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- 2021-06-07 发布
深圳高级中学（集团）2016-2017学年第二学期期中测试
高二数学（理）
命题人：王会丹 审题人：高书洪
本试卷由两部分组成.
第一部分：第一学期前的基础知识和能力考查，共103 分；
选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题，第11题、第12题共35分；
填空题包含第13题、第16题，共10分；
解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分.
第二部分：第一学期后的基础知识和能力考查，共47分;
选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题，共25分；
填空题包含第45题、第15题，共10分；
解答题包含第19题，共12分.
全卷共计150分,考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数满足，则 ( )
A. B. C. D.
3．在等比数列{}中，表示前项和，若，则公比等于( )
A. B. C. 1 D. 3
4．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．24
5．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A. B. C. D. 7
6.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数
的单调递减区间是( )
A. Z B. Z
C. Z D. Z
是
否
开始
结束
输出
7．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
8．设大于0，则3个数：，，的值( )
A．都大于4 B．至少有一个不大于4 C．都小于4 D．至少有一个不小于4
9.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )
A. B. C. D.
10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有( )种
A.27 B. 30 C. 33 D. 36
11．过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为 ，则双曲线的离心率e的值是( )
A. B. C. D.
12．如果对定义在上的函数，对任意，
都有,则称函数为“函数”.给出下列函数:
①；②；③；④.
其中函数是“函数”的个数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）
13.已知平面向量与的夹角为，，，则 .
14．若展开式中的系数为，则__________．
15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是________．
16.在“家电下乡”活动中，某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 元
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
如图，梯形ABCD中，.
(Ⅰ)若求AC的长；
(Ⅱ)若，求的面积.
18．（本题满分12分）
设，数列的前项和为，已知，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.
19. (本小题满分12分)
为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙
两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．
规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．
(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个
优秀成绩的概率；
(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优
秀成绩的人数为 ，求的分布列和数学期望E．
20．（本题满分12分）
如图， 是平行四边形，已知，,平面平面.
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.
21、已知椭圆的两焦点为，，离心率.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值；
（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求的解析式及单调减区间；
（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．
深圳高级中学（集团）2016-2017学年第二学期期中测试
高二数学（理）
命题人：王会丹 审题人：高书洪
本试卷由两部分组成。
第一部分：第一学期前的基础知识和能力考查，共103 分；
选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题，第11题、第12题共35分；
填空题包含第13题、第16题，共10分；
解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分。
第二部分：第一学期后的基础知识和能力考查，共47分
选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题，共25分；
填空题包含第45题、第15题，共10分；
解答题包含第19题，共12分。
全卷共计150分。考试时间120分钟
注意事项：
1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）B
A． B． C． D．
2. 若复数满足，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
2C【解析】
3．在等比数列{}中，表示前项和，若，则公比等于( )
（A） （B） （C）1 （D）3
3D【解析】两式相减得，从而求得.
4．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．24
【答案】C【解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有种方法.故一共有种方法.
5．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
（A） （B） （C） （D）7
5A【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体，其体积为
6.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数
的单调递减区间是( )D
(A) Z (B) Z
(C) Z (D) Z
是
否
开始
结束
输出
7．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由程序框图可知：
……
……
∴周期为3，由，得输出的结果为．
8．设大于0，则3个数：，，的值( )
A．都大于4 B．至少有一个不大于4 C．都小于4 D．至少有一个不小于4
【答案】D
【解析】依题意，令，则三个数为，排除选项.故选.
9.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】（方法一）从部名著中选择部名著的方法数为（种），2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），只有部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），于是事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率. 故选A.
（方法二）从部名著中选择部名著的方法数为（种），部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），由对立事件的概率计算公式得.故选A.
10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有( )种
A.27 B. 30 C. 33 D. 36
10．B 【解析】共有种方案．
11．过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为 ，则双曲线的离心率e的值是( )
A. B. C. D.
【解析】 据题意知椭圆通径长为a，故有＝a⇒a2＝4b2⇒＝，故相应双曲线的离心率e＝
＝＝.【答案】 B
12．如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数:
①；②；③；④.
其中函数是“函数”的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：由已知得，，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故①不满足；，故②满足；，③满足；由分段函数的图象，④不满足.
考点：1、函数单调性的定义；2、利用导数判断函数的单调性；3、分段函数.
二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）
13.已知平面向量与的夹角为，，，则 .2
14．若展开式中的系数为，则__________．
15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是________．
16.在“家电下乡”活动中，某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 元
16. 设甲型货车需要辆，乙型货车需要辆，由题意得不等式组
作出可行域 ，可知，当直线
过点时，
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
如图，梯形ABCD中，.
(Ⅰ)若求AC的长；
(Ⅱ)若，求的面积.
解：（Ⅰ）因为，
所以为钝角，且，，……2分
因为，所以.
在中，由，解得. …5分
（Ⅱ）因为，所以，
故，. …………6分
在中，，
整理得，解得， …………8分
所以. ………10分
18．（本题满分12分）
设，数列的前项和为，已知，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.
解：（Ⅰ）由得： …………………1分
所以数列是以为首项，为公差的等差数列 ……………………………………3分
由成等比数列.即 解得…………………… ……4分
所以， ………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，……………………… ……6分
所以，即
①. …………………………………8分
②. ……………………………10分
①—②可得 ，
所以. …………………………………………………… ……12分
19. (本小题满分12分)
为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两
个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．
规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．
(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个
优秀成绩的概率；
(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优
秀成绩的人数为 ，求的分布列和数学期望E．
19解：(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只
有一个优秀成绩” ……3分
（2）的所有可能取值为0，1，2，3 ……4分
，
……8分
的分布列为
0
1
2
3
……10分
的数学期望为 ……12分
20．（本题满分12分）
如图， 是平行四边形，已知，,平面平面.
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.
解析：（Ⅰ）∵是平行四边形，且
∴，故，即 （ 1分）
取BC的中点F，连结EF，∵，∴ （ 2分）
又∵平面平面，∴平面 （ 3分）
∵平面，∴ （ 4分）
∵平面，∴平面， （ 5分）
∵平面，∴ （ 6分）
（Ⅱ）∵,由（Ⅰ）得 （ 7分）
以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则
∴ （ 8分）
设平面的法向量为，则
，即
得平面的一个法向量为 （ 10分）
由（Ⅰ）知平面，所以可设平面的法向量为 （ 11分）
设平面与平面所成二面角的平面角为，
则
即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.（ 12分）
21、已知椭圆的两焦点为，，离心率.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值；
（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
21.解：（1）设椭圆方程为，
则，，
所求椭圆方程为. --------------------------------------4分
（2）由，消去y，得，
则得 （*）
设，则，，，
解得.，满足（*） -----------------------------8分
（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k<0），则BC边所在直线的方程为，由，得A
用代替上式中的k，得，由，得
k<0，解得：或，故存在三个内接等腰直角三角形.----1２分
22．（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求的解析式及单调减区间；
（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．
22． 解：(Ⅰ) ，………………1分
又由题意有：，故. ……3分
此时，，由或，所以
函数的单调减区间为和. ………………5分
（说明：减区间写为的扣2分. ）
(Ⅱ) ，且定义域为，
要函数无零点，即要在内无解，亦即要
在内无解. ………………6分
构造函数.
①当时，在内恒成立，所以函数在
内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，
在内也无零点，故满足条件； ………………8分
②当时，
⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；
⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件； ……10分
⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点.
又易知，而，又易证当 时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件. …………11分
综上可得：的取值范围为：或. …………12分
（说明：在(Ⅱ)的解答中，若分离变量，再讨论函数的
单调性获得给４分）