专题2-6 三角形中的不等和最值问题（练）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测 13页

‎2018年高三二轮复习讲练测之练案【新课标理科数学】‎ 练---精准到位 热点六 三角形中的不等和最值问题 ‎1.练高考 ‎1.【2017浙江，14】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．‎ ‎【答案】4，‎ ‎【解析】‎ ‎ 2. 【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎3.【2016高考浙江】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由已知得，不妨取，，设，则 ‎，取等号时与同号．‎ 所以 ‎，（其中，取为锐角）．‎ 显然 易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正，因此上述不等式中等 号能同时取到．故所求最大值为．‎ ‎4.【2015高考山东】设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）单调递增区间是；单调递减区间是.‎ ‎（II） 面积的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）由题意知 ‎ ‎ 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ；　‎ 单调递减区间是 ‎（II）由 得 ‎ 由题意知为锐角，所以 ‎ 由余弦定理： ‎ 可得： ‎ 即： 当且仅当时等号成立.‎ 因此 ‎ 所以面积的最大值为 ‎5.【2015高考湖南】设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由及正弦定理，得，∴，即，‎ 又为钝角，因此，故，即；（2）由（1）知，‎ ‎，∴，于是 ‎，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是.‎ ‎6．【2016高考山东理数】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=‎2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 由题意知，‎ 化简得，‎ 即.‎ 因为,‎ 所以.‎ 从而.‎ 由正弦定理得.‎ ‎2.练模拟 ‎1.已知函数,若在中，角C ‎ 是钝角，那么（ ）‎ ‎ A．＞ B．＜‎ ‎ C．＞ D．＜‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】∵为钝角，∴，∴，且与都是锐角，∴，‎ ‎∴，且与都是上的数，∵，∴函数在 上是减函数，∴＞．故选A．‎ ‎2.在中，分别为内角所对的边，且满足若点是外一点，则平面四边形面积的最大值是（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵中，；∴；‎ ‎∴；∴；∴；又；∴为等边三角形，如下图所示：‎ 则：；∴；‎ ‎∴；；‎ ‎∴；‎ ‎∵；∴；∴，即时，取最大值；∴平面四边形面积的最大值为．‎ ‎3.【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】设的内角的对边分别是， 为的中点，若且，则面积的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由b=acosC+csinA，‎ 正弦定理：sinB=sinAcosC+sinCsinA 即sin（A+C）=sinAcosC+sinCsinA 可得：sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA ‎∴cosAsinC=sinCsinA，‎ ‎∵sinC≠0‎ ‎∴cosA=sinA，‎ 即tanA=1．‎ ‎0＜A＜180°，‎ ‎∴A=45°‎ 在三角形ADC中：由余弦定理可得： ‎ 即2bc=4b2+c2﹣8．‎ ‎∵4b2+c2≥4bc，‎ ‎∴bc≤=‎ 那么S=bcsinA =．‎ 故答案为： ．‎ ‎4.【2018届福建省厦门市高三年级上学期期末】如图，单位圆与轴正半轴的交点分别为，圆上的点在第一象限.‎ ‎（1）若点的坐标为，延长至点，使得，求的长；‎ ‎（2）圆上的点在第二象限，若，求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由点可得，故，所以，在中由余弦定理可得．（2）设，则，从而可得四边形的面积，由的取值范围得当时，四边形的面积有最大值，且最大值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由点在单位圆上，可知，‎ ‎∴．‎ 在中， ， ， ,‎ 由余弦定理得 ‎,‎ ‎∴,‎ 即的长为．‎ ‎（2）设，则，‎ ‎∴， ‎ ‎∴四边形的面积 ‎∵，‎ ‎∴，‎ 当，即时，四边形的面积有最大值，且最大值为.‎ ‎5.在中，，，是边上一点.‎ ‎（1）求的面积的最大值； ‎ ‎（2）若，的面积为2，为锐角，求的长.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；(2) ．‎ ‎（2）设，在中，，‎ ‎∴，解得，∴.‎ 由余弦定理得：,‎ ‎∴‎ ‎，∴，∴，‎ 此时，∴.‎ ‎3.练原创 ‎1.在中，的对边分别是，其中，则角A的取值范围一定属于（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由正弦定理： ,得： ‎ 因为 ，所以， 或，故选B.‎ ‎2．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由及正弦定理得，即所以故有. 选.‎ ‎3. 已知中的内角为，重心为，若，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎4. 在中，，，则=　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得，得，‎ ‎，，由正弦定理，得 ‎，由得 ‎，，由，解得，‎ ‎.‎ ‎5. 已知函数 ‎(1)将写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； ‎ ‎(2) 如果的三边满足，且边所对的角为，试求的范围及此时函数的值域．‎ ‎【答案】（1），（2），值域为.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2) 由已知及余弦定理，得：‎ ‎. ………………………………7分 ‎,. ………………………………9分 ‎,即的值域为. ……………11分 综上所述，，值域为. ………………………………12分