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- 2021-06-08 发布
高三上学期期中考试数学（文）试卷
考题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息rn2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题（本题共12道小题，每小题0分，共0分）
1.
已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|logx4=2}，则A∪B=（ ）
A．{﹣2，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，2} D．{2}
2.
若复数z=（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣ 3或1 C．3或﹣1 D．1
3.
已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（ ）
A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1
4.
为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（ ）
A．8 B．400
C．96 D．96名学生的成绩
5.
下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|
6.
已知数列{an}的前n项和Sn=3n﹣1则其通项公式an=（ ）
A．3•2n﹣1 B．2×3n﹣1 C．2n D．3n
7.
如果不共线向量满足，那么向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8.
为了得到函数y=2sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=2sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
9.
A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
10.
若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
11.
函数y=2cos（x+）图象上的最高点与最低点的最短距离是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．2
12.
已知等差数列{an}的前项和为Sn，若=a1005O+a1006，且A、B、C三点共线（该直线不经过坐标原点O），则S2010=（ ）
A．1005 B．1010 C．2009 D．2010
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）
13.
某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为 ．
14.
函数，则f（f（1））= ．
15.
已知向量夹角为45°，且，则= ．
16.
曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是 ．
评卷人
得分
三、解答题（本题共6道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,共0分）
17.
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．
18.
设函数f（x）=（x﹣1）2+blnx，其中b为常数．
（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）b≤0时，求f（x）的极值点；
（3）求证：对任意不小于3的正整数n，不等式ln（n+1）﹣lnn＞都成立．
19.
设递增等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=1，a4是a3和a7的等比中项，
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列{an}的前n项和Sn．
20.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC，
（I）求角C的大小；
（II）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
21.
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当，求f（x）的值域．
22.
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，设bn=．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．
试卷答案
1.B
【考点】并集及其运算．
【分析】先将A，B化简，再计算并集，得出正确选项．
【解答】解：∵A={x|x2﹣3x+2=0}={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}={1，2}
B={x|logx4=2}={2}
∴A∪B={1，2}
故选B．
2.D
【考点】复数的基本概念．
【分析】由复数z=（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，知，由此能求出实数a．
【解答】解：∵复数z=（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，
∴，
解得a=1，
故选D．
3.C
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx＞1
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，
命题p：∀x∈R，sinx≤1，的否定是∃x∈R，使得sinx＞1
故选：C
4.C
【考点】简单随机抽样．
【分析】本题要求我们正确理解抽样过程中的几个概念，常见的有四个，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，每班12 名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量，选出答案．
【解答】解：在本题所叙述的问题中，
400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，
每班12 名学生的数学成绩是样本，
400是总体个数，
96是样本容量，
故选C．
5.B
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】根据常见基本函数的性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．
【解答】解：对于A，函数y=x3是定义域R上的奇函数，不合题意；
对于B，函数y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递增函数，满足题意；
对于C，函数y=﹣x2+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；
对于D，函数y=2﹣|x|是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；
故选：B．
6.B
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用n≥2时，an=sn﹣sn﹣1及，a1=s1=可求数列的通项公式
【解答】解：由于Sn=3n﹣1
∴n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）
=2•3n﹣1
当n=1时，a1=s1=2适合上式
∴
故选B
7.C
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】通过向量的数量积的计算，得到数量积为0，即可判断两个向量的夹角．
【解答】解：∵，
∴=4﹣=4﹣=0，
∴，故向量的夹角为，
故选C．
8.A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）的图象，
故选：A．
9.B
【考点】二倍角的正弦．
【分析】利用sinA+cosA=，两边平方可得，进而判断出A是钝角．
【解答】解：∵sinA+cosA=，两边平方可得：，
化为，
∵A∈（0，π），∴sinA＞0，cosA＜0．
∴A为钝角．
∴这个三角形是钝角三角形．
故选：B．
10.C
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
设z=x+y，
将最大值转化为y轴上的截距，
当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，
将m等价为斜率的倒数，
数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得
m=1，
故选C．
11.C
【考点】余弦函数的图象．
【分析】求出函数的最小正周期，结合余弦函数的图象特征，求得图象上的最高点与最低点的最短距离．
【解答】解：函数y=2cos（x+）的最小正周期为=6，
它的图象上的最高点与最低点的最短距离为=5，
故选：C．
12.A
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用向量共线定理可得：a1005+a1006=1，再利用等差数列的求和及其性质即可得出．
【解答】解：∵=a1005O+a1006，且A、B、C三点共线（该直线不经过坐标原点O），
∴a1005+a1006=1，
则S2010==1005（a1005+a1006）=1005，
故选：A．
13.20
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据分层抽样知在各层抽取的比例是：，把条件代入，再由抽取人数，求出在80～90分数段应抽取人数．
【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知，在80～90分数段应抽取人数为×50=20．
故答案为：20．
14.
【考点】对数的运算性质；函数的值．
【分析】由，知f（1）=2，故f（f（1））=f（2）=log42，由此能求出结果．
【解答】解：∵，
∴f（1）=21=2，
f（f（1））=f（2）=log42=．
故答案为：．
15. 3
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】由已知可得， =，代入|2|====可求
【解答】解：∵， =1
∴=
∴|2|====
解得
故答案为：3
16.x﹣y﹣2=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
【解答】解：y'=﹣2+3x2
y'|x=﹣1=1
而切点的坐标为（1，﹣1）
∴曲线y=x3﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0
故答案为：x﹣y﹣2=0
17.
【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．
（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．
（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0，化为．
∴．（t1t2=4＞0）．
根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．
18.
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）先由负数没有对数得到f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，根据b大于得到导函数大于0，所以函数在定义域内单调递增；
（2）令f（x）的导函数等于0，求出此时方程的解即可得到x的值，根据d小于等于0舍去不在定义域范围中的解，得到符合定义域的解，然后利用这个解把（0，+∞）分成两段，讨论导函数的正负得到函数f（x）的增减性，根据f（x）的增减性即可得到函数的唯一极小值为这个解；
（3）令b=﹣1＜0，代入f（x）的解析式中确定出f（x），并根据（2）把b的值代入求出的唯一极小值中求出值为，得到函数的递减区间为（0，），根据，利用函数为减函数即可得到函数值，化简得证．
【解答】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），．
当时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）令，
得，．
当b≤0时， ∉（0，+∞）（舍去），
而∈（0，+∞），
此时：f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点；
（3）由（2）可知当b=﹣1时，函数f（x）=（x﹣1）2﹣lnx，此时f（x）有惟一极小值点：，
且时，f'（x）＜0，f（x）在为减函数．
∵当n≥3时，，
∴恒有，即恒有．
∴当n≥3时，恒有成立．
19.
【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d（d＞0），由a3=1，a4是a3和a7的等比中项列方程组，然后求解等差数列的首项和公差，则通项公式可求；
（Ⅱ）直接代入等差数列的前n项和公式即可．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d（d＞0），
由a3=1得，a1+2d=1①，由a4是a3和a7的等比中项得，②，
整理②得，，因为d＞0，所以2a1+3d=0③，
联立①③得：a1=﹣3，d=2．
所以an=a1+（n﹣1）d=﹣3+2（n﹣1）=2n﹣5．
（Ⅱ）数列{an}的前n项和Sn===n2﹣4n．
20.
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．
【分析】（I）△ABC中，由csinA=acosC，由正弦定理可得tanC=1，从而求得C的值．
（II）由上可得B=﹣A，利用两角和的正弦公式把要求的式子化为2sin（A+），再根据＜A+＜，求得所求式子的最大值，以及最大值时角A，B的大小．
【解答】解：（I）△ABC中，∵csinA=acosC，由正弦定理可得 sinCsinA=sinAcosC，∴tanC=1，∴C=．
（II）由上可得B=﹣A，∴sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）．
∵0＜A＜，∴＜A+＜，
∴当 A+=时，所求的式子取得最大值为 2，此时，A=，B=．
21.
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．
【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．
（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．
【解答】解：（1）由最低点为得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，
即T=π，
由点在图象上的
故∴
又，∴
（2）∵，∴
当=，即时，f（x）取得最大值2；当
即时，f（x）取得最小值﹣1，
故f（x）的值域为[﹣1，2]
22.
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．
【分析】（1）通过an+1=2an+2n、bn=，计算、整理可得bn+1=1+bn，进而可得结论；
（2）通过（1）可知数列{bn}的通项公式，利用bn=计算可得结论；
（3）通过an=n•2n﹣1写出Sn、2Sn的表达式，利用错位相减法计算即得结论．
【解答】（1）证明：∵an+1=2an+2n，bn=，
∴bn+1===1+=1+bn，
即bn+1﹣bn=1，
∴数列{bn}是公差为1的等差数列；
（2）解：∵a1=1，
∴b1==a1=1，
∴bn=1+（n﹣1）=n，
∴an=2n﹣1•bn=n•2n﹣1；
（3）解：∵an=n•2n﹣1，
∴Sn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1，
2Sn=1•21+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
两式相减得：﹣Sn=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n
=﹣n•2n
=（1﹣n）•2n﹣1，
∴Sn=（n﹣1）•2n+1．