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- 2021-06-07 发布
河北省武邑中学2017届高三下学期一模考试理科数学
一、选择题：共12题
1．已知集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查集合的基本运算、对数的性质.，由对数的性质可知,则,即,则,所以
2．设复数满足为虚数单位)，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查复数的四则运算与模、共轭复数.
，则
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查函数的性质，考查了基本函数的性质的掌握情况.易知四个函数均为偶函数；A.在区间上单调递减；B.在区间上单调递减；C.在区间上单调递增减；D.在区间上单调递增，故答案为D.
4．的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查定积分.
5．若变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为
A.1 B.7 C.-1 D.-7
【答案】A
【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知，当直线过点B()时，目标函数取得最大值7，即,则a=1
6．甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有
A.144种 B.180种 C.288种 D.360种
【答案】C
【解析】本题主要考查有限制条件的排列组合问题，考查了逻辑推理能力.因为甲乙两人不在同一排也不在同一列，所以这6名同学的站队方法有种
7．在中，，点是边上的动点，且, ,，则当取得最大值时，的值为
A. B.3 C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查平面向量的基本定理与模.因为点是边上的动点，且，所以，则,当且仅当时，取得最大值，此时
8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入分别为17,14，则输出的=
b
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】D
【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图、更相减损术，考查了逻辑思维能力.运行程序：a=17,b=14;a=3;b=11;b=8;b=5;b=2;a=1;b=1.此时，不满足条件，输出结果，则a=1
9．已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为3r、高是4r的四分之一圆锥，右边是一个底面是直角边长为3r的直角三角形、高是4r的三棱锥，则,则r=2，则该几何体的表面积为
10．在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为
A.1- B.1- C.1- D.1-
【答案】B
【解析】本题考查了几何概型的有关知识,以函数零点为背景对概率进行考查,体现了在知识点的交汇处命题的思想.由函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点,可得Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,整理得a2+b2≥π2,如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点,试验的全部结果构成的区域为Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π},其面积SΩ=(2π)2=4π2.事件A表示函数f(x)有零点,所构成的区域为M={(a,b)|a2+b2≥π2},即图中阴影部分,其面积为SM=4π2-π3,故P(A)===1-,所以选B.
11．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的方程与性质，考查了逻辑思维能力与计算能力.由已知可知的焦点F(,0),设上交点为A，下交点为B，联立方程bx-ay=0与可得点A的坐标为(),由已知可得渐近线bx+ay=0与直线AF垂直，则,化简可得的离心率e=
12．定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查导数的运算，考查了逻辑思维能力与计算能力.,，由题意可知，关于x的方程在区间上有两个不等的实数根，令在区间(上有两个零点，因为,且,求解可得
二、填空题：共4题
13．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边在射线上,则 .
【答案】
【解析】本题主要考查任意角的三角函数.因为角的始边与轴非负半轴重合，终边在射线上,所以，则.
14．的展开式中的系数为 .(用数字作答)
【答案】70
【解析】本题主要考查二项式定理.通项,令，得r=4，此时的展开式中的系数为.
15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则
【答案】1
【解析】本题主要考查数列的递推公式及其数列的应用，考查了逻辑思维能力与计算能力.由题意可得，因为,所以
16．已知，
当时，,则 .
当时，若有三个不等实数根，且它们成等差数列，则___________.
【答案】4，
【解析】本题主要考查分段函数的求解，考查了逻辑推理能力与计算能力. 当时，则或，所以无解或x=4，故方程的解为x=4；当时，若，当x>0时，函数是增函数，此时有1个实根4；当时，函数是增函数，此时有1个实根；因为三个根成等差数列，所以，当时，有1个实根，即，则，故答案：4；
三、解答题：共7题
17．已知数列中，其前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，若数列为递增数列，求的取值范围.
【答案】(1)，，
，，
，.
(2)，
，
数列为递增数列，，即.
令，则，
为递增数列，，即的取值范围为.
【解析】本题主要考查的应用、数列通项公式的求法，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，，两相减可得，则结论易得；(2)化简，构造数列，令，证明数列是递增数列，则可得结论.
18．某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的1200个数据(数据均在区间内)中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按，，，，分组，整理如下图：
(1)写出频率分布直方图(图乙)中的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售的方差分别为，，试比较与的大小(只需写出结论)；
(2)从甲种酸奶机日销量在区间的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列；
(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间中的个数.
【答案】(1)由图(乙)知，解得，.
(2)的所有可能取值1，2，3.
则，，，
其分布列如下：
(3)由图(甲)知，甲种酸奶的数据共抽取个，
其中有4个数据在区间内，又因为分层抽样共抽取了个数据，
乙种酸奶的数据共抽取个，
由(I)知，乙种酸奶的日销量数据在内的频率为,
故乙种酸奶的日常销量数据在区间内有个.
故抽取的个数据，共有个数据在区间内.
所以，在1200个数据中，在区间内的数据有160个.
【解析】本题主要考查频率分布直方图、由样本数据估计总体、随机变量的分布列，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由频率分布直方图的几何意义可得，即可求出a的值，根据两个频率分布直方图可得结论；(2)的所有可能取值1，2，3，求出每个变量的概率即可得X的分布列；(3)由图(甲)知，甲种酸奶的数据共抽取个，则乙种酸奶的数据共抽取个，易得乙种酸奶的日常销量数据在区间内有个，故抽取的个数据，共有个数据在区间内，则结论易得.
19．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.
(1)求证：平面；
(2)若，求与所成角的余弦值：
(3)当平面与平面垂直时，求的长.
【答案】(1)因为四边形是菱形,所以，又因为平面，所以又，所以平面PAC.
(2)设.因为,.所以，，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，所以，，.
设与所成角为，则.
(3)由(2)知，设.则，设平面的法向量，则，所以，令，则，，所以.
同理，平面的法向量.
因为平面平面，所以，即，解得.所以.
【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、异面直线所成的角、空向量的应用，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，证明，，则结论易得；(2) 设，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设与所成角为，利用向量的夹角公式求解即可；(3) 设，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量,由题意，求解即可.
20．已知椭圆过点且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)设椭圆的半焦距为.因为点在椭圆上，所以.故.
又因为，所以，.所以椭圆的标准方程为：.
(Ⅱ)设，，线段中点为.
联立和，得：.由，可得.
所以，.
所以中点为.
弦长=，
又直线与轴的交点，
所以.
所以.
所以、两点间距离为定值.
【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的方程，考查了方程思想与弦长公式、逻辑思维能力与计算能力.(1)由题意可知,则结论易得；(2)联立和，由韦达定理，结合弦长公式与两点间的距离公式，由题意可知，则易得结论.
21．设函数，，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，试求的取值范围；
(3)证明.
【答案】(1)函数的定义域是，.
当时，，.
所以函数在点处的切线方程为.
即.
(2)函数的定义域为，由已知得.
①当时，函数只有一个零点；
②当，因为，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又，，
因为，所以，所以，所以
取，显然且
所以，.
由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.
③当时，由，得，或.
当，则.
当变化时，，变化情况如下表：
注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意.
当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意.
若，则.
当变化时，，变化情况如下表：
注意到当，时，，，所以函数至多有一个零点，不符合题意.
综上，的取值范围是.
(3)证明：.
设，其定义域为，则证明即可.
因为，取，则，且.
又因为，所以函数在上单增.
所以有唯一的实根，且.
当时，；当时，.
所以函数的最小值为.
所以.
所以.
【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的极点与单调性，考查了函数的构造、分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)求导可得切线的斜率，则可得结论；(2)，当时，易得函数只有一个零点，不符合题意；当时，易得函数的单调性，此时求出函数的最小值，则易得结论；当时，由，得，或,再讨论函数的单调性求解即可；(3) 设，证明即可，求导并判断函数的单调性，求出最小值，则易得结论.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标.
【答案】(1)的普通方程为，的直角坐标方程为.
(2)由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、三角函数与点到直线的距离公式，考查了计算能力.(1)消去参数可得曲线C1的普通方程，将展开化简，再利用公式,可得曲线C2的直角坐标方程；(2) 由题意，可设点的直角坐标为，由(1)可得到的距离，则结论易得.
23．已知关于的不等式的解集为.
(1)求的最大值；
(2)已知，，，且,求的最小值及此时，，的值.
【答案】(1)因为，
当或时取等号，
令所以或.
解得或，
的最大值为1.
(2).
由柯西不等式，，
，等号当且仅当，且时成立.
即当且仅当，，时，的最小值为.
【解析】本题主要考查绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)利用绝对值三角不等式可得，根据题意可得，则结论易得；(2) 由柯西不等式，可得，则结论易得.