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- 2021-06-07 发布
2017-2018学年福建省三明市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题
一、选择题
1．命题“， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】命题“， ”的否定是， ,故选B.
点睛: (1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.
2．利用秦九昭算法求多项式在时的值时，下列说法正确的是（ ）
A. 先求 B.
C. 先求 D. 直接求解
【答案】B
【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成以下形式: ,则,故选B.
3．与命题“若，则”等价的命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】试题分析：由题意得，互为逆否的两个命题为等价命题，所以命题命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，所以是等价命题，故选D．
【考点】四种命题．
4．已知两定点， ，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 线段 D. 射线
【答案】C
【解析】动点满足,则动点的轨迹是,即线段AB,故选C.
5．设，，均为直线，其中，在平面内，则“”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：因为，均为直线,在平面内，所以，时，且；反之，且，不一定有，因为，不一定是相交直线，故选A.
【考点】1.立体几何的垂直关系;2.充要条件的概念.
6．椭圆的焦距是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】椭圆的标准方程为,,则焦距2c=2,故选A.
7．已知一组数据， ， ， ， 的平均数为，且， 是方程的两根，则这组数据的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程的两根为x=3或x=1,又这组数据的其它值都大于1,故m=1,n=3,则,故选C.
8．古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603
【答案】B
【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.
【考点】1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.
9．在面积为的的边上任取一点，则的面积大于的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设事件A={ 的面积大于},基本事件是线段AB的长度,如图所示,因为的面积大于,则有, ,则由三角形的相似得
, 事件A的几何度量为线段AP的长度,故的面积大于的概率是,故选C.
点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
10．设圆的圆心为， 是圆内一定点， 为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆心,半径为5,设点, 的垂直平分线交于,又,由椭圆的定义可得点M是以A,C为焦点的椭圆,且,故椭圆方程为,故选D.
点睛: 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)；(4)参数法．
11．已知椭圆的两焦点分别为，，一短轴的端点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：解：设点P在x轴上方，坐标为()，∵为等腰直角三角形,∴|PF2|=|F1F2|，,故选D.
【考点】椭圆的简单性质
点评:本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系
12．已知两点， ，给出下列曲线：①；②；③；④；⑤，在所给的曲线上存在点满足的曲线方程有（ ）
A. ②③④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①④⑤
【答案】C
【解析】两点， ，点满足,则点P的轨迹为以M,N为焦点的椭圆, ,,即椭圆方程为;又曲线①③⑤与该椭圆相交,曲线④与椭圆无交点,故选C.
二、填空题
13．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．
【答案】3
【解析】根据伪代码所示的顺序,程序中各变量的值如下:
循环前:n=5,s=0;
第一次循环:s=5,n=4;
第二次循环:s=9,n=3;
输出此时的n值为3,故填3.
14．已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是__________．
【答案】
【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，
代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，
∴，解得 k=-，故直线l的方程为 x+2y-8=0
【考点】直线与圆锥曲线的关系
15．某学生每次投篮的命中概率都为．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________．
【答案】
【解析】这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为,故填.
16．有下列四种说法：
①， 均成立；②若是假命题，则， 都是假命题；③命题“若，则”的逆否命题是真命题；④“ ”是“直线与直线互相垂直”的充分条件．
其中正确的命题有__________．
【答案】1,3,4
【解析】对于①, 恒成立,命题正确;
对于②, 若是假命题，则， 中至少有一个是假命题,命题错误;
对于③, 若，则正确,则它的逆否命题也正确;
对于④,当时, 直线与直线互相垂直,命题正确;
故填①③④.
三、解答题
17．已知： ， ： （）．
（1）若， 为假， 为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析:(1)先解二次不等式得出命题p中x的取值范围,将m=5代入,得到命题q中x的范围, 为假， 为真，即命题、中一真一假，分类讨论真假和假真两种情况,求出x的取值范围;(2) 是的充分条件即命题中x的取值范围构成的集合P是命题中x的取值范围构成的集合Q的子集,根据集合间的关系列出不等式,求出m的取值范围.
试题解析:
解不等式，得．
（1）∵，∴命题： ，
又命题、中一真一假，
①若真假，则解得；
②若假真，则解得．
综上，实数的取值范围是．
（2）令， ，
∵是的充分条件，
∴，
∴解得
∴，即实数的取值范围是．
18．某举重运动队为了解队员的体重分布情况，从50名队员中抽取10名作调查．抽取时现将全体队员随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，每组抽一名，且各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．
（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽取出来的编号；
（2）分别统计被抽取的10名队员的体重（单位：公斤），获得如图所示的体重数据的茎叶图，根据茎叶图求该样本的平均数和中位数；
（3）在题（2）的茎叶图中，从题中不轻于73公斤的队员中随机抽取2名队员的体重数据，求体重为81公斤的队员被抽到的概率．
【答案】（1）2,7,12,17,22,27,32,37,42,47；（2）平均数为71，中位数为71.5；（3）．
【解析】试题分析:(1) 各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样,且第5组抽出的号码为22，可得抽出的10名职工号码;(2) 被抽取的10名队员的体重求和再除以10可得平均数,再由定义计算中位数;(3)写出从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的队员的取法,进而可得体重为81公斤的队员的取法,根据古典概型计算公式计算即可.
试题解析:
（1）依题意若第5组抽出的号码为22，则所有被抽出的队员编号为：
2,7,12,17,22,27,32,37,42,47
（2）由茎叶图数据可求得该样本的平均数为：
（公斤），
中位数为（公斤）．
（3）设“体重为81公斤的队员被抽到”为事件，
若从体重不轻于73公斤的队员中随机抽取2名队员的体重数据，所有可能的情况如下：
， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种，且每种被抽到的可能性相同，又体重为81公斤的队员被抽到的情况有： ， ， ， 共4种，所以由古典概型的概率公式有．
答：体重为81公斤的队员被抽到的概率为．
点睛:本题考查茎叶图与古典概型. 古典概型中基本事件数的探求方法:(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量在， ， 的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）0.0075；（2）224；（3）5．
【解析】试题分析:(1)由频率和为1,计算图中x的值;(2)根据频率分布直方图观察,最高矩形的中点横坐标即为众数,令矩形面积和为,所取得的横坐标为中位数;(3)分别计算出月平均用电量在， ， 的三组用户的数量,根据分层抽样的定义计算出抽取比例,得出月平均用电量在的用户中应抽取的户数.
试题解析:
（1）由直方图的性质，可得， ，所以直方图中的值是．
（2）月平均用电量的众数是．
因为，
所以月平均用电量的中位数在内，
设中位数为，由，得，
所以月平均用电量的中位数是224．
（3）月平均用电量为的用户有户，
月平均用电量为的用户有户，
月平均用电量为的用户有户，
抽取比例，
所以月平均用电量在的用户中应抽取户．
20．已知椭圆的两焦点为， ， 为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若已知直线，当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（3）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）7．
【解析】试题分析:(1)由焦点坐标得到c,由椭圆的定义求出a,进而求出b的值,即可得出椭圆的方程;(2)联立直线与椭圆方程,消去y, 直线与椭圆有公共点即所得一元二次方程有解,计算得出m的范围;(3) 中， ，由勾股定理有,结合椭圆的定义代入化简可得,根据三角形的面积公式求解即可.
试题解析:
（1）∵椭圆的焦点是和，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，
∴设所求的椭圆方程为，
∴依题意有， ，∴，
∴所求的椭圆方程为．
（2）由得，
由得，则，
∴当时，直线与椭圆有公共点．
（3）∵点是椭圆上一点，
∴由椭圆定义有，①
又中， ，
∴由勾股定理有，即，②
①2 ②，得，
∴．
21．设关于的一元二次方程．
（1）若从， ， ， 四个数中任取的一个数， 是从， ， 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若是从区间上任取的一个数， 是从区间上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析:(1)所有基本事件为从， ， ， 四个数中任取的一个数， 是从， ， 三个数中任取的一个数;所求事件为方程有实根，即,分别列举出的组合,根据古典概型计算概率;(2)所有基本事件为从区间上任取的一个数， 是从区间上任取的一个数，所求事件为方程有实根, 即,分别列出不等式画出区域,根据几何概型求出概率.
试题解析:
若方程有实根，则，即．
（1）设“方程有实根”为事件，
∵从四个数中任取的一个数， 是从三个数中任取的一个数，
∴记为所取两数的一个组合，则所有可能的取法有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种且每种均等可能被抽到，其中满足条件的有， ， ， ， ， ， ， ， 共9种，
∴．
答：方程有实根的概率为．
（2）设“方程有实根”为事件，
∵从区间上任取的一个数， 是从区间上任取的一个数，
∴记为所取两数的一个组合，则， ，
∴点所在的区域为如图所示的矩形，
又条件可化为，即，
∴满足条件的点所在的区域为如图所示的阴影部分区域
∴．
答：方程有实根的概率是．
22．已知椭圆 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析
【解析】试题分析：（1）由题意知，即，又，所以，进而求出椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得：，由，得：，设，则，，进而得，
又，代入韦达定理，可得，又，即可求出的取值范围；（3）由于两点关于轴对称，得，由两点式得直线AE的方程为，令得：，又，，再将，，代入可得直线AE与x轴交于定点．
试题解析：（1）由题意知，∴，即，
又，∴，
故椭圆的方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得：，
由，得：，
设，则，，①
∴
∴
∵，∴，∴，
∴的取值范围是．
（3）证明：∵两点关于x轴对称，∴，
直线AE的方程为，令得：，
又，，∴，
由将①代入得：，∴直线与轴交于定点．
【考点】1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．