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- 2021-06-08 发布
专题03 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.已知命题p：存在n∈N,2n>1 000，则非p为( )
A．任意n∈N,2n≤1 000 B．任意n∈N,2n>1 000
C．存在n∈N,2n≤1 000 D．存在n∈N,2n<1 000
解析 特称命题的否定是全称命题，即p：存在x∈M，p(x)，则非p：任意x∈M，非p(x)．
答案A
2． ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )．
A．0＜a≤1 B．a＜1
C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
解析 (筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.
答案 C
3．下列命题中的真命题是 ( )．
A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝
B．∀x∈(0，＋∞)， ex>x＋1
C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x
D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
4．已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．学+
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解析 因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q”是真命题，命题“p∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题，命题“綈p∨綈q”是假命题．
答案 D
5．已知命题p：∃x0∈R，mx＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
6．以下有关命题的说法错误的是( )
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B． “x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0
解析 A、B、D正确；当p∧q为假命题时，p、q中至少有一个为假命题，故C错误．
答案 C
7．命题“∀x∈R，()x>0”的否定是( )
A．∃x0∈R，()x0<0 B．∀x0∈R，()x≤0
C．∀x0∈R，()x<0 D．∃x0∈R，()x0≤0
答案 D
解析 全称命题“∀x∈R，()x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.
8．已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程是y＝－，命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图像关于x＝1对称，则下列命题是真命题的是( )
A．p∧q B． p∧(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 D
解析 抛物线y＝2x2，即x2＝y的准线方程是y＝－；当函数f(x＋1)为偶函数时，函数f(x＋1)的图像关于直线x＝0对称，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称(注：将函数f(x)的图像向左平移一个单位长度可得到函数f(x＋1)的图像)，因此命题p是假命题，q是真命题，p∧q，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)都是假命题，p∨q是真命题．
9．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lnx<1 D．∃x∈R，tanx＝2
答案 B
解析 因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.
11．若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p是________．
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
12．已知命题“∀x∈R，sinx－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]
解析 由题意，对∀x∈R，a≤sinx成立．由于对∀x∈R，－1≤sinx≤1，所以a≤－1.
13．若命题“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
答案 (－1，3)
解析 由“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－10，∴f(x)min＝f(1)＝.
∴a≤.即p：a≤.
命题q：Δ＝4a2－4 (－8－6a)≥0，∴a≥－2或a≤－4.
综上，a的取值范围为(－∞，－4]∪－2，]．
16．设命题p：c20.若p和q有且仅有一个成立，求实数c的取值范围．
17．已知p：“对任意的x∈2，4]，log2x－a≥0”，q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若p，q均为命题，而且“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
答案 a≤－2或a＝1
解析 p：a≤1，q：4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.因为p且q是真命题，所以a≤－2或a＝1.
18.写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)q: x∈R，x不是5x-12=0的根;
(2)r:有些素数是奇数;
(3)s: x0∈R，|x0|＞0.
解(1)q: x0∈R，x0是5x-12=0的根，真命题.
(2)r:每一个素数都不是奇数，假命题.
(3)s:x∈R，|x|≤0，假命题.
19．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
解 由命题p为真知，0，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p、q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0