2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练37+简单几何体的表面积与体积 9页

课时分层训练(三十七)　 简单几何体的表面积与体积 (对应学生用书第 252 页) A 组　基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋 转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A．2 2π 3 　　　　　　　　 B．4 2π 3 C．2 2π D．4 2π B　[依题意知，该几何体是以 2为底面半径， 2为高的两个同底圆锥组成的 组合体，则其体积 V＝1 3π( 2)2×2 2＝4 2 3 π.] 2．已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则 该球的体积为(　　) A．32π 3 B．4π C．2π D．4π 3 D　[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为 R， 则 2R＝ 12＋12＋( 2)2＝2，解得 R＝1，所以 V＝4π 3 R3＝4π 3 .] 3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图 7­2­10 所示(单位：cm)，则该几何体 的体积(单位：cm3)是(　　) 【导学号：00090237】 图 7­2­10 A．π 2 ＋1 B．π 2 ＋3 C．3π 2 ＋1 D．3π 2 ＋3 A　[由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥 的一半与一个底面为直角边长是 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组 合体， ∴该几何体的体积 V＝1 3 ×1 2π×12×3＋1 3 ×1 2 × 2× 2×3＝π 2 ＋1. 故选 A．] 4．某几何体的三视图如图 7­2­11 所示，且该几何体的体积是 3，则主视图中的 x 的值是(　　) 图 7­2­11 A．2 B．9 2 C．3 2 D．3 D　[由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且 S 底＝1 2 ×(1＋2)×2 ＝3， ∴V＝1 3x·3＝3，解得 x＝3.] 5．一个四面体的三视图如图 7­2­12 所示，则该四面体的表面积是(　　) 图 7­2­12 A．1＋ 3 B．2＋ 3 C．1＋2 2 D．2 2 B　[四面体的直观图如图所示．侧面 SAC⊥底面 ABC， 且△SAC 与△ABC 均为腰长是 2的等腰直角三角形， SA＝SC＝AB＝BC＝ 2，AC＝2. 设 AC 的中点为 O，连接 SO，BO，则 SO⊥AC， ∴SO⊥平面 ABC，∴SO⊥BO. 又 OS＝OB＝1，∴SB＝ 2， 故△SAB 与△SBC 均是边长为 2的正三角形，故该四面体的表面积为 2×1 2 × 2× 2＋2× 3 4 ×( 2)2＝2＋ 3.] 二、填空题 6．现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆 柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的 新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______． 7　[设新的底面半径为 r，由题意得 1 3 ×π×52×4＋π×22×8＝1 3 ×π×r2×4＋π×r2×8， ∴r2＝7，∴r＝ 7.] 7．一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等， 则该六棱锥的侧面积为________． 【导学号：00090238】 12　[设正六棱锥的高为 h，棱锥的斜高为 h′. 由题意，得1 3 ×6×1 2 ×2× 3×h＝2 3， ∴h＝1， ∴斜高 h′＝ 12＋( 3)2＝2， ∴S 侧＝6×1 2 ×2×2＝12.] 8．某几何体的三视图如图 7­2­13 所示，则该几何体的体积为________． 图 7­2­13 13 6 π　[由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体， 其体积为 π×12×2＋1 2 ×1 3π×12×1＝13 6 π.] 三、解答题 9．(2018·福州模拟)已知底面为正方形的四棱锥 P­ABCD，如图(1)所示，PC⊥平 面 ABCD，其中图(2)为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为 4 cm 的全 等的等腰直角三角形． (1)根据图(2)所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的 面积； (2)求四棱锥 P­ABCD 的侧面积． 图 7­2­14 [解]　(1)该四棱锥的俯视图为内含一条对角线，边长为 4 cm 的正方形，俯视 图如图所示，其面积为 16 cm2 (2)侧面积为 2×1 2 ×4×4＋2×1 2 ×4×4 2＝16＋16 2 10．如图 7­2­15，从正方体 ABCD­A1B1C1D1 的 8 个顶点中选出的 4 个点恰为一 个正四面体的顶点． 图 7­2­15 (1)若选出 4 个顶点包含点 A，请在图中画出这个正四面体； (2)求棱长为 a 的正四面体外接球的半径． [解]　(1)如图所示，选取的四个点分别为 A，D1，B1，C． (2)棱长为 a 的正四面体外接球的半径等于正方体外接球的半径等于正方体对 角线长的一半，因为正四面体的棱长 a，所以正方体的边长为 2 2 a，因此外接 球的半径为 3 2 × 2 2 a＝ 6 4 A． B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何 体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图 7­2­16 所示．若该几何体的表 面积为 16＋20π，则 r＝(　　) 图 7­2­16 A．1　　　　 B．2　　　　 C．4　　　　 D．8 B　[如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合 体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则 表面积 S＝1 2 ×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又 S＝ 16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选 B．] 2．(2018·赣州模拟)在四面体 SABC 中，SA⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，SA＝AC＝ 2，AB＝1，则该四面体的外接球的表面积为________. 【导学号：00090239】 8π　[设四面体 SABC 的外接球的半径为 r，四面体 SABC 可看成如图所示的 长方体的一部分，则四面体的外接球的球心为 SC 的中点，∴2r＝SC＝ SA2＋AC2＝ 22＋22＝2 2，∴r＝ 2，∴该四面体的外接球的表面积 S＝8π. ] 3．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点 和底面圆周都在这个球面上，如图 7­2­17，已知圆锥底面面积是这个球面面 积的 3 16 ，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r. (1)试确定 R 与 r 的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比； (2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比． 图 7­2­17 [解]　(1)不妨设球的半径为 4； 则球的表面积为 64π，圆锥的底面积为 12π， ∴圆锥的底面半径为 2 3； 由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三 者可以构成一个直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是 42－(2 3)2＝2， 所以圆锥体积较小者的高为 4－2＝2， 同理可得圆锥体积较大者的高为 4＋2＝6； 又由这两个圆锥的底面相同， ∴较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比，即 3∶1 (2)由(1)可得两个圆锥的体积和为1 3·π·(2 3)2·8＝32π， 球的体积为4 3·π·43＝256 3 π， 故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为 32π∶256 3 π＝3∶8