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- 2021-06-07 发布
2018—2019学年度第二学期第二次调研考试
理科数学试题
考生注意：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案填写在括号中。每小题5分，共60分）
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 已知向量，，，则
A. B. C. 6 D. 8
3. 对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
4. 函数且的图象恒过点A，且点A在角的终边上，则
A. B. C. D.
5. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为
A. 1 B. C. D.
6. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则具有性质
A. 最大值为1，图象关于直线对称 B. 在上单调递减，为奇函数
C. 在上单调递增，为偶函数 D. 周期为，图象关于点对称
7. 已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
8. 若数列为等比数列，且，，则的结果可化为
B. C. D.
1. 已知函数的图象如下图所示下面四个图象中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
2. 已知函数，则
A.2018 B. 4036 C. 2019 D. 4038
3. 函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
A. B. C. D.
4. 设函数的定义域为D，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“H函数”，下列为“H函数”的是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
5. 已知向量，，且，若x，y均为正数，则的最小值是______ ．
6. 设，则不等式的解集为
7. 在平面四边形中，，，则的取值范围是
8. 已知函数若所有零点之和为1，则实数a的取值范围是______．
三、 解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1. (本小题满分10分）已知中，点D在线段OB上，且，延长BA到C，使设，．
用，表示向量，；
若向量与共线，求k的值．
2. (本小题满分12分）已知，．
若，解不等式；
若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
若，解不等式．
3. (本小题满分12分）已知函数 ．
求曲线在点处的切线方程；
当 时，求的单调区间．
1. (本小题满分12分）已知数列中，，Ⅰ求，；Ⅱ求证：是等比数列，并求的通项公式；Ⅲ数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
2. (本小题满分12分）已知，，设函数．
求函数的单调增区间；
设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求的取值范围．
3. (本小题满分12分）已知函数为常数．
求函数在的最小值；
设，是函数的两个零点，且，证明：．
2018—2019学年度第二学期第二次调研考试
理科数学试题答案
命题人：
考生注意：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案填写在括号中。每小题5分，共60分）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，；
．
故选：C．
2.已知向量，，，则
A. B. C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】由，，得，
由，所以，
所以，故选：A．
3.对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
解：不等式恒成立，
，又．
．故选A．
4.函数且的图象恒过点A，且点A在角的终边上，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：对于函数且，令，求得，，可得它的图象恒过，
则，则，
5.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为
A. 1 B. C. D.
【答案】B
解：点P是曲线上任意一点，当过点P的切线和直线平行时，
点P到直线的距离最小．直线的斜率等于1，令的导数，解得，或舍去，
故曲线上和直线平行的切线经过的切点坐标，点到直线的距离等于，故点P到直线的最小距离为，故选B．
6.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则具有性质
A. 最大值为1，图象关于直线对称B. 在上单调递减，为奇函数
C. 在上单调递增，为偶函数D. 周期为，图象关于点对称
【答案】B
由题意得，，
对于A，最大值为1正确，而，图象不关于直线对称，故A错误；
对于B，当时，，满足单调递减，显然也是奇函数，故B正确；
C显然错误；对于D，周期，，故图象不关于点对称，故选B．
7.已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意，函数，其导数函数
，
则有在R上恒成立，
则在R上为增函数；
又由，
则；故选：D．
8.若数列为等比数列，且，，则的结果可化为
A. B. C. D.
【答案】C
解： 等比数列中，
因为，，，
．故选C．
9.已知函数的图象如下图所示下面四个图象中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C解：由题意知，时， 0'/>，则在区间上是增函数，
时，，则在区间上是减函数，
时，，则在区间上是减函数，
时， 0'/>，则在区间上是增函数，
故选C．
10.已知函数，则
A. 2018 B. 4036 C. 2019 D. 4038
【答案】A
解：由题意可知，
令，
则，
两式相加得，，故选A．
11.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
A. B. C. D.
【答案】A
解：由函数在上单调递增，
则恒成立．
即：恒成立．
设，，
令，
所以．故选A．
12.设函数的定义域为D，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“H函数”，下列为“H函数”的是
A. B.
C. D.
【答案】B
解：由
，
由，
取，可得，y不存在，故A不为“H函数”；
由，且，
由于递增，且，；，，
即有任一个，可得唯一的y，使得，故B为“H函数”；
由可得，不成立，故C不为“H函数”；
由，若，
可取，可得y无解，故D不为“H函数”．故选B．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13已知向量，，且，若x，y均为正数，则的最小值是______ ．
【答案】8
解：向量，，且，
，
即；
又x，y均为正数，，
当且仅当，即时取“”；的最小值是8．
故答案为8．
14.设，则不等式的解集为
【答案】，
解：，则不等式，可得：，解得．
，解得．
则不等式的解集为：，．
15.在平面四边形中，，，则的取值范围是 .
解析: 如图所示，延长，交于，平移，当与重合于点时，最长，在中，，，，由正弦定理可得，解得=；平移，当与重合时，最短，此时在中，，，由正弦定理知 ，解得，所以的取值范围为.
16.已知函数若所有零点之和为1，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：当时，由，得到函数的一个零点是，
当时，，，故，
即此时函数的图象关于直线对称此时函数图象部分对称，
若去掉的限制，函数图象完全对称，此时函数若有零点，
则必然满足，故所有零点之和为1，满足题意；
又，当时，，即单调递减，当时， 0'/>，即单调递增，
故函数；
但要使得函数有零点必须满足条件且，这是为了保证函数有两个零点，且在段上的零点必须存在
即且，即且，从而解得a的范围是：
三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知中，点D在线段OB上，且，延长 BA到C，使设，．
用，表示向量，；
若向量与共线，求k的值．
【答案】解：为BC的中点，，
可得，
而
由，得，
与共线，设
即，
根据平面向量基本定理，得
解之得，．
18.已知，．
若，解不等式；
若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
若，解不等式．
【答案】解：当，不等式即，即，解得，或，
故不等式的解集为，或．
由题意可得恒成立，
当时，显然不满足条件，．
解得，故a的范围为．
若，不等式为，即．
，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式即，它的解集为；
当时，，不等式的解集为．
19.已知函数 ．
求曲线在点处的切线方程；
当 时，求的单调区间．
【答案】解：，
所以，，
因此曲线在点处的切线方程
，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以，
所以在单调递增．
20.已知数列中，，Ⅰ求，；Ⅱ求证：是等比数列，并求的通项公式；Ⅲ数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】解：分
由得
即分又
所以是以为首项，3为公比的等比数列分
所以即分
分
两式相减得，
分
若n为偶数，则
若n为奇数，则，分
21.已知，，设函数．
求函数的单调增区间；
设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求的取值范围．
【答案】解：，
令，则，，
所以函数的单调递增区间为，；
由题意知，
则当且仅当时取等号，
所以，，，
综上，的取值范围为．
22.已知函数为常数．
求函数在的最小值；
设，是函数的两个零点，且，证明：．
【答案】解：，的定义域为，且，
当时， 0'/>，所以在递增；
当时，，所以在递减，
且，，因，
函数在的最小值为．
由知，满足，且，，
，
由题意可知
又由可知在递减，
故，所以，，
则
令，，
则，
当时，是减函数，所以
因，
即，所以当时，，即
因为，，在上单调递增，
所以，
故．