黑龙江省大庆第一中学2019届高三上学期第三次（12月）月考 文科数学 4页

大庆一中高三上学期第三次月考 数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题分别给出四个选项，只 有一个选项符合题意） 1．复数 2 5 i 的共轭复数是( ) A. 2i B. 2i C. i 2 D. i2 2． 已知集合 { | 3 0}M x x    Z , { | 1 1}N x x  Z ≤ ≤ ,则图中阴影部分表示的集合为( ) A. {－2} B. {－2,－1} C. {－2,－1,0} D. {－2,－1,0,1} 3．已知向量 (1,1), (2, ),a b x   若 a b  与 4 2b a  平行，则实数 x 的值是( ) A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 4．若点 (cos ,sin )P   在直线 2y x  上，则sin 2 2cos2  =( ) A. 14 5  B. 7 5  C. 2 D. 4 5 5．已知{ }na 是首项为 1 的等比数列， nS 是{ }na 的前 n 项和，且 3 69S S ，则数列 1{ } na 的前 5 项和为( ) A． 85 32 B． 16 31 C． 8 15 D． 85 2 6．将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，其正视图和俯视图如图所示. 此时连结顶点 B、D 形成三棱锥 B－ACD，则其侧视图的面积为( ) A. 1 B. 1 2 C. 1 4 D. 1 8 7．已知双曲线 C: ( )的一条渐近线方程为 ,且半焦距 ，则双 曲线 C 的方程为( ) A． B． C． D． 8．已知定义域为 R 的偶函数 ( )f x 在( ,0] 上是减函数，且 1( ) 02f  ，则不等式 2(log ) 0f x  的 解集为( ) A. 2(0, ) ( 2, )2  B. ( 2, ) C. 1(0, ) (2, )2  D. 1(0, )2 9.已知 x，y 为正实数，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 10．四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD为正方形 ，且 PD 垂直于 底面 ABCD， N 为 PB 中点，则三棱锥 P ANC 与四棱锥 P ABCD 的体积比为( ) A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:8 11.直线 01 ayax 与圆 0122222  ayaxa 有公共点 ),( 00 yx ，则 00 yx  的最大值为 （ ） A. 4 1 B. 9 4 C. 3 4 D. 2 12. f(x)=2sinx+sin2x,则 f(x)的最小值是 （ ） A. 2 33 B. 3 3 C. 3 32 D. 3 二．填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．若命题“ 2,2 3 9 0x x ax    R ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 . 14.已知 z=2x+y，x，y 满足 且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是______． M N U A B CD P N 正视图 俯视图 A B C D 15.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积 为______． 16．点 M 是抛物线 x2=2py（p＞0）的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点，P 在抛物线 上，在 △ PFM 中，sin ∠ PFM=λsin ∠ PMF，则λ的最大值为______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 17．（本小题满分 12 分） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ． 求 ； 若 ， 的面积为 2，求 b． 18．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足 1 1a  ， 1 2 1( *)n na a n    N . ⑴求证：数列{ 1}na  是等比数列，并写出数列{ }na 的通项公式； ⑵若数列 nb 满足  31 2 1 11 14 4 4 4 1n nb bb b na        , 求数列 nb 的前 n 项和 nS . 19．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥ 底面 ABCD，AD ∥ BC， AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD， N 为 PC 的中点． （1）证明：MN ∥ 平面 PAB； （2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 20．（本小题满分 12 分） 已知两点 A 、 B 分别在直线 y x 和 y x  上运动，且 4 5| | 5AB  ，动点 P 满足 2OP OA OB    (O 为坐标原点)，点 P 的轨迹记为曲线C . (1) 求曲线 C 的方程； (2) 过曲线C 上任意一点作它的切线l ，与椭圆 2 2 14 x y  交于 M、N 两点， 求证：OM ON  为定值. 21．（本小题满分 12 分） 已 知 函 数 3 2 , ( 1)( ) ln , ( 1) x ax bx xf x c x x        ≥ 的 图 像 在 点 ( 2, ( 2))f  处 的 切 线 方 程 为 16 20 0x y   . ⑴求实数 a 、 b 的值； ⑵求函数 ( )f x 在区间[ 1,2] 上的最大值； 请考生在 22、23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.(10 分) 22．在直角坐标系 xOy 中，以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标 方程为 1)3sin(   ， NM, 分别为曲线C 与 x 轴， y 轴的交点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求出 NM, 的极坐标；[来源:Z.xx.k.Com] （2）设 MN 的中点为 P ，求直线OP 的极坐标方程. 23．已知函数 f（x）=|2x+3|+|2x-1|． （Ⅰ）求不等式 f（x）＜8 的解集； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 f（x）≤|3m+1|有解，求实数 m 的取值范围． 高三第三次月考数学（文科）试题参考答案 一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.D 8.A 9.D 10.C 11.B 12.A 13. [ 2 2,2 2] 14. 1/4 15. 3 /4 16. 2 17.. 解：（1） ∵ sin（A+C）=8sin2 ， ∴ sinB=4（1-cosB）， ∵ sin2B+cos2B=1， ∴ 16（1-cosB）2+cos2B=1， ∴ 16（1-cosB）2+cos2B-1=0， ∴ 16（cosB-1）2+（cosB-1）（cosB+1）=0， ∴ （17cosB-15）（cosB-1）=0， ∴ cosB= ；----------------------------------(6 分) （2）由（1）可知 sinB= ， ∵ S △ ABC= ac•sinB=2， ∴ ac= ， ∴ b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2× × =a2+c2-15=（a+c）2-2ac-15=36-17-15=4， ∴ b=2． -----------------------------------------------------------------------------------（12 分） 18. 证明：（1） 121  nn aa ， )1(211   nn aa ， 又 1 1a  ，∴ 1 1a  ≠0， 1na  ≠0，∴ 1 1 21 n n a a    ， ∴数列 }1{ na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列. 1 2n na  即 ，因此 12  n na ． (6 分) （2）∵  n n bbbb an 14444 1111 321    ，∴ 2 321 24 nnbbbb n   ， ∴   2 321 22 nnbbbb n   ， (10 分) 即   nnbbbb n 22 2 321   ，∴ 2 1 2 3 1= = .2n nS b b b b n n     （12 分） 19.（1）证明：如图，取 PB 中点 G，连接 AG，NG， ∵ N 为 PC 的中点， ∴ NG ∥ BC，且 NG= ，又 AM= ，BC=4， 且 AD ∥ BC， ∴ AM ∥ BC，且 AM= BC，则 NG ∥ AM，且 NG=AM， ∴ 四边形 AMNG 为平行四边形，则 NM ∥ AG， ∵ AG ⊂ 平面 PAB， NM ⊄ 平面 PAB， ∴ MN ∥ 平面 PAB；--------------(6 分) （2）解：在 △ AMC 中，由 AM=2，AC=3，cos ∠ MAC= ，得 CM2=AC2+AM2-2AC•AM•cos ∠ MAC= ． ∴ AM2+MC2=AC2，则 AM ⊥ MC， ∵ PA ⊥ 底面 ABCD，PA ⊂ 平面 PAD， ∴ 平面 ABCD ⊥ 平面 PAD，且平面 ABCD∩平面 PAD=AD， ∴ CM ⊥ 平面 PAD，则平面 PNM ⊥ 平面 PAD．在平面 PAD 内，过 A 作 AF ⊥ PM，交 PM 于 F，连接 NF，则 ∠ ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角．在 Rt △ PAC 中，由 N 是 PC 的中点，得 AN= = ， 在 Rt △ PAM 中，由 PA•AM=PM•AF，得 AF= ， ∴ sin ． ∴ 直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 ． -----（12 分） 20. 解：⑴(方法一)设 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ).P x y A x x B x x ∵ 2OP OA OB    ，∴ P 是线段 AB 的中点，∴ 1 2 1 2 ,2 .2 x xx x xy     (2 分) ∵ 4 5| | 5AB  ，∴ 2 2 1 2 1 2 16( ) ( ) 5x x x x    ，∴ 2 2 16(2 ) (2 ) 5y x  . ∴化简得点 P 的轨迹C 的方程为 2 2 4 5x y  . (5 分) (方法二)∵ 2OP OA OB    ，∴ P 为线段 AB 的中点. (2 分) ∵ M 、 N 分别在直线 y x 和 y x  上，∴ 90AOB   . 又 4 5| | 5AB  ，∴ 2 5| | 5OP  ，∴点 P 在以原点为圆心， 2 5 5 为半径的圆上. ∴点 P 的轨迹 C 的方程为 2 2 4 5x y  . (5 分) ⑵证明：当直线 l 的斜率存在时，设 l: y＝kx＋m， ∵l 与 C 相切，∴ |m| 1＋k2 ＝2 5 5 ，∴ 2 24 (1 )5m k  . 联立 2 24 4 y kx m x y     ＝ ＋ ，∴ 2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m     . 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 1 2 2 8 1 4 kmx x k     ，x1·x2＝4m2－4 1＋4k2 ，. (8 分) ∴OM  ·ON  ＝x1x2＋y1y2＝   mkxmkxxx  2121 =     2 2121 21 mxxkmxxk  = 5m2－4k2－4 1＋4k2 . 又 2 24 (1 )5m k  ，∴OM  ·ON  ＝0. (10 分) 当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x＝±2 5 5 ，带入椭圆方程得 M(2 5 5 ，2 5 5 )，N(2 5 5 ，－2 5 5 ) 或 M(－2 5 5 ，2 5 5 )，N(－2 5 5 ，－2 5 5 )， 此时，OM  ·ON  ＝4 5 －4 5 ＝0. 综上所述，OM  ·ON  为定值 0. (12 分) 21.解：⑴当 1x  时， 2( ) 3 2f x x ax b     . 因为函数图像在点 ( 2, ( 2))f  处的切线方程为16 20 0x y   . 所以切点坐标为 ( 2,12) ，并且 ( 2) 8 4 2 12, ( 2) 12 4 16, f a b f a b               解得 1, 0a b  . (5 分) ⑵由⑴得，当 1x  时， 3 2( )f x x x   ， 令 2( ) 3 2 0f x x x     可得 0x  或 2 3x  ， ( )f x 在 ( 1,0) 和 2( ,1)3 上单调递减，在 2(0, )3 上单调递增， 对于 1x  部分： ( )f x 的最大值为 2max{ ( 1), ( )} ( 1) 23f f f    ； 当1 2x≤ ≤ 时， ( ) lnf x c x  ， 当 0c ≤ 时， ln 0c x ≤ 恒成立， ( ) 0 2f x ≤ ，此时 ( )f x 在 [ 1,2] 上的最大值为 ( 1) 2f   ； 当 0c  时， ( ) lnf x c x  在[1,2] 上单调递增，且 (2) ln 2f c  . 令 ln 2 2c  ，则 2 ln 2c  ， 所以当 2 ln 2c  时， ( )f x 在[ 1,2] 上的最大值为 (2) ln 2f c  ； 当 20 ln 2c ≤ 时， ( )f x 在[ 1,2] 上的最大值为 ( 1) 2f   . 综上可知，当 2 ln 2c ≤ 时， ( )f x 在[ 1,2] 上的最大值为 2 ； 当 2 ln 2c  时， ( )f x 在[ 1,2] 上的最大值为 ln 2c . (12 分) 22．（1）C 的直角坐标方程为 23  xy ， )2,2(),0,3 32( NM  注：M 点还可写成 ),3 32( M ------------------------------------------（5 分） （2）由（1）知 P 的直角坐标为 )1,3 3( ，则点 P 的极坐标为 )3 2,3 32(  ，所以直线OP 的 极坐标方程为 R  ,3 2 ------------------------------------------（10 分） 23 解：（Ⅰ）不等式 f（x）＜8，即|2x+3|+|2x-1|＜8， 可化为① 或② 或③ ，…（3 分） 解①得- ＜x＜- ，解②得- ≤x≤ ，解③得 ＜x＜ ， 综合得：- ＜x＜ ，即原不等式的解集为{x|- ＜x＜ }．…（5 分） （Ⅱ）因为 ∵ f（x）=|2x+3|+|2x-1|≥|（2x+3）-（2x-1）|=4， 当且仅当- ≤x≤ 时，等号成立，即 f（x）min=4，…（8 分） 又不等式 f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤- 或 m≥1．…（10 分）