此，；
【点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的简单性质，熟记性质即可，属于常考题型.
22.设椭圆：的左、右焦点分别为，.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，求内切圆面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据焦点坐标可得，结合可求方程；
（Ⅱ）内切圆面积的最大时，的面积最大，结合的面积目标式，求出最大值即可.
【详解】解：（Ⅰ）由已知椭圆的左、右焦点分别为，，∴
由，∴椭圆的标准方程为：.
（Ⅱ）令：，设，，
，∴，
由，即，∴，
则，，
设的内切圆半径为，
，
又，
∴，即：，
∵
，
令，则，得：，
令，知在上是单调递增函数，
∴，∴，，
，∴内切圆面积.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养.