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- 2021-06-07 发布
高二数学（理科)
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
单选题（每小题 5 分，共 60 分）
1．复数 2
1 2
i
i
（ ）
A．i B．-i C． 4 i5
D． 4 i5
2．下列说法中正确的是（ ）
A．“ (0) 0f ” 是“函数 ( )f x 是奇函数”的充要条件
B．若 p ： 0x R ， 2
0 0 1 0x x ，则 p ： x R ， 2 1 0x x
C．若 p q 为假命题，则 ,p q 均为假命题
D．“若
6
，则 1sin 2
”的否命题是“若
6
，则 1sin 2
”
3．双曲线 2 22 8x y 的实轴长是（ ）
A．2 B． 2 2 C．4 D．4 2
4．观察下列各式：若 1 1 2 21 3a b a b ＋ ， ＋ ， 3 3 4 44 7a b a b ＋ ， ＋ ，5 5 11a b ＋ ， ，则
7 7a b＋ 等于( )
A．18 B． 29 C． 47 D．15
5．4 名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需1人，其中甲不能当文娱委员，则共
有（ ）种不同结果（用数字作答）
A． 6 B．9 C．12 D．8
6．如图，在正方形 OABC 内任取一点 M ，则点 M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）
A． 1
4 B． 1
3
C． 2
5 D． 3
7
7．已知 M，N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且 2MP PN ，
设向量OA a ，OB b ，OC c 则OP （ ）
A． 1 1 1
6 6 6a b c B． 1 1 1
3 3 3a b c
C． 1 1 1
6 3 3a b c D． 1 1 1
3 6 6a b c
8．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书
必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种
A． 24 B．36 C． 48 D． 60
9．若 2x 是函数 3 21 2 13f x x ax x 的一个极值点，则函数 f x 的极小值
为（ ）
A． 11
3
B． 1
6
C． 1
6 D．17
3
10．如图，在三棱锥 1 1 1ABC A B C 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，
14, 6AB AA ．若 E 是棱 1BB 上的点，且 1BE B E ，则异面直线 1A E 与 1AC 所成
角的余弦值为（ ）
A． 13
13
B． 2 13
13
C． 5 13
13
D． 8 13
13
11．若直线 l： 2 0( 0, 0)ax by a b 过点 ( 1,2) ，当 2 1
a b
取最小值时直线 l 的斜率
为
A．2 B． 1
2 C． 2 D．2 2
12．已知定义在 0, 上的函数 f x 满足 0xf x f x ，其中 f x 是函数 f x
的导函数若 2018 2018 1f m m f ，则实数 m 的取值范围为 ( )
A． 0,2018 B． 2018, C． 2018,2019 D． 2019,
填空题
13. （每小题 5 分，共 20 分）
①．曲线 y＝x2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____．
②．已知实数 ,x y 满足不等式组
2 0
1 0
3 0
y
x y
x y
，则 y
x
的取值范围为__________．
③．已知 1 n
xx
的展开式的所有项的系数和为 64，则其展开式中的常数项为
_______.
④．点 ,P x y 在抛物线 2 4y x 上，则点 P 到 0,3 的距离与点 P 到准线距离之和的
最小
值是___________.
解答题
14．（本题满分 10 分）设命题 p：实数 x 满足 ，其中 ；命题 q：
．
（1）若 ，且 为真，求实数 x 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
15．在各项均不相等的等差数列 na 中， 1 1a ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列，数列 nb 的
前 n 项和 12 2n
nS ．
（1）求数列 na 、 nb 的通项公式；
（2）设 22 logna
n nc b ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ．
16．已知 a,b,c 分别是ABC 的内角 A,B,C,所对的边，
2 2 2 2sin sin
sin
b c a C A
bc B
（1）求角 B 的大小；
（2）若ABC 的面积为 3 ，求ABC 周长的最小值．
17．如图 1，已知四边形 BCDE 为直角梯形， 90B ， / /BE CD ，且
2 2 2BE CD BC ，A 为 BE 的中点将 EDA 沿 AD 折到 PDA 位置 ( 如图 2) ，
连结 PC，PB 构成一个四棱锥 P ABCD ．
（Ⅰ）求证 AD PB ；
（Ⅱ）若 PA 平面 ABCD ．求二面角 B PC D 的大小；
18．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 1
2
，短轴长为 2 3 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若椭圆C 的左焦点为 1F ，过点 1F 的直线l 与椭圆C 交于 ,D E 两点，则在 x 轴上是
否存
在一个定点 M 使得直线 ,MD ME 的斜率互为相反数？若存在，求出定点 M 的坐
标；
若不存在，也请说明理由．
19．已知函数 21( ) 2f x lnx ax x ．
（1）若函数 ( )f x 在[1， ) 上单调递增，求实数 a 的取值范围；
（2）若函数 ( )f x 在 1x 处的切线平行于 x 轴，是否存在整数 k ，使不等式
[ ( ) 1] ( 2)x f x x k x 在 1x 时恒成立？若存在，求出 k 的最大值；若不
存在，请说明理由
数学（理)参考答案
1．A 2．D 3．C 4．B 5．C
【详解】若甲不当班长，则有 2
3 6A 种结果；若甲当了班长，则有 1
3 3C 种结果；
若一人担任两个职务，则有 3 种结果；故总共有 9+3=12 种结果.故选：C.
6．B 由定积分的运算得：S 阴
1
0
（1 x ）dx＝（x
2
32
3 x ） 1
0
1| 3
，由几何概型中的
面积型得：P（A）
1
13
1 3
S
S
阴
正方形
，得解．
7．C 如图所示，连接 ON,∵OP ON NP ， 1 ( )2ON OB OC ，所以 1
3NP NM ，
NM OM ON ， 1
2OM OA ，
∴ 1
3OP ON NP ON NM 1 2 1( )3 3 3ON OM ON ON OM
2 1 ( )3 2 OB OC 1 1
3 2 OA 1 1 1
6 3 3OA OB OC 1 1 1
6 3 3a b c .故选：C.
8．A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有 2
2A 种排法；
第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有 2 3
2 3A A 种排法；
∴ 2 3 2
2 3 2 24A A A 故选：A.
9．B【详解】 3 21 2 13f x x ax x Q ， 2 2 2f x x ax ，由题意得
2 2 4 0f a ，
解得 1
2a ， 3 21 1 2 13 2f x x x x ， 2 2 2 1f x x x x x .
当 2x 或 1x 时， 0f x ；当 2 1x 时， 0f x .
所以，函数 y f x 的单调递增区间为 , 2 和 1, ，单调递减区间为 2,1 ，
当 1x 时，函数 y f x 取得极小值 1 1 11 2 13 2 6f ，故选：B.
10．A【详解】以 C 为原点，CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴，CC1 为 z
轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，
AB＝4，AA1＝6，
E，F 分别是棱 BB1，CC1 上的点，且 BE＝B1E， ∴A1（4，0，6），E（2，2 3 ，3），A（4，
0，0）， 1 0,0,6C
1A E
（﹣2，2 3 ，﹣3）， 1AC （-4，0，6），设异面直线 1A E 与 1AC 所成角所成角为θ，
则 cosθ
1 1
1 1
10 13
1310 13
A E AC
A E AC
．
∴异面直线 A1E 与 AF 所成角的余弦值为 13
13
．故选 A．
11．A【详解】因为直线l 过点 1,2 ，所以 2 2 0a b ，即 2 12
a b ，
所以 2 1 2 1 2 1 4 1 4( ) (4 ) (4 2 ) 42 2 2
a b b a b a
a b a b a b a b
当且仅当 4b a
a b
，即 2a b 时取等号所以斜率 2a
b
，故选 A
12．C【详解】解：令 f xh x x
， 0,x ，则
2
'' xf x f xh x x
，
' 0xf x f x ， ' 0h x ，函数 h x 在 0, 递减，
2018 2018 1f m m f ， 2018 0m ， 2018m ，
2018 1
2018 1
f m f
m
，
即 2018 1h m h ，故 2018 1m ，解得： 2019m ，故 2018 2019m ，故选：
C．
13．①3 2 0x y 解析： 12y x x
，在点（1，1）处的切线斜率为 3 ，所以切线方
程为3 2 0x y .
②． 1 ,22
【详解】如图，不等式组
2 0
1 0
3 0
y
x y
x y
表示的平面区域 ABC△ （包括边界），所
以 y
x
表示 ,x y 与（0，0）连线的斜率，因为 1,2 2,1A B， ，所以
12 2OA OBk k ， ，故 1 ,22
y
x
.
③．15【详解】
已知 1 n
xx
的展开式的所有项的系数和为 64，令 1x ，得 2 64 6n n ，
二项展开式的通项公式为
3 66 2
1 6 6
1( ) ( )
r
r r r r
rT C x C xx
，令 3 6 0 42
r r ，
所以常数项为 4
6 15C 。
④． 10 【详解】
解:如图，
由抛物线 2 4y x ，可得其焦点坐标 (1,0)F ,准线为 : 1l x ，
过点 P 做 PM l ，垂足为 M ，则 PM PF ,
设 (0,3)Q ，此时当 F P Q、 、 三点共线时， PF PQ 取得最小值，
故： 2 2
min( ) 3 1 10PF PQ QF ,故答案为： 10 .
14．(1) (2)
【详解】解：(1)由 ，其中 ；解得 ，又 ，即 ，
由 得： ，又 为真，则 ，得： ，故实数 x
的取值范围为 ；
由 得：命题 p： ，命题 q： ，
由 是 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件，则 ，
所以 ，即 ．故实数 m 取值范围为： .
15．（1） 2 1na n ， 2n
nb ；（2）
2 1 22 2
3 2
n
n
n nT
【详解】
（1）设数列{ }na 的公差为 d，则 2 1a a d ， 5 1 4a a d ，∵ 1a ， 2a ， 5a 成等比数列，
2
2 1 5a a a ，即 2
1 1 1 4a d a a d ，
整理得 2
12d a d ，解得 0d （舍去）或 12 2d a ， 1 1 2 1na a n d n .
当 1n 时， 1 2b ，当 2n 时，
1
1 2 2 2 2n n
n n nb S S
12 2 2 2 2 2n n n n n ．
验：当 1n 时， 1 2b 满足上式，∴数列{ }nb 的通项公式为 2n
nb ．
（2）由（1）得， 2 1
22 log 2na n
n nc b n ，
3 5 2 1(2 1) 2 2 2 3 2 n
nT n
3 5 2 12 2 2 2 (1 2 3 )n n 2 1 4 (1 )
1 4 2
n n n
2 1 22 2
3 2
n n n .
16．（1）
3
（2）6
【详解】（1）
2 2 2b c a 2sinC sinA
bc sinB
，由 a b c
sinA sinB sinC
得 2 2 2c a b ac ，
2 2 2c a b 1cosB 2ac 2
， 0 B π ， πB 3
；
（2）由（1）得 πB 3
， ΔABC
1 3S acsinB ac 32 4
， ac 4 ，
2 2b a c 2accosB 2 2a c 4 2ac 4 2 ，
a c 2 ac 4 ，对上述两个不等式，当且仅当 a c 2 时等号成立，
此时 ΔABC 周长取最小值 6.
17． ( Ⅰ ) 详见解析； ( Ⅱ ) ①120 ，② 0 或 2
3
．
【详解】证明： ( Ⅰ ) 在图 1 中， / /AB CD ， AB CD ，
ABCD 为平行四边形， / /AD BC ， 90B ， AD BE ，
当 EDA 沿 AD 折起时， AD AB ， AD AE ，即 AD AB ， AD PA ，
又 AB PA A ， ,AB PAB PA PAB AD面 面 平面 PAB，
又 PB 平面 PAB， AD PB ．
( Ⅱ )① 以点 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由
于 PA 平面 ABCD
则 (0,A 0， 0) ， (1,B 0， 0) ， (1,C 1， 0) ， (0,P 0，1) ， (0,D 1， 0)
(1,PC
1， 1) ， (0,BC
1， 0) ， (1,DC
0， 0) ，
设平面 PBC 的法向量为 ( ,n x y， )z ，则 0
0
PC n x y z
BC n y
，取 1z ，得 (1,n 0，
1) ，
设平面 PCD 的法向量 ( ,m a b， )c ，则 0
0
m PC a b c
m DC a
，取 1b ，得 (0,m 1，
1) ，
设二面角 B PC D 的大小为 ，可知为钝角，
则 1 1cos 22 2
m n
m n
， 120 ．二面角 B PC D 的大小为120 ．
18．（1）
2 2
14 3
x y ；（2）见解析
【详解】（1）据题意，得
2 2 2
2 2 3
1
2
b
c
a
c a b
解得 2 24, 3a b ， 所以椭圆 C 的标准方程为
2 2
14 3
x y ．
（2）据题设知点 1 1,0F ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 1y k x ．
由
2 2
1
14 3
y k x
x y
，得 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k ．
设 1 1 2 2, , ,E x y D x y ，则
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12,4 3 4 3
k kx x x xk k
．
设 ,0M m ，则直线 ,MD ME 的斜率分别满足 2 1
2 1
,MD ME
y yk kx m x m
．
又因为直线 ,MD ME 的斜率互为相反数，
所以
2 1 1 2 1 21 2
1 2 1 2
0ME MD
x y x y m y yy yk k x m x m x m x m
，
所以 2 1 1 2 1 2 0x y x y m y y ，所以
2 1 1 2 1 21 1 1 1 0x k x x k x m k x k x ，
所以 1 2 1 2 1 22 2 0kx x k x x m k x x k ，
所以
2 2 2
2 2 2
4 12 8 82 2 04 3 4 3 4 3
k k kk k m k kk k k
，所以 4 0k m ．
若 4 0k m 对任意 k R 恒成立，则 4m ，
当直线l 的斜率 k 不存在时，若 4m ，则点 4,0M 满足直线 ,MD ME 的斜率互为相反
数． 综上，在 x 轴上存在一个定点 4,0M ，使得直线 ,MD ME 的斜率互为相反数．
19．（1）a 1
4
；（2）不存在，理由见解析.
【详解】
解：（1） 函数 ( )f x 在[1， ) 上单调递增， 1( ) 1 0f x axx
在[1， ) 上恒成立，
2
2
1 1 1 1 1( )2 4a x x x
，当 2x 时， ( )21 1 1
2 4x
有最小值 1
4
， 1
4a ；
（2） 1( ) 1f x axx
， f （1） 1 1a a ，
函数 ( )f x 在 1x 处的切线平行于 x 轴， 0a ， ( )f x lnx x ，
不等式 [ ( ) 1] ( 2)x f x x k x 在 1x 时恒成立， ( 2)xlnx x k x 在 1x 时恒成立，
即 ( 1) 2 0xlnx k x k 在 1x 时恒成立，
令 ( ) ( 1) 2g x xlnx k x k ， 1x ， ( )g x lnx k ，
当 0k 时， ( ) 0g x 在 (1, ) 上恒成立，即 ( )g x 在 (1, ) 上单调递增，
( )g x g （1） 1 0k ，则 1k ，矛盾，
当 0k 时，令 ( ) 0g x ，解得 kx e ，
令 ( ) 0g x ，解得： kx e ，
令 ( ) 0g x ，解得：1 kx e ，
( )g x 在 (1, )ke 单调递减，在 ( ke ， ) 单调递增，
( ) ( ) ( 1) 2 2 0k k k k
ming x g e ke k e k k e ，
令 ( ) 2 kh k k e ， 0k ， ( ) 2 kh k e ，
当 2k ln 时， ( ) 0h k ，函数 ( )h k 单调递增，
当 2k ln 时， ( ) 0h k ，函数 ( )h k 单调递减，
( ) ( 2) 2 2 2 2( 2 1) 0maxh k h ln ln ln ，
不存在整数 k 使得 2 0kk e 恒成立，
综上所述不存在满足条件的整数 k ．