湖北省荆州中学宜昌一中等“荆荆襄宜四地七校2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题 20页

‎2019年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ 高二期中联考 数 学 试 题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得，选D.‎ ‎2.复数满足，则复数的实部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数模的运算、除法的运算化简，由此求得复数的实部.‎ ‎【详解】依题意，所以，故的实部为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，.若，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的坐标，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】依题意，由于，所以，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.‎ ‎4.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎4.98%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎﹣0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中正确的是（）‎ A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．‎ ‎【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；‎ 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；‎ 该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；‎ 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．‎ ‎5.已知圆，则两圆的位置关系为( )‎ A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，可知圆，即为，表示以为圆心，半径为1的圆，圆，即为，表示以为圆心，半径为3的圆，‎ 由于两圆的圆心距等于等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二倍角公式求得，再利用诱导公式求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.‎ ‎7.若偶函数在区间上单调递增， 且， 则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性，画出大致图像，根据图像求得不等式的解集.‎ ‎【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增， 且，所以，且函数在上单调递减.由此画出函数图像如下图所示，由图可知，能使，即，也即自变量和对应函数值异号的的解集是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎8.如图，在四面体ABCD中，已知那么D在面ABC内的射影H必在（ ） ‎ A. 直线AB上 B. 直线BC上 C. 直线AC上 D. 内部 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由可得，即平面内的射影必在平面与平面的交线上，故选A ‎9.过点的直线与圆相交于，两点，若，则该直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，设直线的方程为；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意设直线的方程为，因为圆的圆心为，半径为，又弦长，所以圆心到直线的距离为，‎ 所以有，解得.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属于基础题型.‎ ‎10.已知为正实数，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：,当且仅当时取等号，故选D.‎ 考点：基本不等式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的基本不等式，属于中档题.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双勾函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.‎ ‎11.若对圆上任意一点，的取值与，无关， 则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点到直线距离公式，转化为点到两条平行直线的距离之和来求解实数a的取值范围 ‎【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和与无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如下图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12.在中,,,,点在边上,点关于直线的对称点分别为,则的面积的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解三角形，建立坐标系，设AD斜率为k，用k表示出B′纵坐标，代入面积公式得出面积关于k的函数，根据k的范围和函数单调性求出面积最大值．‎ ‎【详解】由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝12+9﹣2×233，‎ ‎∴AC，且AC2+BC2＝AB2，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ 以C为原点，以CB，CA为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：‎ 设直线AD的方程为y＝kx，‎ 当D与线段AB的端点重合时，B，B'，C'在同一条直线上，不符合题意，‎ ‎∴则k，设B′（m，n），显然n＜0，‎ 则，解得n，‎ ‎∵CC′∥BB′，‎ ‎∴S△BB′C′＝S△BB′C，‎ 令f（k）（k），则f′（k），‎ 令f′（k）＝0可得k或k（舍），‎ ‎∴当k时，f′（k）＞0，当k时，f′（k）＜0，‎ ‎∴当k时，f（k）取得最大值f（）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方法，属于较难题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由函数的解析式有： ，‎ 则： .‎ 点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．‎ ‎【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，‎ 从中选2个不同的数有45种，‎ 和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，‎ 则对应的概率P，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15.过圆上一点作圆的切线， 则该切线的方程为______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆心的坐标，进而求得直线的斜率，从而求得过点的圆的切线的斜率，由此求得切线方程.‎ ‎【详解】依题意圆心为，故，所以过点的圆的切线的斜率为，由点斜式得切线方程为，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查过圆上一点的切线方程的求法，属于基础题.‎ ‎16.体积为三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，， 则球的表面积的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出三角形的三边长，利用三棱锥的体积列方程.计算出三角形的外接圆半径，由此计算出球的半径的表达式，并求得球的半径的最小值，进而求得其表面积的最小值.‎ ‎【详解】设三条边长为，则 ‎①.‎ 由于平面，所以三棱锥的体积为，所以②.‎ 设的外心为，球的球心为.‎ 由正弦定理得外接圆的半径为.‎ 由图可知，球的半径，将①代入上式得 ‎，当且仅当时等号成立.故球表面积的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球表面积的最小值的计算，考查三棱锥的体积公式，考查基本不等式求最值，考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.在中，a， b， c分别为角A，B，C 所对边的长，.‎ ‎（1）求角C的值：‎ ‎（2）设函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.‎ ‎（2）利用两角和的正弦公式、辅助角公式化简表达式，根据 的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得：，‎ ‎∴，∴，∴.‎ ‎（2），‎ ‎∵，，∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，考查辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎18.已知圆.‎ ‎（1）若圆的切线在轴、轴上的截距相等，求切线的方程；‎ ‎（2）若点是圆C上的动点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出圆心和半径.当切线过原点时，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值.当切线不过原点时，切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值.‎ ‎（2）将问题转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由方程知圆心为，半径为，‎ ‎ 当切线过原点时，设切线方程为，则，‎ ‎∴，即切线方程为.‎ ‎ 当切线不过原点时，设切线方程，‎ 则，∴或，‎ 即切线方程为或.‎ ‎∴切线方程为或或.‎ ‎（2）由题意可知，直线与圆有公共点，‎ 所以圆心到直线的距离.‎ 即，即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎19.如图，是由两个全等的菱形和组成的空间图形，，∠BAF＝∠ECD＝60°.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果二面角B－EF－D的平面角为60°，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，.利用菱形的性质、等边三角形的性质分别证得，，由此证得平面，进而求得，根据空间角的概念，证得.‎ ‎（2）根据（1）得到就是二面角的平面角，即，由此求得的长.利用等体积法计算出到平面的距离 ‎，根据线面角的正弦值的计算公式，计算出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接、，.在菱形中，‎ ‎∵，∴是正三角形，∴，‎ 同理在菱形，可证，∴平面，∴，‎ 又∵，∴.‎ ‎（2）由（1）知，就是二面角的平面角，即，‎ 又，所以是正三角形，故有，‎ 如图，取的中点，连接，则，又由（1）得，‎ 所以，平面，且，又，在直角中，，‎ 所以，设到平面的距离为，则 ‎，‎ ‎，所以，‎ 故直线与平面所成角正弦值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20.上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；‎ ‎（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．‎ ‎【答案】（1）平均分68，众数65；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先求得成绩在区间内的频率，然后根据平均数的计算公式，计算出平均分，利用最高的小长方形求得众数.‎ ‎（2）先求得、的人数，然后用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间内的频率为 ‎.‎ 所以平均分，‎ 众数的估计值是65.‎ ‎（2）设 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，‎ 由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人，‎ 记这4名学生分别为，，，，‎ 成绩在区间内的学生有人，记这2名学生分别为，，‎ 则从这6人中任选2人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：，，，，‎ ‎，，，，，共9种，所以．‎ 故所求事件的概率为：．‎ ‎【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数和总数，考查古典概型的计算，属于基础题.‎ ‎21.在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，．‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与轴交于点，设，，，，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）当直线斜率不存在时，为直径，长度不为，不成立.当直线斜率存在时，设出直线的斜截式方程，利用圆心到直线的距离以及弦长公式列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，求得的坐标，根据，，结合平面向量共线的坐标表示，求得的值，进而求得的值.当直线斜率存在时，设出直线的斜截式方程，求得点坐标，联立直线 的方程和圆的方程，写出韦达定理，结合平面向量共线的坐标表示，求得的表达式，进而求得的值.‎ ‎【详解】（1） 当直线的斜率不存在时，，不符合题意；‎ ‎ 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 因为，所以，解得，‎ 所以直线的方程为．‎ ‎（2） 当直线的斜率不存在时，不妨设，，，‎ 因为，，所以，，‎ 所以，，∴.‎ ‎ 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，‎ 因为直线与轴交于点，所以．直线与圆交于点，，设，，‎ 由得，∴，，‎ 因为，，所以，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 综上.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查根据弦长求直线方程，考查直线和圆相交，交点坐标的求法，考查平面向量共线的坐标表示，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数是奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数的定义，由时的解析式得时，对应的解析式，即求出实数的值；（2）由（1）知函数在区间上单调递增，所以，得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设，则，‎ ‎，所以.‎ ‎（2）由，知在区间上单调递增，所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎