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- 2021-06-07 发布
四川省泸县四中高2019届三诊模拟考试
数学（理工类）试题
本试卷共4页，共23题（含选考题），全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数, , ,
A． B． C． D．
2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点，则
A． B． C． D．
3.设函数的图象关于直线对称，则的值为
A．3 B．2 C. 1 D．-1
4.二项式展开式中的常数项为
A．10 B．-10 C. 5 D．-5
5.已知等差数列的前项为，且，，则
A．90 B．100 C．110 D．120
6.已知，则点在直线的右下方是是双曲线的离心率的取值范围为的
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7. 设，，，则（ ）
A． B． C. D．
8.2017年11月30日至12月2日
,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法种数为
A. 5040 B. 4800 C. 3720 D. 4920
9.已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则该三角形为
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上的一点，点关于的对称点为，若且，则的值为
A．18 B．12 C．6 D．6或18
11.已知函数，在的大致图象如图所示，则可取
A． B． C. D．
12.已知，若有四个不同的实根且，则的取值范围为
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若实数满足，则的最大值为 .
14.若双曲线的渐近线与圆相切，则 .
15．如图，在正方体中，分别为棱
的中点，则与平面所成角的余弦值为 ．
16．已知函数，若方程有两个解，则实数的取值范围是______．
三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. (本大题满分12分)
在中，分别是角的对边，且，
（I）求的值；
（II）若，求的面积.
18.(本大题满分12分)
为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标)、推理(能力指标)、建模(能力指标)的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下：
（I）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
（II）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求随机变量的分布列及其数学期望.
19.(本大题满分12分)
如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，，点为中点，与交于点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20.(本大题满分12分)
已知抛物线的焦点为曲线的一个焦点，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若、、三个点满足，求直线的方程.
21..(本大题满分12分)
已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点且满足，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
（Ⅱ）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.
23．【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）设，，，且，求证：．
四川省泸县四中高2019届三诊模拟考试
数学（理工类）试题答案
一、选择题
1.B 2.A 3.A 4.B 5.A 6.A 7.A 8.D 9.D 10.C 11.C 12.D
二、填空题
13. 14. 15. 16．
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由得出：，
由及正弦定理可得出：，所以，
再由知，所以为锐角，，
所以
（Ⅱ）由及可得出，所以.
18.（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模
能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，则.
(2)由题可知，数学核心素养一级: ，数学核心素养不是一级的: ；的可能取值为1，2，3，4，5.
；；；；.
随机变量的分布列为：
1
2
3
4
5
19.解析：（I）在△中，有
同理可得：
而，平面
平面
在△中，易知、分别为、中点，则
而平面平面．
（II）由（I）知：平面，故可建立空间直角坐标系，如图所示，则
，，，
，，
设、 分别为平面和平面的一个法向量，则
，，
不妨设，则，
由图易知二面角为钝二面角
二面角的的余弦值为．
20. 解：（Ⅰ）解由曲线，可得，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，得，所抛物线的方程为
（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，消去得
，设，由根与系数的关系得，
因为，故，得，由及，
解得或，代入，解得或
故的方程为或，化简得或
另解：如图，由，可设，则
，因为，所以
解得，，所以，在中，
，即（为直线的斜率），所以
直线的方程为，即，由于对称性知另一条直线的方程为.
21.解：(1)定义域为，
，
当或时，恒成立，
当时，由得或，
于是结合函数定义域的分析可得：
当时，函数在定义域上是增函数；
当时，函数定义域为，此时有，
于是在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
当时，函数定义域为，
于是在上为减函数，在上为增函数，
当时，函数定义域为，此时有，
于是在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，
当时，函数定义域为，
于是在上是增函数，在上是增函数.
(2)由(1)知存在两个极值点时，的取值范围是，
由(1)可知，，
；
不等式化为，
令，所以，
令，，
当时，，，，所以，不合题意；
当时，，，
所以在上是减函数，所以，适量题意，即.
综上，若，此时正数的取值范围是.
22.解：（1）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则
到直线的距离
，
当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.
（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，∴恒成立，即(其中)恒成立，∴，又，解得，故的取值范围为.
23.（1）由知，即．.
（2）：∵， ∴
．当且仅当，即，，时取等号，即