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- 2021-06-07 发布
2016-2017学年吉林省松原市油田实验中学高二（上）期初数学试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为（ ）
A．0 B．n C．na1 D．a1n
2．如果f（n+1）=f（n）+1，（n∈N*） 且f（1）=2，则f
A．102 B．99 C．100 D．101
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，b=，B=120°，则sinC等于（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（ ）
A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51
5．如果数列{an}的前n项和Sn=an﹣3，那么这个数列的通项公式是（ ）
A．an=2（n2+n+1） B．an=3×2n C．an=3n+1 D．an=2×3n
6．在等比数列{an}中，Sn=48，S2n=60，则S3n等于（ ）
A．26 B．27 C．62 D．63
7．在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=（ ）
A．30°或120° B．60° C．60°或120° D．30°
8．实数等比数列{an}，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}中（ ）
A．任意一项都不为零 B．必有一项为零
C．至多有有限项为零 D．可以有无数项为零
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ）
A．120° B．60° C．45° D．30°
12．在△ABC中，若=，则B的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
13．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为（ ）
A．52 B．2 C．16 D．4
二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）
14．等差数列{an}中，Sn=40，a1=13，d=﹣2时，n= ．
15．在等比数列{an}中，a1=1，an=﹣512，Sn=﹣341，则q= ，n= ．
16．若数列{an}是等差数列，a3，a10是方程x2﹣3x﹣5=0的两根，则a5+a8= ．
17．在等比数列{an}中，a4a5=32，log2a1+loga2+…+log2a8= ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
18．已知等比数列1，a，b，﹣8，…，此数列的第7项是 ．
19．等比数列{an}中，a3=﹣1，求a1a2a3a4a5的值．
20．数列{an}中，a1=1，an+1=an+2（n∈N*），求a8的值．
21．在△ABC中，若sinAcosB=sinC，判断△ABC的形状．
22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若=1，求角A的大小．
23．已知等差数列{an}的前10项和S10=﹣40，a5=﹣3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=an+2（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
2016-2017学年吉林省松原市油田实验中学高二（上）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为（ ）
A．0 B．n C．na1 D．a1n
【考点】数列的求和．
【分析】根据数列的性质，若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则这个数列是非零的常数数列，即即a1=a2=a3=…an，易得答案．
【解答】解：若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则这个数列是非零的常数数列，
即a1=a2=a3=…an，
则这个数列的前n项和为a1+a2+a3+…+an=na1
故选C．
2．如果f（n+1）=f（n）+1，（n∈N*） 且f（1）=2，则f
A．102 B．99 C．100 D．101
【考点】函数的值．
【分析】由已知，得出f（n+1）﹣f（n）=1，判断出数列{f（n）}是等差数列，求出其通项公式后，再求f=f（n）+1，n∈N*，移向得f（n+1）﹣f（n）=1，
∴数列{f（n）}是以f（1）=2为首项，以1为公差的等差数列，
∴f（n）=2+（n﹣1）×1=n+1，
所以f△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，b=，B=120°，则sinC等于（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】由条件利用正弦定理求得sinC的值．
【解答】解：△ABC中，∵c=，b=，B=120°，∴由正弦定理可得 =，即 =，∴sinC=，
故选：D．
4．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（ ）
A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据特殊数列an=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案．
【解答】解：取满足题意的特殊数列an=0，即可得到a3+a99=0
故选：C．
5．如果数列{an}的前n项和Sn=an﹣3，那么这个数列的通项公式是（ ）
A．an=2（n2+n+1） B．an=3×2n C．an=3n+1 D．an=2×3n
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【分析】利用数列中an与 Sn关系，得出，且a1=6，由此判定数列为等比数列，通项公式可求．
【解答】解：当n=1时，，解得a1=6．当n≥2时，an=Sn﹣S n﹣1=，化简整理，
所以数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．通项公式an=6×3 n﹣1=2×3 n．
故选D．
6．在等比数列{an}中，Sn=48，S2n=60，则S3n等于（ ）
A．26 B．27 C．62 D．63
【考点】等比数列的性质．
【分析】由数列{an}是等比数列，可得其前n项和Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n也成等比数列．即可得出．
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，∴其前n项和Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n也成等比数列．
∴（60﹣48）2=48×（S3n﹣60），解得S3n=63．
故选：D．
7．在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=（ ）
A．30°或120° B．60° C．60°或120° D．30°
【考点】正弦定理．
【分析】由题意和正弦定理求出sinA的值，再由内角的范围和边角关系求出角A的值．
【解答】解：由题意知，a=2，b=2，∠B=45°，
由正弦定理得，，
则sinA===，
因为0＜A＜180°，且a＞b，所以A=60°或120°，
故选：C．
8．实数等比数列{an}，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}中（ ）
A．任意一项都不为零 B．必有一项为零
C．至多有有限项为零 D．可以有无数项为零
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】举摆动数列：1，﹣1，1，﹣1…，可得结论．
【解答】解：摆动数列：1，﹣1，1，﹣1…
为公比q=﹣1的等比数列，
显然数列{Sn}中有无数项为零，
故选：D
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理；等比数列．
【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．
【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，
由c=2a，则b=a，
=，
故选B．
11．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ）
A．120° B．60° C．45° D．30°
【考点】余弦定理．
【分析】先根据a2=b2+bc+c2，求得bc=﹣（b2+c2﹣a2）代入余弦定理中可求得cosA，进而求得A．
【解答】解：根据余弦定理可知cosA=
∵a2=b2+bc+c2，
∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）
∴cosA=﹣
∴A=120°
故选A
12．在△ABC中，若=，则B的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理列出关系式，结合已知等式得到sinA=cosA，即tanA=1，即可求出B的度数．
【解答】解：由正弦定理得： =，即=，
∵=，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
则B=45°．
故选：B
13．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为（ ）
A．52 B．2 C．16 D．4
【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】解方程5x2﹣7x﹣6=0可得cosθ=﹣，利用余弦定理求出第三边的长即可．
【解答】解：解方程5x2﹣7x﹣6=0可得此方程的根为2或﹣，
故夹角的余弦cosθ=﹣，
∴由余弦定理可得三角形的另一边长为： =2．
故选B．
二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）
14．等差数列{an}中，Sn=40，a1=13，d=﹣2时，n= 4或10 ．
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．
【分析】首先由a1和d求出sn，然后令sn=2005，解方程即可．
【解答】解：∵{an}是等差数列，a1=13，d=﹣2，
∴sn=na1+d=13n+×（﹣2）=﹣n2+14n，
∵Sn=40，
∴﹣n2+14n=40，
解得n=4或n=10，
故答案为4或10．
15．在等比数列{an}中，a1=1，an=﹣512，Sn=﹣341，则q= ﹣2 ，n= 10 ．
【考点】等比数列的性质．
【分析】首先判断出q≠1，否则a1=an，再利用等比数列通项公式、求和公式表示出an，Sn，解方程组即可
【解答】解：由已知，显然q≠1，否则a1=an，由等比数列通项公式、求和公式得
qn﹣1=﹣512， =﹣341，
解得q=﹣2，n=10
故答案为：﹣2，10
16．若数列{an}是等差数列，a3，a10是方程x2﹣3x﹣5=0的两根，则a5+a8= 3 ．
【考点】等差数列的性质；根与系数的关系．
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得a3 +a10=3，再由等差数列的定义和性质a5+a8=a3 +a10，从而得出结论．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，a3，a10是方程x2﹣3x﹣5=0的两根，∴a3 +a10=3．
再由差数列的定义和性质可得 a5+a8=a3 +a10=3．
故答案为 3．
17．在等比数列{an}中，a4a5=32，log2a1+loga2+…+log2a8= 20 ．
【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．
【分析】利用等比数列的定义和性质，把要求的式子化为log2（a4a5）4，把条件代入并利用对数的运算性质求出结果．
【解答】解：正项等比数列{an}中，
∵log2a1+log2a2+…+log2a8 =log2[a1a8•a2a7•a3a6•a4a5]=log2（a4a5）4
=log2324=20，
故答案为：20
三、解答题（共6小题，满分70分）
18．已知等比数列1，a，b，﹣8，…，此数列的第7项是 64 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】直接由给出的等比数列的首项和第四项求出公比，然后再带入通项公式即可求解．
【解答】解：在等比数列1，a，b，﹣8，…，中，a1=1，a4=﹣8，
设其公比为q，
所以﹣8=1×q3，则q=﹣2．
所以=64．
故答案为64．
19．等比数列{an}中，a3=﹣1，求a1a2a3a4a5的值．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的性质即可得出．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a2a3a4a5=（a1a5）（a2a4）•a3=•a3=（﹣1）5=﹣1．
20．数列{an}中，a1=1，an+1=an+2（n∈N*），求a8的值．
【考点】数列递推式．
【分析】由题意，得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，
【解答】解：由已知递推关系得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以a8=a1+7d=1+2×7=15．
21．在△ABC中，若sinAcosB=sinC，判断△ABC的形状．
【考点】正弦定理．
【分析】利用三角形内角和定理把C转化为π﹣（A+B），再由诱导公式及两角和的正弦展开，求得cosA=0，得到角A可判断三角形形状．
【解答】解：由sinAcosB=sinC=sin（A+B），
得sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，
即cosAsinB=0．
∵sinB≠0，∴cosA=0，则A=90°，
∴△ABC是直角三角形．
22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若=1，求角A的大小．
【考点】余弦定理．
【分析】整理已知可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．
【解答】解：∵=1，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理可得：cosA===，
∵A∈（0，π），
∴A=．
23．已知等差数列{an}的前10项和S10=﹣40，a5=﹣3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=an+2（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】等差数列的前n项和；数列的求和．
【分析】（Ⅰ）设首项为a1和公差为d，根据等差数列通项公式和前n项和公式，代入条件列出方程组，再求出a1和d代入通项公式；
另解：前n项和公式选的是，利用性质“a1+a10=a5+a6”求出a6，再求出公差和通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）的结果代入bn，根据bn的特点选用分组求和法，分别利用等差和等比数列的前n项和公式化简．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1、公差为d．
∵a5=﹣3，S10=﹣40，∴
解得：a1=5，d=﹣2．
∴an=7﹣2n．
另解：∵a5=﹣3，S10=﹣40，
∴．
解得 a6=﹣5．
∴an=a5+（n﹣5）×（﹣2）=7﹣2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，等差数列{an}的首项是5，公差是﹣2．
则=7﹣2n+27﹣2n，
∴
=
=．