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- 2021-06-08 发布
专题25+平面向量的基本定理及其坐标表示
1.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
答案 A
2.在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于( )
A.(－2，7) B.(－6，21)
C.(2，－7) D.(6，－21)
解析 ＝－＝(－3，2)，
∵Q是AC的中点，
∴＝2＝(－6，4)，＝＋＝(－2，7)，
∵＝2，∴＝3＝(－6，21).
答案 B
3.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于( )
A. B. C.1 D.2
解析 ∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3，4)，
且(a＋λb)∥c，∴＝，
∴λ＝，故选B.
答案 B
4.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
答案 A
5.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析 如图，∵＝2，
∴＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋.
答案 C
6.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2 ，则( )
A.x＝，y＝ B.x＝，y＝
C.x＝，y＝ D.x＝，y＝
答案 A
7.已知a＝(，1)，若将向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为( )
A.(0，4) B.(2，－2)
C.(－2，2) D.(2，－2)
解析 ∵a＝(，1)，∴－2a＝(－2，－2)，易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°(如图).向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，在第四象限，与x轴正半轴的夹角β＝30°，∴b＝(2，－2)，故选B.
答案 B
8.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________.
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
9.已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________________.
答案 1
10.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
解析 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3).
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.
答案 4
11.已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及＝＋t，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
解 (1)∵＝(1，2)，＝(3，3)，
∴＝＋t＝(1＋3t，2＋3t).
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－；
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；
若点P在第三象限，则解得t<－.
(2)若四边形OABP为平行四边形，则＝，
∴∵该方程组无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形.
12.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
∴＝(2d－c)，＝(2c－d).
法二 设＝a，＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，
所以＝b，＝a，
因而⇒
即＝(2d－c)，＝(2c－d).
13.如图，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
解 如图所示，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种情况：①
ABCD；②
ADBC；③
ABDC.设D的坐标为(x，y)，
∴D点的坐标为(2，4)(如图中所示的D2).
③若是▱ABDC，则由＝，得
(0，2)－(1，0)＝(x，y)－(－1，－2)，
即(－1，2)＝(x＋1，y＋2).解得x＝－2，y＝0.
∴D点的坐标为(－2，0)(如图中所示的D3)，
∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2，4)或(－2，0).