【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第五章23平面向量的概念及线性运算作业 8页

‎【课时训练】第23节　平面向量的概念及线性运算 一、选择题 ‎1．(2018山东德州模拟)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量＝(　　)‎ A. －　　　 B．－＋ C．2－　 D．－＋2 ‎【答案】C ‎【解析】因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.‎ ‎2．(2018广东清远清城期末)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)‎ A．a　　 B．b　　‎ C．c　 D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，即a＋b＝－c，所以a＋b＋c＝0.‎ ‎3．(2018上海崇明一模)设点M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，点D是AC的中点，则的值为(　　)‎ A.　　 B．　　　‎ C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵D是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，‎ ‎∴＝＝(＋)，∴＋＝2.∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝3，∴＝＝.故选A.‎ ‎4．(2018成都五校联考)在△ABC中，＝3，若＝λ1＋λ2，则λ1λ2的值为(　　)‎ A.　　 B．　　‎ C．　　　　 D． ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝.‎ ‎5．(2018山西运城模拟)设D，E，F分别是△ABC的三边BC，‎ CA，AB上的点，且＝2， ＝2，＝2，则＋＋与 (　　)‎ A．反向平行　 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．‎ ‎6．(2018湖南永州模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A＝(　　)‎ A．30°　　　 B．45°　　　　‎ C．60° D．90°‎ ‎【答案】A ‎【解析】由＋＋＝0，得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，可得||＝||＝||.设OC与AB交于点D，如图，由＋＝可知D为AB的中点，所以＝2，D为OC的中点．又由||＝||可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形 ‎，即∠CAO＝60°，故∠BAC＝30°.‎ ‎7．(2018广西南宁摸底)已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)‎ A．3　 B．　‎ C．2 D． ‎【答案】B ‎【解析】由已知得M，G，N三点共线，∴＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.‎ ‎∵点G是△ABC的重心，‎ ‎∴＝×(＋)＝(＋)，‎ ‎∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，‎ ‎∴＝.‎ ‎8．(2018广西柳州模拟)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积的比值为(　　)‎ A. B． C. D． ‎【答案】C ‎【解析】设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3 ①，即＝＋，即＋＝1，故C，M，D三点共线．又＝＋ ②，联立①②，得5＝3，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.‎ 二、填空题 ‎9．(2018湖南衡阳模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心．设点D为底边BC的中点，则＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3.故m＝3.‎ ‎10．(2018湖北武汉二模)若||＝||＝|－|＝2，则|AB＋|＝________.‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】∵||＝||＝|－|＝2，‎ ‎∴△ABC是边长为2的正三角形，∴|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，‎ ‎∴|＋|＝2×2sin＝2　.‎ ‎11．(2018银川二检)已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足＝－，△ACD的面积为1，则△ABD的面积为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由＝－，得5＝＋4，即－＝4(－)，即＝4，∴点D在边BC上，且||＝4||.故△ABD的面积是△ACD的面积的4倍，故△ABD的面积为4.‎ ‎12．(2018湖北孝感统考)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2　，BC＝2，点E在线段CD上．若＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.∵点E 在线段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，‎ ‎∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.‎ 三、解答题 ‎13．(2018广东韶关调研) 如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.‎ ‎(1)用a，b表示向量，，，，；‎ ‎(2)求证：B，E，F三点共线．‎ ‎(1)【解】延长AD到G，使＝，‎ 连接BG，CG，得到▱ABGC，如图，‎ 所以＝＋＝a＋b，‎ ＝＝(a＋b)，‎ ＝＝(a＋b)，‎ ＝＝b，‎ ＝－＝(a＋b)－a＝(b－‎2a)，‎ ＝－＝b－a＝(b－‎2a)．‎ ‎(2)【证明】由(1)可知＝，‎ 又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．‎