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- 2021-06-07 发布
2017-2018学年度第一学期高二期中考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线过圆的圆心，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
2.若，，若，则（ ）
A．， B． ，
C．， D．，
3.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.圆和圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C. 外切 D．内切
5.已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C.3 D．4
6.正方体中，二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C.60° D．135°
7.已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
9.过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A．2 B．1 C. D．
10.如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列正确的是（ ）
A．平面平面
B．平面平面
C. 平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
11.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C. D．
12.三棱锥中，平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.直线与圆相交于两点，则 ．
14.若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为 ．
15.如图，在边长为4的正方形纸片中，与相交于点，剪去，将剩余部分沿折叠，使重合，则折叠后以为顶点的四面体的体积为 ．
16.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积;
(2)求该几何体的表面积.
18.（1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；
（2）求过点、和的圆的方程.
19. 如图，在直三棱柱中，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，求点到平面的距离.
20. 如图，正方体中，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
21. 已知直线，，圆.
（1）证明：直线恒过一定点；
（2）证明：直线与圆相交；
（3）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值.
22.已知四棱锥的底面为直角梯形，，°，底面，且，是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.
2017-2018学年度第一学期高二第二次联考
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
B
B
A
C
A
C
D
D
二、填空题
13. ; 14. ; 15. ; 16. .
三、解答题：
17. 解：
（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，
四棱锥，底面矩形中，
，，对角线交于点
，底面，且．
∴ 该几何体的体积；
（Ⅱ）分别取、的中点、，
连接．
∵ ，
∴平面，．
中，，，故，
∴ ．
同理可求．
∵ 底面矩形的面积为，
∴ 该几何体的表面积．
18.解：
（Ⅰ）由点和点可得，线段的中垂线方程为．
∵ 圆经过和两点，圆心在直线上，
∴ ，解得，即所求圆的圆心，
∴ 半径，所求圆的方程为；
（Ⅱ）设圆的方程为，
∵ 圆过点、和，
∴ 列方程组得 解得，
∴ 圆的方程为．
19.解：
（Ⅰ）证明：连接交于点，连接．
∵ 矩形中，是的中点，又点是的中点，
∴ 中，．
∵ 平面，平面，
∴ 平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是的中点，故点到平面的距离与点到平面 的距离相等，设为．
∵ 中，，是的中点，
∴．
∵ 直三棱柱中，平面，
∴ ，
∴平面，．
在中，，则，；
在中，；
∵ 三棱锥与三棱锥的体积相等，即，
∴ ，解得．
即点到平面的距离为．
20.解：如图，以点为坐标原点，向量分别作为轴的正方向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为，则，，，，，．
（Ⅰ）设平面的法向量，则，即，不妨取
∵，
∴，即平面；
（Ⅱ）∵ ，
∴，即异面直线与所成角的余弦值为．
21.解：
（Ⅰ）直线方程变形为，
由，得，
∴ 直线恒过定点；
（Ⅱ）∵ ，
∴ 点在圆内部，
∴ 直线与圆相交；
（Ⅲ）当时，所截得的弦长最短，此时有，
而，于是，解得.
22.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．
（Ⅰ）因为，，
故，所以．
由题设知，
且与是平面内的两条相交直线，
由此得⊥面，
又面，故平面面．
（Ⅱ）因，，，，，
．
（Ⅲ）设平面的一个法向量为，
则，．
又，，
取，得，，故．
同理可得面的一个法向量为．
∵ ，
∴ 平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为．
2017-2018学年度第一学期高二第二次联考
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
B
B
A
C
A
C
D
D
二、填空题（每题5分，共20分）
13. ; 14. ; 15. ; 16. .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17. （本题满分10分）解：
（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，
四棱锥，底面矩形中，
，，对角线交于点
，底面，且．
∴ 该几何体的体积；
…………………………………………5分
（Ⅱ）分别取、的中点、，
连接．
∵ ，
∴平面，．
中，，，故，
∴ ．
同理可求．
∵ 底面矩形的面积为，
∴ 该几何体的表面积．…………………………………………10分
18. （本题满分12分）解：
（Ⅰ）由点和点可得，线段的中垂线方程为．
…………………………………………2分
∵ 圆经过和两点，圆心在直线上，
∴ ，解得，即所求圆的圆心，………4分
∴ 半径，所求圆的方程为； ………6分
（Ⅱ）设圆的方程为，
∵ 圆过点、和，
∴ 列方程组得 解得，…………………10分
∴ 圆的方程为． ……………………………………12分
19. （本题满分12分）解：
（Ⅰ）证明：连接交于点，连接．
∵ 矩形中，是的中点，又点是的中点，
∴ 中，．
∵ 平面，平面，
∴ 平面； ……………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是的中点，故点到平面的距离与点到平面 的距离相等，设为．
∵ 中，，是的中点，
∴．
∵ 直三棱柱中，平面，
∴ ，
∴平面，．
在中，，则，；
在中，； ……………………………………8分
∵ 三棱锥与三棱锥的体积相等，即，
∴ ，解得．
即点到平面的距离为． ……………………………………12分
20. （本题满分12分）解：如图，以点为坐标原
点，向量分别作为轴的正方
向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为，
则，，，
，，．
……………………………………4分
（Ⅰ）设平面的法向量，则
，即，不妨取
∵，
∴，即平面； ……………………………………8分
（Ⅱ）∵ ，
∴，即异面直线与所成角的余弦值为．
……………………………………12分
21. （本题满分12分）解：
（Ⅰ）直线方程变形为，
由，得，
∴ 直线恒过定点； ……………………………………4分
（Ⅱ）∵ ，
∴ 点在圆内部，
∴ 直线与圆相交； ……………………………………8分
（Ⅲ）当时，所截得的弦长最短，此时有，
而，于是，解得.……………12分
22. （本题满分12分）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，． ……………………………………………2分
（Ⅰ）因为，，
故，所以．
由题设知，
且与是平面内的两条相交直线，
由此得⊥面，
又面，故平面面．……………………………………5分
（Ⅱ）因，，，，，
． …………………………………………8分
（Ⅲ）设平面的一个法向量为，
则，．
又，，
取，得，，故．
同理可得面的一个法向量为．
∵ ，
∴ 平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为．…………………12分