2018-2019学年吉林省延边第二中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 解析版 15页

绝密★启用前 吉林省延边第二中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．，，m为实数，若，则m的值为（　 　）‎ A．4 B． C．6 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，，解得，故选B。‎ ‎2．如图是导函数的图象，在图中标记的点处，函数有极大值的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导函数的图象，分析出函数y＝f（x）的单调性，进而根据极大值的定义得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由导函数的图象可得：在点左侧，此时函数y＝f（x）为增函数，在点右侧，‎ 此时函数y＝f（x）为减函数.故当x＝x3时，函数y＝f（x）有极大值．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于基础题．‎ ‎3．过原点作圆（为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将参数方程化为普通方程，可得圆心与原点之间距离和半径，先求解出一条切线与轴所成角，再得到所求角.‎ ‎【详解】‎ 由得圆的方程为：‎ 则半径为：；圆心与原点之间距离为：‎ 设一条切线与轴夹角为，则 ‎ 根据对称性可知，两条切线所成锐角为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化普通方程、直线与圆位置关系中的相切关系，关键在于能够通过相切的条件，得到半角的正弦值.‎ ‎4．曲线，和直线围成的图形面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意画出区域，作图如下，‎ 由解得交点为（0，1），‎ ‎∴所求面积为：‎ 考点：定积分及其应用 ‎5．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（　　）‎ A．－2 B．－1 C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的导函数，令求出，则求得曲线在处的切线斜率。‎ ‎【详解】‎ 的导数为 令可得，解得，‎ 曲线在处的切线斜率为 ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，解题的关键是明确切点处的导函数值即为斜率，属于一般题。‎ ‎6．的展开式的常数项是（ ）‎ A．15 B．-15 C．17 D．-17‎ ‎【答案】C ‎【解析】的展开式的通项公式： ，‎ 分别令r−6=0，r−6=−2，‎ 解得r=6，r=4.‎ ‎∴的展开式的常数项是2×+1×=17.‎ 故选：C.‎ 点睛：二项展开式求常数项问题主要是利用好通项公式，在进行分类组合很容易解决，注意系数的正负.‎ ‎7．已知随机变量的分布如下表所示，则等于（ ）‎ A．0 B．－0.2 C．－1 D．－0.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题目条件求出值，再由离散型随机变量的期望公式得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题可得得，‎ 则由离散型随机变量的期望公式得 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和期望公式，属于一般题。‎ ‎8．在等差数列中，如果，且，那么必有，类比该结论，在等比数列中, 如果，且，那么必有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论. ‎ 详解：由题意，类比上述性质：在等比数列中，‎ 则由“如果，且”，则必有“”成立，故选D. ‎ 点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）. ‎ ‎9．若，则 的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，得.‎ 令，得.‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎10．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”，由此借助对立事件的概率进行求解。‎ ‎【详解】‎ 由题事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”‎ 所以至少出现一次6点向上的概率 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查应用对立事件求概率，属于一般题。‎ ‎11．篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的篮球赛中，休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有（ ）种出场阵容的选择.‎ A．16 B．28 C．84 D．96‎ ‎【答案】B ‎【解析】有两种出场方案：（1）中锋1人，后卫1人，有种出场阵容，（2）中锋1人，后卫2人，有种出场阵容，共计28种，选B.‎ ‎12．已知函数的定义域为，，对任意的满足.当时，不等式的解集为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求导可得单调递增，且，故不等式的解集为的解集。‎ ‎【详解】‎ 令，则 ，可得在上单调递增，‎ 所以由可得 ‎ 因为 ，‎ 所以不等式等价于 所以 ‎ 又因为 所以 ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查利用导函数以及三角函数解不等式问题，解题的关键是构造出新函数，属于偏难题目。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．3名男生，2名女生排成一排，女生不排两端，则有_______种不同排法.‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先从3名男生中任选两名排在两端，其余3名同学全排列，从而得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题3名男生，2名女生排成一排，女生不排两端，则从3名男生中任选两名排在两端，可能情况有种，其余3名同学全排列可能情况有种，‎ 所以所有可能情况共有 种。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合问题，属于一般题。‎ ‎14．已知随机变量X服从正态分布且 则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 考点：正态分布 ‎15．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有种结果，从而得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有种结果，‎ 所以根据等可能事件的概率得到 ‎【点睛】‎ 本题考查等可能事件的概率，属于简单题。‎ ‎16．已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数的取值范围为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求的导函数，因为是函数的唯一一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在上无变号零点。设，结合与的图像可知答案。‎ ‎【详解】‎ 由题可得 ‎ 因为是函数的唯一一个极值点，‎ 所以是导函数的唯一根 所以在上无变号零点。‎ 设，则 ‎ 当时，，在上单调递减 当时，，在上单调递增 所以 ，‎ 结合与的图像可知，若是函数的唯一极值点，则 ‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导函数问题，解题的关键是构造函数 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．现有某高新技术企业年研发费用投入(百万元)与企业年利润(百万元)之间具有线性相关关系,近5年的年研发费用和年利润的具体数据如表:‎ 年研发费用（百万元）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 年利润 （百万元）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数据表明与之间有较强的线性关系．‎ ‎(1)求对的回归直线方程；‎ ‎(2)如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为多少?‎ 参考数据:回归直线的系数．‎ ‎【答案】(1) ；(2) 百万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出 ，利用最小二乘法即可求得对的回归直线方程；‎ ‎（2）令，代入线性回归方程，即可预测该企业获得年利润为多少。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求回归直线的方程为．‎ ‎（2）在（2）中的方程中，令，得，‎ 故如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为9.5百万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用最小二乘法求线性回归方程，属于简单题。‎ ‎18．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.‎ ‎（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；‎ ‎（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，期望为．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，‎ 则 ‎（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3‎ 又 所以X的分布列为 所以．‎ 考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．‎ ‎19．为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”. ‎ ‎(1)由统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 ‎(2)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,求抽取的2人中恰有一人来自乙班的概率.‎ 附:，（）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）填写列联表，计算，对照数表即可得出结论。‎ ‎（2）样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人，得出基本事件个数计算概率即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ 成绩不优良 ‎10‎ ‎4‎ ‎14‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据列联表中的数据,得的观测值为,‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ ‎(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,所以的所有可能取值为,‎ ‎,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率与统计，属于简单题。‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，，，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，，，，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上：当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由（1）可知：‎ 当时，，∴成立.‎ 当时，，‎ ‎，∴.‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎，∴，即.‎ 综上.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．已知函数，曲线在处的切线交轴于点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对于内的任意两个数，，当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），求出f（1），可得切线方程，代入（0，）即可求得m值；‎ ‎（2）把（1）中求得的m值代入函数解析式，设x1＞x2，把对于（1，+∞）内的任意两个数x1，x2，a（x1+x2）转化为，设g（x）＝f（x）﹣ax2，则g（x）＝x2lnxx3+x﹣ax2 在（1，+∞）上为减函数，可得g′（x）＝2xlnx+x﹣x2+1﹣2ax≤0对x＞1恒成立，分离参数a，再由导数求最值得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得，‎ ‎，，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为，‎ 则，解得；‎ ‎（2），‎ 不妨设，对于内的任意两个数，，，‎ 即有，‎ 设，则在上为减函数．‎ 则对恒成立．‎ 可得在上恒成立．‎ 令，，‎ 则在上单调递减，‎ ‎∴．‎ ‎∴，即．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．‎