- 187.03 KB
- 2021-06-07 发布
- 1 -
微专题 15 函数的单调区间
单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调
区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程
中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：
1、函数的单调性：设 的定义域为 ，区间 ，若对于 ，有
，则称 在 上单调递增， 称为单调递增区间。若对于
，有 ，则称 在 上单调递减， 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系
（1）函数 在 可导，那么 在 上单调递增
此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，
无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如： 的单调递增区间为
，而 ，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为
在 处的导数为 0，但是 位于单调区间内。
（2）函数 在 可导，则 在 上单调递减
（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由 的符
号能否推出 在 的单调性呢？如果 不是常值函数，那么便可由导数的符号对
应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础）
3、利用导数求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域
（2）求出 的导函数
（3）令 （或 ），求出 的解集，即为 的单调增（或减）区间
（4）列出表格
4、求单调区间的一些技巧
f x D I D 1 2 1 2, ,x x I x x
1 2f x f x f x I I
1 2 1 2, ,x x I x x 1 2f x f x f x I I
f x ,a b f x ,a b ', ( ) 0x a b f x ，
2f x x
0 +， ' 0 0f
3f x x 0x 0,0
f x ,a b f x ,a b ', ( ) 0x a b f x ，
', ( )x a b f x ，
f x ,a b f x
f x ' ( )f x
' ( ) 0f x 0 x f x
- 2 -
（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。
另一方面通过定义域对 取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求
解
（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式
（3）一般可令 ，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若 不存在常
值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）
（4）若 的解集为定义域，那么说明 是定义域上的增函数，若 的解
集为 ，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么 是定义域上的减函数
（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方
法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减等。
如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。
5、求单调区间的一些注意事项
（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例
如函数 的单调减区间为 ，若写成 就出错了（0 不在定义域内）
（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集 的符号。有
些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“ ”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。
并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以
为例，如果写成 ，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变
量，满足单调减的条件。由 性质可知，如果在 两个区间里各取一个，
是不满足单调减的性质的。
6、二阶导函数的作用：
①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于 而言，决定的是 的单调性。
当 时， 单调递增，意味着 随 的增大而增大，由于导数的几何意义为
切线斜率，故切线斜率 随 的增大而增大；同理，当 时， 单调递减，则切
线斜率 随 的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？
单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不
x
' ( ) 0f x f x
' ( ) 0f x f x ' ( ) 0f x
f x
1
1y x 0, , ,0 0,
1y x 0, ,0
1y x 0, , ,0
"f x 'f x
'' 0f x 'f x 'f x x
k x '' 0f x 'f x
k x
- 3 -
同，所以如果说 是决定函数单调性的，那么 在已知单调性的前提下，能够告诉
我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。
（1）当 ，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数
（2）当 ，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数
②代数意义：当通过 无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单
调性，再看能否利用条件判断符号。
二、典型例题：
例 1：下列函数中，在 上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
思路：本题只需分析各个函数在 上的单调性即可。A 选项 通过其图像可
知显然在 不单调；B 选项 ，当 时，
，所以 在 单调递增；C 选项
可得 在 单调递减，在 单调递增；D 选项 ，可
得 在 单调递增，在 单调递减。综上，B 符合条件
答案：B
例 2：函数 的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
思路：先分析 的定义域： ，再观察解析式可得
可视为函数 的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，
可分别分析两个函数的单调性，对于 而言， 对 是减函数。所以如要求得增区间，
则 中 对 也应为减函数。结合定义域可得 的单调增区间为
答案：D
'f x ''f x
" 0f x
" 0f x
'f x
0,
sin2f x x xf x xe 3f x x x lnf x x x
0, sin2f x x
0, ' 1x x xf x e xe x e 0,x
' 0f x f x 0, 2 3 33 1=3 3 3f x x x x
‘
f x 30, 3
3 ,3
' 1 11 xf x x x
f x 0,1 1,
2
1
2
log 4f x x
0, ,0 2, , 2
f x 2 4 0 , 2 2,x x
f x 2
1
2
log , 4y t t x
1
2
logy t y t
2 4t x t x f x , 2
- 4 -
例 3：求函数 的单调区间（2009 宁夏，21 题（1））
思路：第一步：先确定定义域， 定义域为 ，
第二步：求导：
,
第三步：令 ,即
第四步：处理恒正恒负的因式，可得
第五步：求解 ,列出表格
例 4：求函数 的单调区间
解：定义域
令导数 解得： （通过定义域大大化简解不等式的过程）
例 5：求函数 的单调区间
3 23 3 3 xf x x x x e
f x R
' 2 3 2( ) 3 6 3 3 3 3x xf x x x e x x x e
3 9 3 3x xx x e x x x e
' ( ) 0f x 3 3 0xx x x e
3 3 0x x x
3,0 3,x
x , 3 3,0 0,3 3,
' ( )f x
f x
ln ln 2f x x x x
0,2x
2
' 2 22 21 1 21 =2 2 2 2
x xx x x x xf x x x x x x x x x
0,2x 2 0, 2 0x x
' 0f x 2 0 2x x
x 0, 2 2,2
' ( )f x
f x
2ln xf x
x
- 5 -
解：
令 ，即解不等式 ，解得
的单调区间为
↘ ↗ ↘
例 6：求函数 的单调区间
思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析
解： ，当 时， 为减函数
当 时，
在 单调递增
综上所述： 在 单调递减，在 单调递增
小炼有话说：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去
掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。
（2）本题在 时，利用之前所学知识可直接判断出 单调递减，从而简化步骤。
导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为
简便
例 7：（1）若函数 在区间 单调递增，则 的
取值集合是__________
（2）若函数 的递增区间是 ，则 的取值集合
是___________
解：（1）思路： ，由 在 单调递增
1
22
'
3
2
1 12ln ln ln 4 ln12
2
x x x x x xxf x x x
' 0f x ln ln 4 0x x 40 ln 4 1x x e
f x
x 0,1 41,e 4 ,e
'f x
f x
( ) 1 lnf x x x
1 ln , 1
1 ln ,0 1
x x xf x x x x
0,1x 1 lnf x x x
1,x ' 1 11 xf x x x
1x ' 0f x
f x 1,
f x 0,1 1,
0,1x f x
1ln 1 0, 01
xf x ax x ax
1,+ a
1ln 1 0, 01
xf x ax x ax
1,+ a
2
'
2 2
2 2
1 1 1 1
a ax af x ax x ax x
f x 1,+
- 6 -
可得： ， 。
（2）思路： 的递增区间为 ，即 仅在 单调递增。
令 ，若 ，则 单调递增区间为
不符题意，若 ，则 时， 。所以
答案：（1） ，（2）
小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明 在区间 单调递增，那
么 也可以在其他区间单调递增，即 是增区间的子集。而（2）明确提出单调增区
间为 ，意味着 不再含有其他增区间， 为单调区间的分界点，从而满足条件
的 只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。
例 8： ，若 在 上存在单调递增区间，则 的取值范
围是_______
思 路 ： ， 有 已 知 条 件 可 得 ： ， 使 得 ， 即
，只需 ，而 ，所以
答案：
小炼有话说：（1）已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成
为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数 单调递增（减）时，
其导函数 （ ），勿忘等号。
（2）在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把例 6 的条
件改为“在 上存在单调递增区间”，则在求解的过程中，靠不等式能成立问题的解法
1x 2
' 2
2
2 0 1 2
1 1
ax af x a x
ax x
2
max
2 11a x
1a
f x 1,+ f x 1,+
' 2 2 20 2 0 af x ax a x a
1a f x 0,
0 1a 2 ax a
' 0f x 2 1 1a aa
1a 1a
f x 1,+
f x 1,+
1,+ f x 1x
a
3 21 1 23 2f x x x ax f x 2 ,3
a
' 2 2f x x x a 2 ,+3x
' 0f x
21
2a x x 2
min
1
2a x x
2
21 1 2 2 1
2 2 3 3 9y x x
1
9a
1
9a
f x
' 0f x 0
2 ,3
- 7 -
解出的 的范围时 ，但当 时，满足不等式的 的解仅有 ，不能成为单
调区间，故 舍去，答案依然为
例 9：设函数 （其中 是自然对数的底数），若 在其定义域内为
单调函数，求实数 的取值范围
思路：条件中只是提到 为单调函数，所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就是
恒成立或 恒成立，进而求出 的范围即可
解：
若 在 单调递增，则 恒成立
即
，设
则
若 在 单调递减，则 恒成立
即
，设
则 ，且当 或 时，
综上所述： 或
a 1
9a 1
9a x 2
3x
1
9a 1
9a
2lnpf x px xx e f x
p
f x
' 0f x ' 0f x p
'
2
2pf x p x x
f x 0, '
2
2 0pf x p x x
2
2 2 2
1 2 2 21 1 1
x xp px x x x x
2
max
2
1
xp x
2
2
1
xh x x
2
2 2 2 111 12
xh x x x xx x
1p
f x 0, '
2
2 0pf x p x x
2 2
1 2 21 1
xp px x x
2
min
2
1
xp x
2
2
1
xh x x
2
2 2 011
xh x x x x
0x x 0h x
0p
1p 0p
- 8 -
例 10：若函数 在区间 内单调递增，则 取值范
围是( )
A． B． C． D．
思路：先看函数 的定义域，则 在 恒成立，
可看成是由 的复合函数，故对 进行分类讨论。当 时，
单调递增，所以 需单调递增， ，
与 矛 盾 ； 当 时 ， 单 调 递 减 ， 所 以 需 单 调 递 减 ，
答案：B
小炼有话说：
（1）在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集，所以在求参数范围时
要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点
（2）对于指数结构与对数结构的函数（如本题中的 ），可分别分析底数与 1 的大小（对
数的增减性）与真数的单调性，然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单调性
特点（同增异减），故本题对底数 以 1 为分界点分类讨论，并依此分析真数的情况。
3log 0, 1af x x ax a a 1 ,02
a
1 ,14
3 ,14
9 ,4
91, 4
f x 3 0x ax 1 ,02
2 1
4a x a
f x 3log ,ay u u x ax a 1a
logay u 3u x ax ' 2 2
min
3 0 3 0u x a a x
1a 0 1a logay u 3u x ax
' 2 2
min
33 0 3 4u x a a x 3 ,14a
f x
a