2020年高中数学第四章导数的运算法则 4页

‎4．2.3　导数的运算法则 一、基础达标 ‎1．设y＝－2exsin x，则y′等于 ‎(　　)‎ A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)‎ 答案　D 解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．‎ ‎2．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝‎ ‎(　　)‎ A．a B．±a C．－a D．a2‎ 答案　B 解析　y′＝′＝＝，‎ 由x－a2＝0得x0＝±a.‎ ‎3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于 ‎(　　)‎ A．2 B. C．－ D．－2‎ 答案　D 解析　∵y＝＝1＋，‎ ‎∴y′＝－.∴y′|x＝3＝－.‎ ‎∴－a＝2，即a＝－2.‎ ‎4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为 ‎(　　)‎ A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)‎ C．(2,8) D. 答案　B 解析　y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，‎ 则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．‎ 4‎ ‎5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．‎ 答案　4‎ 解析　依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，‎ f′(1)＝g′(1)＋2＝4.‎ ‎6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋‎3f′(0)，‎ 令x＝0，则f′(0)＝0，‎ ‎∴f′(1)＝12＋‎3f′(0)＝1.‎ ‎7．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；‎ ‎(2)y＝x－sin cos .‎ 解　(1)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋‎ ‎3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.‎ 法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，‎ ‎∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.‎ ‎(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，‎ ‎∴y′＝x′－′＝1－cos x.‎ 二、能力提升 ‎8．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为 ‎(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　y′＝＝，‎ 故y′|＝，‎ ‎∴曲线在点M处的切线的斜率为.‎ 4‎ ‎9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ‎(　　)‎ A．[0，) B．[，)‎ C．(，] D．[，π)‎ 答案　D 解析　y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′‎ ‎＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．‎ ‎10．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.‎ 答案　2‎ 解析　令t＝ex，则x＝ln t，所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2.‎ ‎11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．‎ 解　点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.‎ 当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；‎ 当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，‎ 则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，‎ 即27x－y－54＝0.‎ 综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.‎ ‎12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．‎ 解　设切点为(x0，y0)，‎ 则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，‎ ‎∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，‎ 又切点(x0，y0)在切线上，‎ ‎∴y0＝3(x－1)x0＋16，‎ 即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，‎ 解得x0＝－2，‎ ‎∴切线方程为9x－y＋16＝0.‎ 4‎ 三、探究与创新 ‎13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．‎ ‎(1)解　由7x－4y－12＝0得y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，‎ ‎①‎ 又f′(x)＝a＋，‎ ‎∴f′(2)＝，‎ ‎②‎ 由①，②得 解之得 故f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知 曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(x－x0)，‎ 即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.‎ 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. ‎ 4‎