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- 2021-06-07 发布
牡一中2016级高二学年下学期4月月考
数学理科试题
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）
1．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 ( )
A． B． C． D．
2．等于（ ）
A．990 B．165 C．120 D．55
3．二项式的展开式的常数项为第（ ）项
A． 17 B．18 C．19 D．20
4．设随机变量服从B（6，），则P（=3）的值是（ ）
A． B． C． D．
5．随机变量服从二项分布～，且，则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 0
6．某厂生产的零件外直径ξ~N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm和9.3cm，则可认为（ ）
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B．上午生产情况异常,下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常
7．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（ ）
A．0.59 B．0.54 C．0.8 D．0.15
8.设存在导函数且满足，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C ．1 D．2
9.①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点，，…，中的一个点；
②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；
③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；
④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为( )
A． ①④ B．②④ C．①③ D．②③
10. 过曲线图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，
则当△ x=0.5时割线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
11.计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
12.样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则n,m的大小关系为( )
A． B． C． D．不能确定
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知 ，则 _________．
14.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
15.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．
16.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球。乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和，表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是____(写出所有正确结论的编号)．
① ；②P(B|)=；
③事件B与事件相互独立；④两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与中究竟哪一个发生有关
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）已知，且（1－2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋anxn．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a1＋a2＋a3＋……＋an的值．
18.（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量为取出2球中白球的个数，已知．
（Ⅰ）求袋中白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望．
19.（本题满分12分） 某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：
编号
性别
投篮成绩
3
男
90
7
女
60
11
男
75
15
男
80
19
女
85
23
男
80
27
男
95
31
男
80
35
男
80
39
女
60
43
男
75
47
女
55
甲抽取的样本数据
编号
性别
投篮成绩
1
男
95
8
男
85
10
男
85
17
男
80
23
男
60
24
男
90
27
男
80
31
女
80
35
女
65
37
女
35
41
女
60
46
女
75
乙抽取的样本数据
（Ⅰ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？
优秀
非优秀
合计
男
女
合计
12
（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.
下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
20． （本题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年 份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－．
21.（本题满分12分）如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估
计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，
则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，
的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，
以表示落入中的点的数目．
（I）求的均值；
（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值
与实际值之差在区间内的概率．
附表：
22.（本题满分12分）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
（Ⅰ）请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数.
月考答案
1——6 BBCABA 7——12 AADBAA
13.1或3 14.185 15 0.75 16.（2） （4）
17.17（Ⅰ）由得：
n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）＝56 ·
即（n－5）（n－6）＝90
解之得：n＝15或n＝－4（舍去）．
∴ n＝15．
（Ⅱ）当n＝15时，由已知有：
（1－2x）15＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋a15x15，
令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－1，
令x＝0得：a0＝1，
∴a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2．
18.（Ⅰ）设袋中有白球n个，则， 解得n=6．
（Ⅱ）因为,所以随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
得.
19、（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人．
X的所有可能取值为．……………………………………………………1分
所以，，．…4分
故的分布列为
…………………………………………5分
∴． ……6分
（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下：
优秀
非优秀
合计
男
6
1
7
女
1
4
5
合计
7
5
12
…………7分
的观测值3.841，……………………………9分
所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分
（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分
由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显 差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………12分
20.
【解析】(1)由已知得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3．
(2)由(1)知，＝0.5＞0，
故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
21依题意知．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）依题意所求概率为，
．
22.解: （Ⅰ）该市公众对“车辆限行”的赞成率约为：．…………1分
被调查者年龄的平均约为：…2分
（Ⅱ）依题意得：………………………………………………………3分
………………………………………6分
所以的分布列是：
[]
[来源]
所以的数学期望． ……………………………………………………8分
（Ⅲ）,其中. …………………………………9分
，…………………………………10分
当即时，；
当即时，.……………11分
即；.
故有：取得最大值时. ………………………………………12分