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- 2021-06-07 发布
〖考前绝密〗
临川一中2019年高二年级第二次月考数学（理）试卷
第一卷（选择题，共60分）
一、选择题:（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.设全集，，，则( )
A.( cos2，1] B.[cos2，1] C.(- 1，2 ) D.(- 1，cos2 ]
2.直线与曲线相切于点，则的值等于( )
A.2 B. - 1 C.1 D.-2
3.已知 ，则=( )
A. 23 B. 35 C. D.
4.对任意非零实数，若的运算原理如右图所示，
那么( )
A. B. C. D.
5.已知命题 ，．若命题是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.则“”是“”的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要
7.若平面平面，直线，直线，且，则( )
A. B. 且 C. D. 和中至少有一个成立
8.已知正数满足，则的最大值为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
9.已知双曲线上一点到的距离为6，为坐标原点,且，则( )
A. 1 B. 2 C. 2或5 D.1或5
10.已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11.动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面交于两点，设，的面积是，则函数的图像大致为( )
A. B. C. D.
12.已知，在处取得最大值，以下各式正确的序号为( )
①；②；③；④ ；⑤.
A．①④ B．②④ C． ②⑤ D．③⑤
第二卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.）
13. ．
14.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB = 2，AC = 3，则cosC的值是 ．
15.在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B的平面角为
时，则 ．
16.已知数列的通项公式为数列的通项公式为，若数列递增，则的取值范围是 .
三、解答题:（共计70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17.（10分）已知：函数.
（1）当时,求函数的单调递增区间；
（2）当时, 函数的值域是[2,4],求的值.
18.（12分）已知：在与时都取得极值.
（1）求的值；
（2）若在区间上不单调，求的取值范围 。
19．（12分）某名校从2009年到2018年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出来。（为了方便计算，将2009年编号为1，2010年编为2，以此类推……）
年份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数y
8
9
9
10
12
24
29
21
20
16
（1）将这10年的数据分为人数不少于20人和少于20人两组，按分层抽样抽取5年，问考入清华、北大的人数不少于20的应抽多少年？在抽取的这5年里，若随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不少于20的概率是多少？；
（2）根据最近5年的数据，利用最小二乘法求出与之间的线性回归方程，并用以预测2019年该校考入清华、北大的人数。（结果要求四舍五入至个位）
参考公式：
A
B
C
B11
A11
D
C11
20. （12）如图：正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为3，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
二面角B1－AD－B的大小为60°；
（1）求点C1 到平面ADB1的距离；
（2）若P是线段AD上的一点 ，且2DP = AA1，在线段DC1上是否存在一点Q，使直线PQ∥平面ABC1? 若存在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由．
20. （12分）已知：函数.
（1） 此函数在点处的切线与直线平行，求实数t的值；
（2）在（1）的条件下，若（）恒成立，求的最大值.
22. （12分）已知曲线C是中心在原点，焦点在轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，且一条渐近线方程是，线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点。
(1) 求曲线C的方程;
(2)
(3)若作出直线，使点R在直线m上的射影S满足.当点P在曲线C上运动时，求的取值范围.
【参考公式：若为双曲线右支上的点，为右焦点，则.（为离心率）】
临川一中2019年高二年级第二次月考数学（理）答案
一、选择题:
1~5． AACCD 6~10. BDCDB 11~12. DB
二、填空题:
13． 14. 15． 16.
三、解答题:
17．解：
（1）当时,函数
∵当时, 是增函数,
∴函数的单调递增区间为
（2）当时, 由题意得： ∴
当时, 由题意得： ∴
综上知: .
18．解：（1），∵在与时都取得极值
∴ ∴
（2）由（1）得∴
∴在处分别取得极大值与极小值
∵在区间上不单调，∴两个极值点至少有一个在区间内，
故或，解得：.
19．（1）2年，0.6
A
B
C
B11
A11
D
C11
(2)y与x之间的线性回归方程，预测2018年该校考入清华，北大的人数为15人。
20．解：（1）设E为AD的中点，则BE⊥AD，
B1E⊥AD∴∠BE B1为二面角B1－AD－B的平面角
∴∠BE B1=60°∵∠ABD=120°，BE=3/2
∴tan∠BE B1=∴侧棱AA1= BB1=；
法1：（等体积法）
∵VC1－ADB1= VA－C1DB1=VA－BB1 C1==
又∵知
∴点C1 到平面ADB1的距离
法2：（向量法）
设BC，B1C1的中点分别为O，E,分别以BC，OE,OA为x轴，y轴，z轴，建坐标系O－xyz，
可求出面ADB1的一法向量，如：，而，
∴点C1 到平面ADB1的距离
（2）存在,当点Q分的定比为时，PQ∥AC1知PQ∥平面ABC1
21.（1），
3.
， 3.
22.解：(1)曲线C的方程是：
(2)由(1)知，曲线C的右焦点F的坐标为(2,0)，若弦PQ的斜率存在，
则弦PQ的方程为： y=k(x-2)，代入双曲线方程得：
设点P(x1, y1)，Q( x2, y2)，
解得：，点R到y轴距离：
而当弦PQ的斜率不存在时，点R到y轴距离=2。
所以点R到y轴距离的最小值为2.
(3)∵点R在直线m上的射影S满足=0，
,……①
由焦半径公式
=4xR-2 ………②
将②代入①，得：
,