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- 2021-06-07 发布
2017—2018学年第一学期武威五中高二年级数学阶段性测试卷
一.选择题(每题5分，共60分)
1. ＋1与－1，两数的等比中项是( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D.
【答案】C
【解析】试题分析：设等比中项为A,则
考点：等比中项定义.
2. 在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
【答案】C
【解析】试题分析：,中．故C正确．
考点：余弦定理．
3. 等比数列{an}中，an∈R＋，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为( )
A. 10 B. 20 C. 36 D. 128
【答案】B
【解析】由等比数列下标和的性质得
，
∴
。选B。
4. 在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵△ABC中，B=60°,C=45°
∴A=75°.
由正弦定理得,
∴。选B。
5. 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( )
A. 30 B. 27 C. 24 D. 21
【答案】C
【解析】∵a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，
∴(a2＋a5＋a8) - ( a1＋a4＋a7)，
∴。
∴a3＋a6＋a9=( a2＋a5＋a8)。选B。
6. 在△ABC中，a＝ ，b＝，B＝45°，则A等于（ ）
A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150°
【答案】C
【解析】试题分析：由题已知两边及一边所对的角则， ∵由正弦定理可得：sinA===，
又∵a=2＜b=2，∴A＜B，∴可解得：A=30°
考点：运用正弦定理解三角形（注意角的多种情况的判断）.
7. 在△ABC中，,,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】试题分析：，由得
所以，由可得面积为或
考点：正弦定理，三角形面积公式
8. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】试题分析：依题意，即∴.
考点：等差数列的性质
9. 设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为( )
A. 0 B. 37 C. 100 D. －37
【答案】C
【解析】试题分析：数列{an}和{bn}都是等差数列，所以是等差数列，首项，所以数列是常数列，所以第37项的值为100
考点：等差数列
10. 在△ABC中,,则上的高为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在△ABC中，由余弦定理的推理得
,
∵，
∴，
∴上的高为。选B。
11. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为( )
A. 7 B. 6 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】由题意得，解得。选C。
12. 数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3，则a4＋a5＋…＋a10等于( )
A. 171 B. 21 C. 10 D. 161
【答案】D
【解析】由题意得
。选D。
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是
________．
【答案】6
【解析】略
14. 一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC为______．
【答案】20km
【解析】略
15. 等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则a13＋a14＋a15＝________.
【答案】48
【解析】∵数列为等比数列，
∴成等比数列，且公比为，
∴，
即。
答案：
16. 已知等差数列{an}中,＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为 _______
【答案】-15
【解析】∵，
又
∴，
∴。
答案：。
点睛：在等差数列的性质中，下标和的性质是比较重要的一个，也是常考的内容之一，此性质指的是“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”，它说明了等差数列中与首末两项距离相等的两项的和相等，这一性质常与等差数列的前n项和公式结合在一起，采用整体代换的思想，达到简化解题过程的目的．
三、解答题（本题共70分）
17. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cos B＝ .
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b、c的值．
【答案】（1）sin A＝ ,;（2）;
试题解析：（1）∵cosB＝>0，且0b，
∴A>B＝45°，
∴A＝60°或120°.
①当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
∴c＝＝＝，
②当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
∴c＝＝＝.
综上，A＝60°，C＝75°，c＝，或A＝120°，C＝15°，c＝.
(2)根据正弦定理可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶(－1)∶，
设，
由余弦定理的推理得
，
又，
∴
∴最大角为C且．
点睛：（1）在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论。
（2）解三角形时，常用到三角形中的边角关系，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB。
20. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和．
【答案】（1）见解析（2）Sn＝(n－1)·2n＋1.
【解析】试题分析：（1）由及条件可得，即，可得数列为等差数列；
（2）由（1）得，从而可得，利用错位相减法求和即可。
试题解析：
(1)证明：∵ an＋1＝2an＋2n，
∴ bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，
又b1＝a1＝1.
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解：由(1)知，bn＝n，
∴＝bn＝n.
∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
∴2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②
①-②得：
－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
∴Sn＝(n－1)2n＋1.
点睛：用错位相减法求和的注意事项
（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
21. 设数列{an}的前n项和为Sn，点 (n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
【答案】（1）an＝6n－5（2）10
【解析】试题分析：（1）由题意可得，然后根据求通项公式；（2）根据数列{bn}通项公式得特点，利用列项求和的方法求得，故，从而要使Tn<对所有n∈N*都成立，只需，求出后可得解。
试题解析：
(1)依题意得＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2＝6×1－5，满足上式，
所以an＝6n－5 (n∈N*)．
(2)由(1)得bn＝＝＝，
故Tn＝ [(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝，
∴。
∵对所有n∈N*都成立，
∴，解得。
∴满足要求的最小正整数m为10.
点睛:数列综合题的类型及特点
（1）数列与函数的综合问题主要有以下两个命题角度：
①已知函数条件，解决数列问题；②已知数列条件，解决函数问题．
（2）数列与不等式结合，考查方式主要有三种：
①判断数列问题中的一些不等关系；
②以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
③考查与数列问题有关的不等式的证明问题．在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点．
22. 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
【答案】
【解析】试题分析：由Sn＝－n2＋n可得，故可得当当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0，分两种情况求数列{|an|}的前n项和Tn
试题解析：
当n≥2时，，
an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104.
又时，a1＝S1＝－×12＋×1＝101，满足上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0
①当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an
＝Sn＝－n2＋n.
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2－
＝n2－n＋3502.
综上Tn＝