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- 2021-06-07 发布
江苏省高邮中学高三年级十月份阶段测试
数学试卷（必做部分）
2017.10
（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1．设是虚数单位，则复数的虚部为 ▲ ．
2．已知集合，若，则实数的取值范围是 ▲ .
3．设，则“”是“”的 ▲ 条件．（选填： 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
4．已知命题：“，使得 ”，则命题的真假为 ▲ ．
5．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则实数 ▲ ．
6．函数的部分图象如图示，则将
的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 ▲ ．
7．如果实数满足不等式组，则最小值为 ▲ ．
8．已知是边长为的正边上的动点，则 ▲ .
9．函数在上的单调递减区间是 ▲ ．
10．设函数，若的值域为，则常数的取值范围是 ▲ ．
11．在中，为中点，，
则 ▲ ．
12．已知，则方程的相异实根的个数是 ▲ ．
13．已知点是椭圆的左焦点，若椭圆上存在两点、满足，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．
14．若为正实数，则的最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知函数．
⑴求的最小正周期及对称中心；
⑵若，求的最大值和最小值.
16．（本题满分14分）
平面内给定三个向量，，，．
⑴求满足的实数的值；
⑵解关于的不等式。
17．（本题满分14分）
已知点，和圆．
⑴当时，过点作圆的切线，求切线的方程；
⑵过点引圆的两条割线，，直线和被圆截得的弦的中点分别为．试问过点的圆是否过定点（异于点）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．
18．（本题满分16分）
某地方政府要将一块如图所示的直角梯形空地改建为健身娱乐广场.已知百米，百米，广场入口在上，且，根据规划，过点铺设两条相互垂直的笔直小路（小路的宽度不计），点分别在边上（包含端点），区域拟建为跳舞健身广场，区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设.
⑴求绿化草坪面积的最大值；
⑵现拟将两条小路进行不同风格的美化，小路的美化费用为每百米万元，小路的美化费用为每百米万元，试确定的位置，使得小路的美化总费用最低，并求出最小费用.
19．（本小题满分16分）
如图，椭圆的焦点在轴上,中心是坐标原点，且与椭圆的离心率相同,长轴长是长轴长的一半.为上一点,交于点,关于轴的对称点为点,过作的两条互相垂直的动弦,分别交于两点.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵求点坐标;
⑶求证:三点共线.
20．（本小题满分16分）
已知函数.
⑴当时，求函数的极值；
⑵若函数
在其定义域内有两个不同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），记为，且.
①求的取值范围；
②若不等式恒成立，求正实数的取值范围.
江苏省高邮中学高三年级十月份阶段测试
数学试卷（选修部分）
2017.10
（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）
21．（本小题满分10分）
已知矩阵，试求曲线在矩阵变换下的函数解析式．
22．（本小题满分10分）
在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：
⑴该顾客中奖的概率；
⑵该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望.
23．（本小题满分10分）
如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足.
⑴当时，求直线与平面所成角的正弦值；
⑵若二面角的大小为，求的值.
24．（本小题满分10分）
已知数列中，，（，是正常数）．
⑴当时，用数学归纳法证明（）；
⑵是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有．
高邮中学2017-2018学年度高三年级第一学期十月双周考试
数学试卷（必做部分答案） 2017.10
一、填空题：
1、 2、 3、充分不必要 4、假 5、 6、
7、 8、 9、 10、
11、 12、个或个或个 13、 14、
二、解答题：
15、解：⑴ ………………4分
∴的最小正周期为， ………………6分
令，则，∴的对称中心为；…………-8分
⑵∵ ∴ ∴ ∴
∴当时，的最小值为；当时，的最大值为. ………………14分
16、解：解：⑴ ； ………………6分
⑵由得， ………………8分
………………10分
当，即时，不等式无解； ………………12分
当即时，
不等式的解集为． ………………14分
17．解：⑴若，则当斜率不存在时，，此时与圆相切；
当斜率存在时，设切线为，即
所以，解得，即，所以，
所以所求的直线为或； ………………6分
⑵由题意知，过点的圆为以为直径的圆，圆心为，半径，
所以所求的圆为，
整理得，所以，（舍）
过点的圆过定点． ………………14分
18．解：⑴在中，，得，所以
由,
在中，，得，所以
所以绿化草坪面积
…………4分
，当且当，，……6分
所以绿化草坪面积的最大值为平方百米. …………8分
⑵在中，，得，
由,，在中，，
得，所以总美化费用为 …………10分
方法一：
令得列表如下
-
0
-
单调递减
单调递增
所以当时，即时总美化费用最低为4万元. …………16分
方法二：
令得，所以，
所以在上是单调递减
所以当，时，即时总美化费用最低为4万元. …………16分
答：⑴所以绿化草坪面积的最大值为平方百米.
⑵时总美化费用最低，最低费用为4万元
（不答扣1分）
19、解：⑴由椭圆标准方程可得：长轴长是，离心率是
∴椭圆,椭圆的标准方程：. …………4分
⑵设,第一象限点,∴. …………6分
⑶当∥轴，轴时，.
, 三点共线. …………8分
当直线存在斜率时，可设,
由得
， ………12分
同理,以替换上式中的，得.……15分
故，即三点共线 . 综上：三点共线. ……16分
20、解：
高邮中学2017-2018学年度高三年级第一学期十月双周考试
数学试卷（选做部分答案） 2017.10
21、解：MN ==， ……4分
即在矩阵MN变换下， ……6分
， ……8分
代入得：，即曲线在MN变换下的函数解析式为． ……10分
22、解：⑴，即该顾客中奖的概率为. ……………4分
⑵的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.
，
. 故有分布列：
0
10
20
50
60
P
…………………8分
从而期望. ………………10分
23、解：⑴以为坐标原点，建立坐标系，则，，，，，所以，，.当时，得，
所以，设平面的法向量，则，
得，令，则，所以平面的一个法向量，
，即直线与平面所成角的正弦值.……5分
⑵易知平面的一个法向量.
设，代入，得，
解得，即，所以，
设平面的法向量，则，
消去，得，令，则，，
所以平面的一个法向量，
所以，解得或，因为，所以
.……………10分